Dyukarev, Litvinova Diff
..pdfВправ.
|
|
|
|
Аудиторні |
|
|
|
Домашні |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Розв’язати системи: |
|
|
|
|
|
|
Розв’язати системи: |
|
|
|
|||||||
|
x |
3x 4x |
|
|
|
x1 x1 x2 |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
6x . |
|
6x1 8x2 |
12x3 . |
|||
№ 13.1. x |
3x |
4x |
|
№ 13.5. x2 |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
x3 4x1 5x2 7x3 |
||||
|
|
x1 3x2 3x3 |
|
||||||||||||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
3x 2x 6x |
|
x1 7x1 2x2 4x3 |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
№ 13.6. x2 |
|
|
|
|
||
№ 13.2. |
x |
2x 3x |
6x . |
12x1 |
3x2 8x3 . |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
x3 6x1 2x2 3x3 |
||||
|
x |
2x 2x 5x |
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
2x 5x |
|
|
|
x1 |
5x1 10x2 |
. |
|||||||||
№ 13.3. |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 . |
|
№ 13.7. |
4x1 7x2 |
|
|||||
|
|
x |
2x 4x |
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2x x |
2 |
x |
|
|
x |
6x 4x2 x |
|||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
1 |
|
|
3 |
||
№ 13.4. |
|
x |
|
4x |
|
3x |
|
3x . |
№ 13.8. x |
10x 6x |
3x . |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
3 |
||||||||
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
x3 5x1 3x2 x3 |
|||||
|
x |
3x 3x 2x |
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Випадок системи лінійних диференціальних рівнянь із
матрицею, що має приєднані вектори
Теорія |
|
|
|
Розглянемо однорідну СЛДР |
|
|
|
|
x = Ax. |
|
(14.1) |
Тут A – дійсна n n матриця. |
|
|
|
Послідовність ненульових n-мірних векторів h1,h2, ,hm |
називається |
||
серією матриці A з власним значенням 1 , якщо |
|
|
|
Ah1 1h1, |
Ah2 1h2 h1, , |
Ahm 1hm hm 1. |
(14.2) |
Серію такого типу ми позначатимемо так:
1 : h1,h2, ,hm.
61
Зрозуміло, що в цій серії 1 є власним числом матриці A, вектор h1 є
відповідним 1 власним вектором матриці A. Вектори h2, ,hm називаються
приєднаними до власного вектора h1.
Якщо 1 : h1,h2, ,hm є серією дійсної матриці A, то і 1 : h1,h2, ,hm є
серією матриці A. Ці дві серії називаються комплексно-спряженими.
Теорема 14.1. Існує n лінійно незалежних векторів, що складаються з
однієї або декількох серій відносно дійсної n n матриці A. При цьому серії із дійсними власними числами є дійсними, а серії із комплексно-спряженими власними числами є комплексно-спряженими.
Нехай серії матриці A системи (14.1) мають вигляд:
|
|
|
|
|
|
|
|
1 : h11,h12, ,h1m |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: h12,h22, ,h2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
: h1 |
,h2 |
|
, ,hm k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тоді функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1t |
1 |
|
|
1t |
1 |
1 |
|
1t |
|
|
tm1 1 |
1 |
|
tm1 2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
e |
|
h1, |
e |
|
(th1 |
h2), , |
e |
|
|
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
h2 |
hm1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
m1 1 ! |
m1 2 ! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2t |
2 |
|
|
2t |
2 |
2 |
|
|
2t |
|
tm2 1 |
2 |
|
|
|
tm2 2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||
e |
|
h1 |
, |
e |
|
(th1 |
h2), , |
e |
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
|
h2 |
hm2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
m 2 1 ! |
|
m 2 2 ! |
(14.3) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
kt |
|
|
|
kt |
|
|
|
|
kt |
|
|
tm k 1 |
|
|
|
|
|
tm k 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
k |
|
|
k |
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
||||||||||||||
e |
|
h1 |
, |
e |
|
(th1 |
h2 ), , |
e |
|
|
|
h1 |
|
|
h2 |
hmk |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
mk 1 ! |
m k 2 ! |
|
утворюють, взагалі кажучи, комплексну ФСР для СЛДУ (14.1). Дійсна ФСР отримується за аналогією із переходом від (13.6) до (13.7).
Приклад 14.1. Розв’язати систему |
|
|
|
|
|
||||
x1 |
|
2 8 |
17 x1 |
|
|||||
x |
|
|
|
1 2 |
6 |
x |
2 |
. |
(14.4) |
2 |
|
|
|
1 3 |
7 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
62
Крок 1. Знайдемо характеристичний многочлен матриці A: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
8 |
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p ( ) det |
|
|
1 |
2 |
6 |
|
3 3 2 |
3 1. |
|
|||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Крок 2. Знайдемо розв’язки характеристичного рівняння |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 3 2 3 1 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Розв’язки цього рівняння (власні числа матриці A ) 1 |
2 |
3 |
1. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Крок |
3. Знайдемо |
власний |
вектор |
|
h |
|
2 |
|
|
матриці |
A, |
відповідний |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
власному значенню 1 |
1. Координати вектора h1 |
є нетривіальним розв’язком |
|||||||||||||||||||||
системи рівнянь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
8 |
|
|
17 1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
2 1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
7 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Легко бачити, що підпростір |
розв’язків |
|
цієї |
системи є |
одновимірним. |
||||||||||||||||||
Розв’язком системи є, наприклад, 1 |
3, |
|
2 |
1, |
3 |
1. Таким чином, у мат- |
|||||||||||||||||
риці A є тільки одне власне значення |
1 |
1, і йому відповідає одновимірний |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
підпростір власних векторів, натягнутий на вектор |
h |
1 . За теоремою 14.1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для власного вектора h1 |
існують два приєднані вектори |
h2 |
та h3. Знайдемо їх. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Крок |
4. Приєднаний |
вектор |
h2 |
|
2 |
|
|
|
задовольняє |
рівнянню |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ah2 1h2 |
h1. У координатному вигляді це рівняння записується так: |
||||||||||||||||||||||
|
|
2 8 |
17 1 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
2 |
1 . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
63
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 0 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
, маємо |
||
Звідси, через очевидну рівність |
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
2 1 |
8 |
|
|
17 1 |
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
1 |
2 1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 . |
||||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
7 1 |
3 |
|
|
|
1 |
|||||||
Розв’язком |
цієї системи є, |
наприклад, |
1 2, |
2 |
1, 3 1. Таким чином, |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
Крок |
5. Приєднаний |
вектор |
h3 |
|
|
|
|
|
задовольняє рівнянню |
||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
Ah3 1h3 h2 . У координатному вигляді це рівняння записується так: |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 8 |
17 1 |
1 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
6 2 1 2 |
1 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 3 |
3 |
3 |
|
1 |
||||||||||
Звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
8 17 1 |
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 2 |
|
|
1 . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
3 6 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
Розв’язком |
цієї системи є, |
наприклад, |
1 1, |
|
2 |
2, 3 1. Таким чином, |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крок 6. ФСР для СЛДР (14.4) має вигляд:
e 1th1, e 1t(th1 h2), e 1t(t22 h1 th2 h3)
64
|
|
|
3 |
|
3 |
2 |
|
|
3 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e |
1 , |
e |
t |
1 |
1 , |
e |
|
|
|
1 |
t |
1 |
|
|
2 |
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
Крок 7. Всі розв’язки |
СЛДР задає формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x1 |
|
3 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
1 |
|
||||||||||||||||
x |
|
C et |
1 |
C |
et t |
1 |
1 |
C et |
t2 |
|
1 t |
|
1 |
|
|
2 |
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1,C2,C3 .
Приклад 14.2. Розв’язати систему:
x1 |
|
0 |
2 |
1 x1 |
|
||||||
x |
|
|
|
3 |
5 |
1 |
x |
2 |
. |
(14.5) |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Крок 1. Знайдемо характеристичний многочлен матриці A:
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
p ( ) det |
|
3 |
5 |
1 |
|
3 |
9 2 |
27 27. |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
Крок 2. Знайдемо розв’язки характеристичного многочлена
pA( ) 3 9 2 27 27 0.
Розв’язки цього рівняння (власні числа матриці A) |
1 2 |
3 3. |
|||||||||||
Крок |
3. |
Знайдемо власні |
вектори |
|
матриці A, відповідні власному |
||||||||
значенню |
1 |
3. Координати |
власних |
векторів |
є лінійно незалежними |
||||||||
розв’язками системи рівнянь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
2 |
1 |
1 |
|
0 |
|
||||
|
|
|
3 |
5 3 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4 3 |
3 |
|
|
|
|
65
Легко бачити, що підпростір розв’язків цієї системи є двовимірним. Лінійно незалежними розв’язками є, наприклад,
|
|
|
|
|
|
1 3, 2 4, 3 1 |
та 1 1, 2 1, 3 1. |
|
|
|
|
||||||||||||
Таким чином, у матриці A є тільки одне |
власне значення |
1 3, |
і йому |
||||||||||||||||||||
відповідає двовимірний |
підпростір |
власних |
векторів, |
натягнутий на |
власні |
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вектори h |
|
4 |
|
та h |
2 |
|
1 . За теоремою 14.1 існує |
приєднаний вектор h |
3 |
. |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Знайдемо його. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крок 4. |
Вектор h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
, приєднаний до власного вектора h2 , повинен |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задовольняти рівнянню |
Ah3 1h3 |
h2 . |
У координатному вигляді це рівняння |
||||||||||||||||||||
записується так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 1 1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
1 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
Звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 1 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 2 |
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Розв’язком |
цієї |
системи |
є, |
наприклад, |
1 |
0, 2 0, 3 1. |
Таким |
чином, |
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крок 5. ФСР для СЛДУ (14.5) має вигляд:
66
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
||||||
t |
t |
t |
|
3t |
4 |
|
, |
e |
3t |
|
, |
e |
3t |
|
|
|
0 |
|
e 1 h1, e 1 h2, e 1 |
(th2 h3) e |
|
|
1 |
t |
1 |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Крок 6. Всі розв’язки |
СЛДУ (14.5) задає формула |
|
|
|
||||||||||||||||
x1 |
|
3 |
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
C1e |
t |
4 |
|
C2e |
t |
C3e |
t |
|
|
|
0 |
|
, |
C1 |
,C2 |
,C3 |
. |
|
x2 |
|
|
1 |
t |
1 |
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зауваження. У розглянутих нами прикладах базис із власних і приєднаних векторів будується досить просто. У загальному випадку метод побудови базису з власних і приєднаних векторів описаний, наприклад, у [4].
Вправи
|
|
|
|
Аудиторні |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашні |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Розв’язати системи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язати системи: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x1 |
|
2 |
1 |
2 x1 |
|
|
|
x1 |
|
2 |
1 |
3 |
x1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
№ 14.3. |
x |
|
|
|
1 |
1 |
5 |
x |
. |
|
|||||||||||
№ 14.1. |
|
x |
|
|
|
6 |
4 |
1 |
|
x |
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
1 6 |
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x3 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
x1 |
|
2 |
1 |
2 |
|
4 x1 |
|
x1 |
|
4 1 2 |
9 x1 |
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
0 1 |
1 |
|
2 x |
|
|
x |
|
|
|
6 3 2 |
9 x |
|
||||||||
№ 14.2. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
№ 14.4. 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
||||||
|
x |
|
|
1 1 |
0 2 x |
|
x |
|
|
6 1 4 |
9 x |
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 1 1 |
|
3 |
|
|||||
|
x4 |
|
|
0 1 x4 |
|
x4 |
|
|
5 x4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Неоднорідні системи лінійних диференціальних рівнянь
Теорія
1. Розглянемо неоднорідну СЛДР зі сталими коефіцієнтами:
x = Ax f. |
(15.1) |
67
Тут A – дійсна n n матриця. Відмінна від тотожного нуля неперервна на
інтервалі (t0,t1) вектор-функція f |
|
має вигляд: |
||
|
|
f1 |
(t) |
|
|
|
f2 |
(t) |
|
f |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fn(t) |
Можна довести, що всі розв’язки рівняння (15.1) визначені для всіх t (t0,t1).
Разом із неоднорідною СЛДР (15.1) ми розглядатимемо і відповідну однорідну СЛДР
x = Ax. |
(15.2) |
Теорема 15.1. Нехай вектор-функції x1(t),x2(t), ,xn(t) утворюють ФСР однорідної СЛДР (15.2), а вектор-функція x(t) є частинним розв’язком
неоднорідної СЛДР (15.1). Тоді формула |
|
|
x С1x1(t) С2x2(t) Сnxn(t) x(t), |
С1,С2, ,Сn |
(15.3) |
задає усі розв’язки (загальний розв’язок ) неоднорідної СЛДР (15.1).
Для знаходження частинного розв’язку рівняння (15.1) застосовується метод варіації сталих.
Теорема 15.2. Нехай вектор-функції
|
x11(t) |
||
|
x |
(t) |
|
x (t) |
21 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
xn1 |
,
|
x12(t) |
|
|||
x2 |
x |
(t) |
|
, ,xn(t) |
|
(t) |
22 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn2 |
(t) |
|
утворюють ФСР однорідною СЛДР (15.2). Тоді
1. система лінійних алгебраїчних рівнянь
x1n(t)
x (t)
2n
xnn(t)
68
Ñ1(t)x11(t) Ñ2(t)x12(t) Ñn(t)x1n(t) f1(t) |
|||||||||
|
(t)x |
|
(t) Ñ |
(t)x (t) Ñ |
(t)x |
(t) f |
|
(t) |
|
Ñ |
|
|
|||||||
1 |
|
21 |
2 |
22 |
n |
2n |
|
2 |
(15.4) |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|||||||||
|
(t)xn1 |
(t) Ñ2(t)xn2 |
(t) Ñn(t)xnn(t) fn |
(t) |
|||||
Ñ1 |
|||||||||
має єдиний розв’язок у класі |
неперервних на інтервалі (t0,t1) функцій |
||||||||
С1(t),С2(t), ,Сn(t). |
|
|
|
|
|
|
|
2.Нехай функції С1(t),С2(t), ,Сn(t) позначають деякі первинні для функцій
С1(t),С2(t), ,Сn(t). Тоді вектор-функція
x С1(t)x1(t) С2(t)x2(t) Сn(t)xn(t)
є частинним розв’язком неоднорідної СЛДР (15.1).
Приклад 15.1. Розв’язати СЛДР: |
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
0 |
1 x |
|
|
0 |
|
, |
t 0. |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||
x |
|
|
1 |
0 x |
2 |
|
|
1 |
lnt |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
(15.5)
(15.6)
Крок 1. ФСР однорідної СЛДР |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
1 x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
1 |
|
0 x2 |
|||
|
|
|
1 |
, |
|
e t |
|
1 |
|
|
утворюють вектор-функції et |
|
|
. Тому всі розв’язки однорідної |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
СЛДР задає формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
С1et |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
С1,С2 . |
1 |
|
|
С2e t |
, |
|
|||||
x2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
Крок 2. Методом варіації сталих знайдемо частинний розв’язок
неоднорідної СЛДР (15.6). Система (15.4) має вигляд:
|
|
(t)e |
t |
|
(t)e |
t |
0 |
|||
С1 |
|
С2 |
|
|||||||
С |
(t)et С |
(t)e t |
|
1 |
lnt. |
|||||
|
||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
Звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С1(t) 12e t |
1 |
lnt , |
С2(t) 21et |
1 |
lnt . |
||||||||||||||
t2 |
t2 |
||||||||||||||||||
Інтегруючи, отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
С1(t) 21e t 1t lnt , |
С2(t) 12et 1t lnt . |
|||||||||||||||||
Звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 1 lnt |
1 |
|
1 1 |
lnt |
|
1 |
|
|
lnt |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
||||||||||
x |
|
|
2 t |
1 |
|
2 t |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
t |
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Крок 3. Усі розв’язки СЛДР (15.6) задає формула |
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
1 |
С2e t |
1 |
lnt |
С1,С2 |
. |
||||||||||||
|
1 |
|
С1et |
|
|
|
1 |
, |
|||||||||||
x2 |
1 |
|
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Розглянемо неоднорідну СЛДР зі сталими коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду
|
x = Ax P(t)e t. |
(15.7) |
Тут A – дійсна n n |
матриця, – числовий параметр, що називається |
|
контрольним числом |
правої частини СЛДР |
(15.7), та P(t) – векторний |
многочлен вигляду |
|
|
P1(t)
P(t) P2(t)
Pn(t)
,
компоненти якого Pj (t), 1 j n є многочленами степеня mj . Можна довести,
що всі розв’язки СЛДР (15.7) визначені для усіх t . Частинний розв’язок СЛДР (15.7) можна знайти більш простим способом, ніж метод варіації сталих.
70