Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Dyukarev, Litvinova Diff

..pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
1.42 Mб
Скачать

Вправ.

 

 

 

 

Аудиторні

 

 

 

Домашні

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язати системи:

 

 

 

 

 

 

Розв’язати системи:

 

 

 

 

x

3x 4x

 

 

 

x1 x1 x2

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

3

 

6x .

 

6x1 8x2

12x3 .

№ 13.1. x

3x

4x

 

№ 13.5. x2

 

 

2

 

 

1

 

 

 

2

 

 

3

x3 4x1 5x2 7x3

 

 

x1 3x2 3x3

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

x

3x 2x 6x

 

x1 7x1 2x2 4x3

 

 

1

 

1

 

 

2

 

 

3

№ 13.6. x2

 

 

 

 

№ 13.2.

x

2x 3x

6x .

12x1

3x2 8x3 .

 

 

2

 

 

1

 

 

 

2

 

 

3

x3 6x1 2x2 3x3

 

x

2x 2x 5x

 

 

3

 

 

1

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

x

2x 5x

 

 

 

x1

5x1 10x2

.

№ 13.3.

1

 

 

1

 

 

 

2 .

 

№ 13.7.

4x1 7x2

 

 

 

x

2x 4x

 

 

 

x2

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2x x

2

x

 

 

x

6x 4x2 x

 

 

1

 

1

 

 

 

 

3

 

1

1

 

 

3

№ 13.4.

 

x

 

4x

 

3x

 

3x .

№ 13.8. x

10x 6x

3x .

 

 

 

 

 

2

1

2

 

3

 

2

 

1

 

 

 

2

 

 

 

3

x3 5x1 3x2 x3

 

x

3x 3x 2x

 

 

3

 

 

1

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Випадок системи лінійних диференціальних рівнянь із

матрицею, що має приєднані вектори

Теорія

 

 

 

Розглянемо однорідну СЛДР

 

 

 

x = Ax.

 

(14.1)

Тут A – дійсна n n матриця.

 

 

Послідовність ненульових n-мірних векторів h1,h2, ,hm

називається

серією матриці A з власним значенням 1 , якщо

 

 

Ah1 1h1,

Ah2 1h2 h1, ,

Ahm 1hm hm 1.

(14.2)

Серію такого типу ми позначатимемо так:

1 : h1,h2, ,hm.

61

Зрозуміло, що в цій серії 1 є власним числом матриці A, вектор h1 є

відповідним 1 власним вектором матриці A. Вектори h2, ,hm називаються

приєднаними до власного вектора h1.

Якщо 1 : h1,h2, ,hm є серією дійсної матриці A, то і 1 : h1,h2, ,hm є

серією матриці A. Ці дві серії називаються комплексно-спряженими.

Теорема 14.1. Існує n лінійно незалежних векторів, що складаються з

однієї або декількох серій відносно дійсної n n матриці A. При цьому серії із дійсними власними числами є дійсними, а серії із комплексно-спряженими власними числами є комплексно-спряженими.

Нехай серії матриці A системи (14.1) мають вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

1 : h11,h12, ,h1m

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: h12,h22, ,h2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . . . . . . . . . . . . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

k

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

: h1

,h2

 

, ,hm k

 

 

 

 

 

 

 

Тоді функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1t

1

 

 

1t

1

1

 

1t

 

 

tm1 1

1

 

tm1 2

1

 

1

 

 

 

e

 

h1,

e

 

(th1

h2), ,

e

 

 

 

 

 

 

h1

 

 

 

h2

hm1

 

 

 

 

 

 

 

m1 1 !

m1 2 !

 

 

 

2t

2

 

 

2t

2

2

 

 

2t

 

tm2 1

2

 

 

 

tm2 2

 

 

2

2

 

 

 

e

 

h1

,

e

 

(th1

h2), ,

e

 

 

 

 

h1

 

 

 

 

h2

hm2

 

 

 

 

 

 

m 2 1 !

 

m 2 2 !

(14.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

 

 

kt

 

 

 

kt

 

 

 

 

kt

 

 

tm k 1

 

 

 

 

 

tm k 2

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

k

k

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

k

k

 

 

e

 

h1

,

e

 

(th1

h2 ), ,

e

 

 

 

h1

 

 

h2

hmk

 

 

 

 

 

 

mk 1 !

m k 2 !

 

утворюють, взагалі кажучи, комплексну ФСР для СЛДУ (14.1). Дійсна ФСР отримується за аналогією із переходом від (13.6) до (13.7).

Приклад 14.1. Розв’язати систему

 

 

 

 

 

x1

 

2 8

17 x1

 

x

 

 

 

1 2

6

x

2

.

(14.4)

2

 

 

 

1 3

7

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

62

Крок 1. Знайдемо характеристичний многочлен матриці A:

 

 

 

2

8

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ( ) det

 

 

1

2

6

 

3 3 2

3 1.

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок 2. Знайдемо розв’язки характеристичного рівняння

 

 

 

 

 

 

 

3 3 2 3 1 0.

 

 

 

 

 

 

Розв’язки цього рівняння (власні числа матриці A ) 1

2

3

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок

3. Знайдемо

власний

вектор

 

h

 

2

 

 

матриці

A,

відповідний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

власному значенню 1

1. Координати вектора h1

є нетривіальним розв’язком

системи рівнянь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

8

 

 

17 1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2 1

6

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Легко бачити, що підпростір

розв’язків

 

цієї

системи є

одновимірним.

Розв’язком системи є, наприклад, 1

3,

 

2

1,

3

1. Таким чином, у мат-

риці A є тільки одне власне значення

1

1, і йому відповідає одновимірний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

підпростір власних векторів, натягнутий на вектор

h

1 . За теоремою 14.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для власного вектора h1

існують два приєднані вектори

h2

та h3. Знайдемо їх.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок

4. Приєднаний

вектор

h2

 

2

 

 

 

задовольняє

рівнянню

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ah2 1h2

h1. У координатному вигляді це рівняння записується так:

 

 

2 8

17 1

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1

2

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

2

1 .

 

 

 

 

 

 

 

1 3

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

63

 

 

 

 

 

1

1

0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

0

1

0

 

 

 

, маємо

Звідси, через очевидну рівність

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

2 1

8

 

 

17 1

 

3

 

 

 

 

1

2 1

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1 .

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 1

3

 

 

 

1

Розв’язком

цієї системи є,

наприклад,

1 2,

2

1, 3 1. Таким чином,

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Крок

5. Приєднаний

вектор

h3

 

 

 

 

 

задовольняє рівнянню

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

Ah3 1h3 h2 . У координатному вигляді це рівняння записується так:

 

 

 

2 8

17 1

1

2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 2 1 2

1 .

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

3

3

 

1

Звідси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

8 17 1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 2

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

1

3 6

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

Розв’язком

цієї системи є,

наприклад,

1 1,

 

2

2, 3 1. Таким чином,

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок 6. ФСР для СЛДР (14.4) має вигляд:

e 1th1, e 1t(th1 h2), e 1t(t22 h1 th2 h3)

64

 

 

 

3

 

3

2

 

 

3

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

t

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

t t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

1 ,

e

t

1

1 ,

e

 

 

 

1

t

1

 

 

2

 

.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Крок 7. Всі розв’язки

СЛДР задає формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

3

 

 

 

3

2

 

 

 

 

3

 

2

 

1

 

x

 

C et

1

C

et t

1

1

C et

t2

 

1 t

 

1

 

 

2

 

,

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

1

 

 

3

2

1

 

 

1

 

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1,C2,C3 .

Приклад 14.2. Розв’язати систему:

x1

 

0

2

1 x1

 

x

 

 

 

3

5

1

x

2

.

(14.5)

 

2

 

 

 

3

2

4

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

Крок 1. Знайдемо характеристичний многочлен матриці A:

 

 

 

2

1

 

 

 

 

p ( ) det

 

3

5

1

 

3

9 2

27 27.

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

Крок 2. Знайдемо розв’язки характеристичного многочлена

pA( ) 3 9 2 27 27 0.

Розв’язки цього рівняння (власні числа матриці A)

1 2

3 3.

Крок

3.

Знайдемо власні

вектори

 

матриці A, відповідні власному

значенню

1

3. Координати

власних

векторів

є лінійно незалежними

розв’язками системи рівнянь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

1

1

 

0

 

 

 

 

3

5 3

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

2

 

 

.

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

4 3

3

 

 

 

 

65

Легко бачити, що підпростір розв’язків цієї системи є двовимірним. Лінійно незалежними розв’язками є, наприклад,

 

 

 

 

 

 

1 3, 2 4, 3 1

та 1 1, 2 1, 3 1.

 

 

 

 

Таким чином, у матриці A є тільки одне

власне значення

1 3,

і йому

відповідає двовимірний

підпростір

власних

векторів,

натягнутий на

власні

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектори h

 

4

 

та h

2

 

1 . За теоремою 14.1 існує

приєднаний вектор h

3

.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо його.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок 4.

Вектор h3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

, приєднаний до власного вектора h2 , повинен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

задовольняти рівнянню

Ah3 1h3

h2 .

У координатному вигляді це рівняння

записується так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2 1 1

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

5 1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

1

 

 

 

 

 

Звідси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2 1 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 2

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Розв’язком

цієї

системи

є,

наприклад,

1

0, 2 0, 3 1.

Таким

чином,

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок 5. ФСР для СЛДУ (14.5) має вигляд:

66

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

1

 

0

t

t

t

 

3t

4

 

,

e

3t

 

,

e

3t

 

 

 

0

 

e 1 h1, e 1 h2, e 1

(th2 h3) e

 

 

1

t

1

 

.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

Крок 6. Всі розв’язки

СЛДУ (14.5) задає формула

 

 

 

x1

 

3

 

 

1

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

C1e

t

4

 

C2e

t

C3e

t

 

 

 

0

 

,

C1

,C2

,C3

.

x2

 

 

1

t

1

 

 

x

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зауваження. У розглянутих нами прикладах базис із власних і приєднаних векторів будується досить просто. У загальному випадку метод побудови базису з власних і приєднаних векторів описаний, наприклад, у [4].

Вправи

 

 

 

 

Аудиторні

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Домашні

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язати системи:

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язати системи:

 

 

 

 

 

 

x1

 

2

1

2 x1

 

 

 

x1

 

2

1

3

x1

 

 

 

 

 

№ 14.3.

x

 

 

 

1

1

5

x

.

 

№ 14.1.

 

x

 

 

 

6

4

1

 

x

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

1 6

x

 

 

 

 

 

 

 

 

4 2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

x3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

x1

 

2

1

2

 

4 x1

 

x1

 

4 1 2

9 x1

 

x

 

 

 

0 1

1

 

2 x

 

 

x

 

 

 

6 3 2

9 x

 

№ 14.2.

2

 

 

 

 

 

 

 

2

.

№ 14.4. 2

 

 

 

 

 

 

2

.

 

x

 

 

1 1

0 2 x

 

x

 

 

6 1 4

9 x

 

 

3

 

 

 

1 1

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

3 1 1

 

3

 

 

x4

 

 

0 1 x4

 

x4

 

 

5 x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Неоднорідні системи лінійних диференціальних рівнянь

Теорія

1. Розглянемо неоднорідну СЛДР зі сталими коефіцієнтами:

x = Ax f.

(15.1)

67

Тут A – дійсна n n матриця. Відмінна від тотожного нуля неперервна на

інтервалі (t0,t1) вектор-функція f

 

має вигляд:

 

 

f1

(t)

 

 

f2

(t)

 

f

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fn(t)

Можна довести, що всі розв’язки рівняння (15.1) визначені для всіх t (t0,t1).

Разом із неоднорідною СЛДР (15.1) ми розглядатимемо і відповідну однорідну СЛДР

x = Ax.

(15.2)

Теорема 15.1. Нехай вектор-функції x1(t),x2(t), ,xn(t) утворюють ФСР однорідної СЛДР (15.2), а вектор-функція x(t) є частинним розв’язком

неоднорідної СЛДР (15.1). Тоді формула

 

 

x С1x1(t) С2x2(t) Сnxn(t) x(t),

С1,С2, ,Сn

(15.3)

задає усі розв’язки (загальний розв’язок ) неоднорідної СЛДР (15.1).

Для знаходження частинного розв’язку рівняння (15.1) застосовується метод варіації сталих.

Теорема 15.2. Нехай вектор-функції

 

x11(t)

 

x

(t)

x (t)

21

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(t)

 

xn1

,

 

x12(t)

 

x2

x

(t)

 

, ,xn(t)

(t)

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn2

(t)

 

утворюють ФСР однорідною СЛДР (15.2). Тоді

1. система лінійних алгебраїчних рівнянь

x1n(t)

x (t)

2n

xnn(t)

68

Ñ1(t)x11(t) Ñ2(t)x12(t) Ñn(t)x1n(t) f1(t)

 

(t)x

 

(t) Ñ

(t)x (t) Ñ

(t)x

(t) f

 

(t)

Ñ

 

 

1

 

21

2

22

n

2n

 

2

(15.4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

(t)xn1

(t) Ñ2(t)xn2

(t) Ñn(t)xnn(t) fn

(t)

Ñ1

має єдиний розв’язок у класі

неперервних на інтервалі (t0,t1) функцій

С1(t),С2(t), ,Сn(t).

 

 

 

 

 

 

 

2.Нехай функції С1(t),С2(t), ,Сn(t) позначають деякі первинні для функцій

С1(t),С2(t), ,Сn(t). Тоді вектор-функція

x С1(t)x1(t) С2(t)x2(t) Сn(t)xn(t)

є частинним розв’язком неоднорідної СЛДР (15.1).

Приклад 15.1. Розв’язати СЛДР:

 

 

 

 

 

 

x

 

 

0

1 x

 

 

0

 

,

t 0.

1

 

 

1

 

 

 

x

 

 

1

0 x

2

 

 

1

lnt

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

(15.5)

(15.6)

Крок 1. ФСР однорідної СЛДР

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

0

 

1 x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x2

 

1

 

0 x2

 

 

 

1

,

 

e t

 

1

 

 

утворюють вектор-функції et

 

 

. Тому всі розв’язки однорідної

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

СЛДР задає формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

С1et

1

 

 

 

 

1

 

С1,С2 .

1

 

 

С2e t

,

 

x2

 

1

 

 

 

 

1

 

 

Крок 2. Методом варіації сталих знайдемо частинний розв’язок

неоднорідної СЛДР (15.6). Система (15.4) має вигляд:

 

 

(t)e

t

 

(t)e

t

0

С1

 

С2

 

С

(t)et С

(t)e t

 

1

lnt.

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

69

Звідси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С1(t) 12e t

1

lnt ,

С2(t) 21et

1

lnt .

t2

t2

Інтегруючи, отримаємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С1(t) 21e t 1t lnt ,

С2(t) 12et 1t lnt .

Звідси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1 1 lnt

1

 

1 1

lnt

 

1

 

 

lnt

1

 

 

 

 

 

 

 

1

.

x

 

 

2 t

1

 

2 t

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок 3. Усі розв’язки СЛДР (15.6) задає формула

 

 

x

 

1

С2e t

1

lnt

С1,С2

.

 

1

 

С1et

 

 

 

1

,

x2

1

 

 

1

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Розглянемо неоднорідну СЛДР зі сталими коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду

 

x = Ax P(t)e t.

(15.7)

Тут A – дійсна n n

матриця, – числовий параметр, що називається

контрольним числом

правої частини СЛДР

(15.7), та P(t) – векторний

многочлен вигляду

 

 

P1(t)

P(t) P2(t)

Pn(t)

,

компоненти якого Pj (t), 1 j n є многочленами степеня mj . Можна довести,

що всі розв’язки СЛДР (15.7) визначені для усіх t . Частинний розв’язок СЛДР (15.7) можна знайти більш простим способом, ніж метод варіації сталих.

70

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]