Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Dyukarev, Litvinova Diff

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Вправи

Аудиторні

Домашні

Знайти перші інтеграли систем:

№ 17.1.

№ 17.6.

y u

z x

u y

x z

№ 17.2.

№ 17.7.

y z

x z

x y

№ 17.3.

№ 17.8.

y x

x y

z2 y2

x y

№ 17.4.

№ 17.9.

xy z

№ 17.5.

№ 17.10.

z2 1

x y2 z2

18. Варіаційне числення

Теорія

1. Символом C1[a,b] позначимо клас неперервних та диференційованих

функцій x:[a,b] . Стандартні операції складання двох функцій та

множення функцій на дійсні числа задають в C1[a,b] структуру лінійного

простору

над полем дійсних чисел

. Визначимо норму для функції

x C1[a,b]

за формулою

max

x(t)

max

x(t)

t [a,b]

У просторі C1[a,b] розглянемо лінійний підпростір:

W[a,b] x C1[a,b]:x(a) x(b) 0

і лінійний многовид:

W[a,b] x C1[a,b]:x(a) A, x(b) B .

Тут A та B фіксовані дійсні числа.

Розглянемо інтегральний

функціонал

F :W[a,b] ,

який

задається

формулою

F[x(t)] L(t,x,x)dt,

x W[a,b].

(18.1)

Тут L(u,v,w) – двічі неперервно диференційована функція,

що

називається

лагранжіаном інтегрального функціонала (18.1).

Говорять, що на функції

x W[a,b]

інтегральний

функціонал (18.1)

досягає локального максимуму (відповідно локального мінімуму),

якщо існує

число 0, таке, що

для

всіх функцій

h W[a,b],

виконується

нерівність

F[x(t)] F[x(t) h(t)]

(відповідно

F[x(t)] F[x(t) h(t)]).

Локальні

мінімуми та локальні максимуми називаються локальними екстремумами.

Теорема 18.1. Нехай на функції

x W[a,b] функціонал (18.1) досягає

локального

екстремуму.

Тоді

функція

задовольняє

рівнянню

Ейлера-

Лагранжа:

L(t,x,x)

(18.2)

Розв’язки рівняння Ейлера-Лагранжа (18.2) називаються екстремалями

функціонала (18.1).

Приклад 18.1. Знайти екстремалі функціонала

F[x(t)] 1(x2 12tx)dt

x(0) 0,

x(1) 1.

У нашому випадку лагранжіан L(t,x,x) x2 12tx.

	d (x2	12tx)	(x2	12tx)
Тому рівняння Ейлера-Лагранжа має вигляд:					0.
	dt	x
				x

Звідси маємо x 6t 0. Всі розв’язки цього рівняння задає формула

x C1 C2t t3 .

Далі, скориставшись крайовими умовами, здобудемо:

	C2		3
			0 0 0
C1			0 0 0
				.
C C		2	1 13 1
1		2

З цього випливає, що C1 0, C2 2. Таким чином, єдиною екстремаллю нашого

функціонала є функція

x 2t t3.

Приклад 18.2. Знайти екстремалі функціонала

(mx2

kx2)dt,

m 0,k 0

F[x(t)]

x(a) A,

x(b) B

У нашому

випадку

лагранжіан

L(t,x,x) mx2

kx2

. Тому

рівняння

d (mx2 kx2)

(mx2

kx2)

Ейлера-Лагранжа має вигляд:

0. Звідси маємо:

mx kx 0. Таким чином,

усі екстремалі даного функціонала задає формула

x C cos t C

sin t,

C ,C

2. Нехай у

просторі

C1[a,b] зафіксовані

лінійні

многовиди

W1[a,b], W2[a,b], ,Wn[a,b]. Розглянемо інтегральний функціонал, залежний від n функцій xj Wj[a,b], 1 j n:

b
F[x1(t), x2(t), ,xn(t)] L(t,x1, x2, ,xn,x1, x2, ,xn)dt.	(18.3)
a

Тут L(u,v1,v2, ,vn,w1,w2, ,wn) – двічі неперервно диференційована функція,

яка називається лагранжіаном інтегрального функціонала (18.3).

Говорять, що на функціях xj Wj[a,b], 1 j n інтегральний функціонал

(18.3) досягає свого локального максимуму (відповідно локального мінімуму), 83

якщо існує число 0, таке, що для всіх
якщо існує число 0, таке, що для всіх	функцій hj W[a,b],		hj

виконується нерівність:

F[x1(t), x2(t), ,xn(t)] F[x1(t) h1(t), x2(t) h2(t), ,xn (t) hn(t)]

(відповідно F[x1(t), x2(t), ,xn(t)] F[x1(t) h1(t), x2(t) h2(t), ,xn (t) hn(t)]).

Локальні мінімуми та локальні максимуми називаються локальними екстремумами.

Теорема 18.2. Нехай на функціях xj Wj[a,b], 1 j n інтегральний

функціонал (18.3) досягає локального екстремуму. Тоді ці функції задовольняють системі рівнянь Ейлера-Лагранжа:

dtd

. .d

L(t,x1, x2, ,xn,x1, x2, ,xn)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L(t,x1, x2, ,xn,x1, x2, ,xn)

L(t,x1, x2, ,xn,x1, x2, ,xn) 0

(18.4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L(t,x1, x2, ,xn,x1, x2, ,xn) 0

Розв’язки системи рівнянь Ейлера-Лагранжа (18.4) називаються екстремалями

функціонала (18.3).

Приклад 18.3. Знайти екстремалі функціонала

F[x1(t), x2(t)]				2
F[x1(t), x2(t)]				(x12 x22 2xx1 2)dt			.
				0			.
x (0) 0, x (			2) 1, x		(0) 0, x (	2) 1
	1	1		2	2
У нашому випадку	лагранжіан		L(t,x1,x1,x2,x2) x12			x22 2xx1 2 . Тому система

рівнянь Ейлера-Лагранжа має вигляд:

d (x2			x2	2x x )	(x2	x2	2x x )	0
		1	2	1 2	1	2	1 2
			x1			x1
dt								.
	d	(x12 x22 2x1x2)			(x12 x22 2x1x2)
								0

dt			x	2		x
							2

Звідси маємо:

x x 0

x2 x1 0

першого

рівняння маємо

x1 .

Звідси

та з

другого

рівняння маємо

x1 x1 0.

Всі

розв’язки

цього

лінійного

рівняння задаються формулою

x Cet C e t

C cost C

sint.

Звідси та з першого рівняння системи маємо

x Cet C e t

cost C

sint . Для визначення констант скористаємося

крайовими умовами. Отримаємо:

C1e

C2e

C3 cos0 C4 sin0 0

C1e 2 C2e 2

C3 cos

2 C4 sin

2 1

C2e 0

C3 cos0 C4 sin0 0

C1e0

C e

2 C

e 2

C cos

2 C

sin

2 1

Звідси

C1 C2

0,C4

Таким

чином,

екстремалями

функціонала є

функції x1 sint, x2

sint .

Вправи

Аудиторні

Домашні

Знайти екстремалі функціоналів:

№ 18.1.

F[x(t)] (x2 tx)dt

№ 18.8.

F[x(t)] [4xcost x2 x2]dt

x(0) x(1) 0

x(0) x( ) 0

№ 18.2.

F[x(t)] (2x t2x2)dt

№ 18.9.

F[x(t)] [x2 xx 12tx]dt

x(1) e;x(e) 0

x(0) x(1) 0

№ 18.3.

F[x(t)] (ex tx)dt

№ 18.10.

F[x(t)] [x2 x2 tx]dt

x(0) 0;x(1) 1

x(0) x(1) 0

		Аудиторні												Домашні

Знайти екстремалі функціоналів:											Знайти екстремалі функціоналів:
			1														1
№ 18.4.	F[x(t)] {x2 x2 6xsh2t}dt													F[x(t)] {x2 x2 2xet}dt
№ 18.4.			0							.	№ 18.11.						0							.
	x(0) x(1) 0																					1
														x(0) 0;				x(1)
														x(0) 0;				x(1)					2e
№ 18.5.																							2e
№ 18.5.											№ 18.12.
F[x(t)]		b									№ 18.12.
		b
		{x2 x2 4xsint}dt								.					ln2
		a								.			F[x(t)]			[x2 3x2]e2tdt
		x(b) B														0								.
x(a) A;		x(b) B														0					15			.
													x(0) 0;			x(ln2)					15
													x(0) 0;			x(ln2)						8
№ 18.6.																						8
№ 18.6.
				2		x	x x )dt				№ 18.13.
				2
F[x (t), x (t)]					(x
	1	2			1	2	1		2								1
				0						.							1	(x	x	x x )dt
										.		F[x (t), x (t)]						(x	x	x x )dt
			2) 1,										1	2				1	2			1 2		.
x1(0) 0, x1(			2) 1,														0							.
												x (0) 1, x (1) e,						x (0) 1, x							1
x (0) 0, x (			2) 1																					(1)	1
x (0) 0, x (			2) 1																					(1)	e
2		2											1	1				2				2			e

											№18.14.
№18.7											№18.14.
№18.7																1
														x2(t)]		1
		1						2			F[x1(t),			x2(t)]		(x12 x22 2x1)dt
F[x1(t), x2(t)] (x1 x2					6tx1 12t			2	x2)dt							0								.
F[x1(t), x2(t)] (x1 x2					6tx1 12t				x2)dt							0								.
		0								.		x (0) 1, x (1)			3	, x (0) 1, x (1) 1
												x (0) 1, x (1)			3	, x (0) 1, x (1) 1
x1(0) 0, x1(1) 1,x2(0) 0, x2(1) 1														1	2			2				2
											1			1				2				2

19. Варіаційний принцип у класичній механіці

У класичній механіці вивчають системи, характеристики яких

змінюються із часом. Розглянемо основні властивості, що є характерними для систем класичної механіки.

А) Детермінованість. Ця властивість означає, що за станом механічної системи у деякий фіксований момент часу t0 можна вказати її стан у будь-який інший момент часу t .

B)Скінченномірність. Ця властивість означає, що стан механічної системи в будь-який момент часу t описується скінченним набором узагальнених координат q1,q2, ,qn.

C)Диференційованість. Система класичної механіки змінюється з часом.

Тому узагальнені координати є функціями часу:

q1(t),q2(t), ,qn(t).

Диференційованість означає, що узагальнені координати є диференційованими функціями часу.

D) Для системи класичної механіки визначена кінетична енергія, що є додатньо означеною квадратичною формою відносно узагальнених швидкостей:

T	1	n		)q	q	.
	1	a(q ,q	, ,q
		a(q ,q	, ,q
2		1 2	n	i	j
		i, j 1

E) Для систем класичної механіки визначена потенційна енергія, що є функцією узагальнених координат:

U U(q1,q2, ,qn).

Лагранжіаном класичної механічної системи називається різниця між кінетичною та потенційною енергією:

L T U.

Нехай при зміні часу від		t t	до t t	класична механічна система
		0	1
перейшла зі стану q10,q20, ,qn0		у стан	q11,q21, ,qn1 .		Варіаційний	принцип
класичної	механіки стверджує,	що перехід зі		стану	q10,q20, ,qn0	у стан
q11,q21, ,qn1	відбувається по екстремалям функціонала дії

F[q1(t), q2(t), ,qn(t)] L(q1, q2, ,qn,q1,q2, ,qn)dt.

Інакше кажучи, еволюція класичної механічної системи описується системою диференціальних рівнянь Ейлера-Лагранжа:

L(q1,q2, ,qn,q1, q2, ,qn)

, q

)

L(q ,q

, q

)

d L(q ,q

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L(q1,q2, ,qn,q1, q2, ,qn)

Приклад 19.1.

Описати можливі рухи матеріальної точки маси m

тривимірному просторі, якщо на неї не діють ніякі сили.

якості

узагальнених

координат

оберемо

декартові

координати

тривимірному просторі. Потенційна енергія

цієї системи дорівнює нулю,

кінетична енергія

цієї системи – T m(x2

y2 z2). Функція Лагранжа для

цієї системи дорівнює:

L T U m2 (x2 y2 z2).

Система рівнянь Ейлера-Лагранжа записується у вигляді:

d L(x,x)		L(x,x)	0


dt	x	x
d L(x,x)		L(x,x)	0

	y	y
dt
d L(x,x)		L(x,x)	0

	z	z
dt

Розв’язуючи цю систему, отримаємо

x at b

y ct d .

d (mx) 0

d (my) 0 .

d (mz) 0

z et f

Тут a, b,c,d,e, f – довільні сталі. Таким чином, точка може перебувати у стані спокою або рівномірного та прямолінійного руху.

Приклад 19.2. (Гармонійний осцилятор). Описати можливі рухи уздовж прямої матеріальної точки маси m, якщо на неї діє сила, прямо пропорційна відстані до початку координат.

У нашому випадку

лагранжіан

L(t,x,x) mx2

kx2 .

Тому рівняння

(mx2

kx2 )

(mx2

kx2 )

Ейлера-Лагранжа має вигляд:

0. Звідси маємо:

mx kx 0. Усі розв’язки цього диференціального рівняння

задає формула

x C cos t C

sin t,

, C ,C

Таким

чином,

вихідна система

може перебувати у стані спокою або у стані гармонійних коливань відносно початку координат із частотою mk .

20.Інтегральне рівняння Фредгольма

1.Інтегральним рівнянням Фредгольма 2-го роду називається

b
x(t) K(t,s)x(s)ds f (t).	(20.1)

Тут

[a,b] – компактний відрізок у ;

f (t) C[a,b] – деяка неперервна функція на відрізку [a,b];

K(t,s) C( )– деяка неперервна функція двох змінних у квадраті

(t,s):a t,s b ;

– числовий параметр.

Неперервна на відрізку [a,b] функція x(t) називається розв’язком

інтегрального рівняння Фредгольма 2-го роду, якщо рівність (20.1) виконано

при всіх t [a,b].

Теорема 20.1. При виконанні умови

b b	K(t,s)	dtds	1/2
				(20.2)
				(20.2)
a a

існує єдиний розв’язок x(t) у інтегрального рівняння Фредгольма 2-го роду

(20.1). Більше того, ітераційна послідовність

x0(t) f (t),

x1(t) K(t,s)x0(s)ds f (t),

a b

x2(t) K(t,s)x1(s)ds f (t),

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn 1(t) K(t,s)xn(s)ds f (t),

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

збігається до єдиного розв’язку x(t) рівняння (20.1).

Приклад 20.1. Переконатися у виконанні умови (20.2) та методом

ітерацій розв’язати інтегральне рівняння Фредгольма 2-го роду

x(t) 12 x(s)ds sin t.

У нашому випадку 12 , K(t,s) 1 і умову (20.2) виконано. Побудуємо ітераційну послідовність:

x0(t) sin t,

x1(t) 12 x0(s)ds sin t 1 sin t,

0
1								1
x2(t) 12	1	sin s ds sin t			1			1		sin t,
x2(t) 12	1	sin s ds sin t			1					sin t,
0						2
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1		1	1			1			1
1		1	1			1			1
xn 1(t) 2 xn(s)ds sin t												sin t,
xn 1(t) 2 xn(s)ds sin t				2			22				2n	sin t,
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
З цього випливає, що розв’язком рівняння є функція x(t) limxn													(t)	2	sin t.
													(t)		sin t.
												n
2. Інтегральним рівнянням Фредгольма 2-го роду з виродженим ядром
називається		рівняння
		b
		x(t) nj 1 pj(t)qj (s) x(s)ds f (t).													(20.3)

Введемо позначення

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.20151.79 Mб18Dragovoz_Farmakologiya_na_ladonyah.doc
#
23.02.2015231.42 Кб5DS.doc
#
20.08.2019243.71 Кб7Duerrenmatt_Der_Richter_und_sein_Henker.doc
#
23.02.20151.08 Mб88dum.doc
#
23.02.201511.94 Mб105Dumin_5kurs_1semestr_konspekt.docx
#
23.02.20151.42 Mб26Dyukarev, Litvinova Diff..pdf
#
08.05.2019141.31 Кб1economics articles 41b 12-23.doc
#
23.02.20151.78 Mб24econom_spargalka_3.2.pdf
#
17.11.2019129.54 Кб6Ekologichna_expertiza_1 (1).doc
#
13.03.2016154.74 Кб141ekonomia_novaya.docx
#
23.02.2015440.32 Кб25ekonomicheskaya_teoria_GOSY.doc