Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1259 вузов, 4592 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Dyukarev, Litvinova Diff

..pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
1.42 Mб
Скачать
☆

12. Властивості функції Гріна

№ 12.1. G(t,s)

(s 1)t,

0 t s

s(t 1),

s t 1.

№ 12.2. G(t,s)

e s cht,

0 t s

e t chs,

s t 2.

 

 

 

 

1

 

 

 

№12.3. G(t,s) 2(1 e)

1

2(1 e)

1

t 1,

№ 12.4. G(t,s)

1 1,

s

es t e1 (s t) ,

et s e1 (t s) ,

1 t s

s t 3.

№12.5. G(t,s)

№12.6. G(t,s)

№12.7. G(t,s)

№12.8. G(t,s)

 

sinscost,

0 t s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosssint,

s t .

 

es(e t 1),

0 t s

1 es,

 

 

s t 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2 4

,

1 t s

 

 

 

 

 

 

 

 

2s2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2 4

,

s t 2.

 

 

2s

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t3

,

1 t s

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3s t

 

 

 

 

 

 

 

1 s3

 

,

s t 2.

 

 

 

3

 

 

 

3s t

 

 

 

 

 

 

0 t s

s t 1.

131

13.Однорідні системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

№13.1.

№13.2.

№13.3.

№13.4.

№13.5.

№13.6.

№13.7.

№13.8.

x 4C e 2t 2C e t C et

1

1

2

3

x C e 2t

C et

.

2

1

3

 

 

 

C e t C et

x C e 2t

3

1

2

3

x1 C1e t 3C2et C3et

 

 

 

 

 

 

 

 

x C e t

C et

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 C1e t C2et

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6C 2C

)e

t

cost

(6C

 

 

 

 

t

sint

 

 

x

 

2C )e

 

 

 

1

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

.

 

 

x

4C et

cost 4C

et

sint

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

C et

C et

cost C et sint

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x

Cet

(C

 

 

 

2C )et cost (C 2C )et

sint .

 

2

 

1

 

3

 

 

 

 

2

 

2

 

 

3

 

 

 

 

2C et

3C

 

et cost 3C et

sint

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x C e t 2C et C e2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2C e t C e2t

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x C e t

C et

 

C e2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2C e t C

 

 

e t C et

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3C

2

e t 2C et

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3C e t C et

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 3C1

 

 

 

 

t

cos2t (3C2

 

 

 

t

sin2t

 

 

x

C2)e

C1)e

 

 

 

1

2C et cos2t 2C sin2t

 

 

 

 

 

.

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

C et

(3C

2

C )e t cost (C

2

3C )e t

sint

 

1

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

x

Cet

(C 5C )e t cost (C

2

5C )e t sint .

 

2

 

1

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

C et 2C e t cost 2C e tsint

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

3

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

132

14. Випадок системи лінійних диференціальних рівнянь

із матрицею, що має приєднані вектори

14.1.

p ( ) 3 6 2 12 8,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

1

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

1

 

 

0

1

 

 

 

x

 

C e2t

4

 

C

 

e2t t

4

 

 

 

3

 

C e2t t2

4

 

t

3

 

 

2

.

 

 

2

 

1

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

3

2

2

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.2.

p ( ) 4

4 3

6 2 4 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

2

 

 

 

1

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

1

 

x

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1

С

 

 

 

2

1

 

 

1

 

 

 

1

 

2

 

С et

С

et

 

С et t

 

 

 

et t

 

 

 

t

 

 

.

 

x

1

2

2

 

 

2

 

3

2

1

 

 

 

4

 

2 2

 

1

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

x4

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

14.3.

p ( ) 3 9 2 27 27,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

1

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

1

 

 

1

2

 

 

 

x

 

С e3t

2

С

e3t t

2

 

 

 

1

С e3t t2

2 t

1

2

.

 

 

 

2

 

1

 

1

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.4.

p ( ) 4

8 3 24 2

32 16,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

5

 

 

 

 

3

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1

2

x

 

 

 

6

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

1

 

С

 

 

 

 

2 3

 

 

 

 

1

 

2

 

2

 

С e2t

 

С

e2t

 

С e2t t

 

 

e2t t

 

 

 

t

 

.

x

1

3

 

2

 

 

3

 

3

 

3

1

 

 

 

4

 

 

 

2 3

 

 

 

1

1

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

15. Неоднорідні системи лінійних диференціальних рівнянь

 

x

C cost C

2

sint tgt

 

 

 

№ 15.1.

 

1

1

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

x

C sint C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cost 2

 

 

 

 

2

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1 2C2e

t

2e

t

ln|e

t

1

|

№ 15.2.

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

x 2C 3C e t 3e t ln|et 1|

 

 

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2C e2t C e 3t

(12t 13)et

№ 15.3.

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(8t 6)et

 

x C e2t 2C e 3t

 

 

 

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

133

 

x

C cost C

sint tsint tcost

№ 15.4.

 

1

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

.

 

x

C (sint cost) C

 

 

 

 

 

 

(sint cost) 2tcost sint cost

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

C et

2C e2t

et ln(e2t

1) 2e2t arctget

№ 15.5.

 

1

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

C et

 

 

 

 

e2t

et ln(e2t

 

 

x

3C

1) 3e2t arctget

 

 

2

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

C cost C

sint t(cost sint) (cost sint)ln|cost|

№ 15.6.

 

1

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

.

 

x

(C

C

 

)cost (C

C

 

 

 

 

 

)sint 2costln|cost| 2tsint

 

2

1

 

 

2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

№ 15.7.

x1

C1e2t 3C2e4t e t 4e3t

 

 

 

2t

 

 

 

 

4t

 

t

 

 

.

 

 

 

C1e

C2e

2e

2e

3t

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

x

C et

3C e2t

cost 2sint

№ 15.8.

 

1

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

C et

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2C e2t 2cost 2sint

 

 

2

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

16. Розв’язання систем диференціальних рівнянь методом виключень

x 2Ce3t 4C e 3t

 

 

 

 

 

№ 16.1.

1

2 .

 

 

 

 

 

y Ce3t

C e 3t

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

x (C C t)et

 

 

 

 

 

 

 

№ 16.2.

1

2

 

 

.

 

 

 

 

y (2C

C 2C t)et

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (C cost C

sint)et (C cost C sint)e t

 

№ 16.3.

1

 

2

 

 

3

4

 

.

y ( C sint C

cost)et ( C cost

C

sint)e t

 

 

1

 

2

 

 

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x Cet C e t

tet t2 2

 

 

 

 

№ 16.4.

1

2

 

 

 

.

 

 

 

 

y Cet C e t (t 1)et 2t

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x Cet cost C et sint et

t 1

 

 

 

№ 16.5.

1

 

2

 

 

 

 

 

.

y Cet( cost sint) C et(cost sint) 2et 2t 1

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

x e2t(C cost C sint)

 

 

 

 

№ 16.6.

 

1

 

2

 

 

.

 

 

y e2t[(C C )cost (C C )sint]

 

 

 

 

 

1 2

 

 

2

1

 

 

 

x (C 3C t)e2t

 

 

 

 

 

 

№ 16.7.

1

2

 

.

 

 

 

 

 

y (C C 3C t)e2t

 

 

 

 

 

 

2

1

2

 

 

 

 

 

 

134

№16.8.

№16.9.

x 2et(C C C t) 2e t(C C C t)

 

1

2

2

3

4

4 .

y et(C C t) e t(C C t)

 

 

 

1

2

 

3 4

 

 

x Cet

2C e4t 3e5t

 

1

2

y Cet C e4t e5t .

 

1

2

 

x C (cos2t sin2t) C (cos2t sin2t)

 

№ 16.10.

 

1

 

2

.

 

y C cos2t C

 

sin2t e 2t

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

17. Метод перших інтегралів

№17.1. x2 y2 C1, x y C2z.

№17.2. x y C1(y z),

(x y z)(x y)2 C2 .

№ 17.3. x z C1,

(x y z)(y 3x z) C2 .

№ 17.4. x2 z2 C ,

y

2 u2 C ,

(x z) C (u y).

 

1

 

2

3

 

xy 2

 

 

C .

№ 17.5. x C y,

 

z2 1

1

 

 

 

 

 

2

№ 17.6. x z C1,

y u C2,

 

(x z)2 (y u)2 C .

 

 

 

 

3

 

 

№ 17.7. x2 2y C ,

6xy 2x3 3z2 C .

 

1

 

 

 

 

2

№ 17.8. y2 z2 C ,

x yz C .

 

 

1

 

2

 

№ 17.9. x C1y,

xy z C2x.

 

№ 17.10. y C z,

x y2

z2 C z.

 

1

 

 

2

 

18. Варіаційне числення

№ 18.1. x(t) t3 t .

12

№ 18.2. x(t) et lnt.

135

№18.3. Розв’язків не існує.

№18.4. x(t) sh2t sh2sht. sh1

№18.5. x(t) C1et C2e t sint.

№18.6. x1 sint, x2 sint.

№18.7. x1 t4, x2 t3.

№18.8. x(t) (C t)sint.

№18.9. x(t) t3 t.

№ 18.10. x(t)

sht

 

 

t

.

2sh1

 

 

2

 

№18.11. x(t) 2t et sht.

№18.12. x(t) et e 3t.

№18.13. x1 et, x2 e t .

№18.14. x1 t22 1, x2 1.

20. Інтегральне рівняння Фредгольма

№20.1. x(t) 3t .

№20.2. x(t) 1 t .

№20.3. x(t) sint cost.

№20.4. Розв’язків не існує.

№20.5. x(t) sin 2t .

№20.6. x(t) 3 2sin t 3sin2 t 2 .

 

1

1

 

 

1

 

 

 

 

№ 20.7. x(t)

 

sin

t s

x(s)ds

 

f (t).

2

2

 

1

 

 

 

 

 

№20.8. x(t) 2/3.

№20.9. x(t) 4sint.

136

№20.10. x(t) t C(1-t2), C .

№20.11. x(t) t.

№20.12. x(t) 2et 2 (2 e)t.

№20.13. x(t) cost.

3

 

1

 

 

 

1

 

№ 20.14. x(t)

 

 

 

 

x(s)ds

 

f (t).

 

 

 

3

2

2

t s

i

 

 

 

 

 

 

 

21. Інтегральне рівняння Вольтерра

№21.1. x(t) et .

№21.2. x(t) 1.

№21.3. x(t) et(t 1).

№21.4. x(t) 11t2 t arctgt 12ln(1 t2).

№21.5. x(t) 2et 2cost 5sint.

№21.6. x(t) 1 et 3cost 3sint 4e t/2cos3t .

6 2

№ 21.7. x(t) t .

t2

№21.8. x(t) e2 .

№21.9. x(t) e2t .

№21.10. x(t) t3et7 /7 .

№21.11. x(t) e t .

№21.12. x(t) 1.

137

Список використаних джерел

1.А.Н Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1985. – 231с.

2.В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Гостехиздат, 1959.

– 468 с.

3.А.П. Карташев, Б.Л. Рождественский. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. – М.: Наука, 1980. – 295 с.

4.Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1983. – 331с.

5.Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

– 2-е изд., – М.: Наука, 1960. – 424 с.

6.И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – 7-е изд., – М.: Изд-во МГУ, 1984.

7.А.Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.:

Наука, 1979. – 126 с.

8.А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. – М.: Высшая школа, 1989. – 383 с.

9.Э.А. Вуколов, А.В. Ефимов и др. Сборник задач по математике. 4-я часть. –

М.: Наука, 1990. – 302 с.

10. М.Л. Краснов, Г.И. Макаренко, А.И. Киселев. Вариационное исчисление.

Задачи с подробными решениями. – М.: УРСС, 2002. – 166 с.

11.Г.П. Головач, О.Ф. Калайда. Збірник задач з диференціальних та інтегральних рівнянь. – К.: Техніка, 1997. – 285 с.

12.А.В. Матросов. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. –

СПб.: БХВ-Петербург, 2001. – 528 с.

13.М.О. Гірник, А.В. Костенко, М.В. Лучко, М.І. Плеша. Maple 7. Основи практичного застосування. – Львів: ВНТЛ-Класика, 2002. – 174 с.

14.С.А. Кривошея, М.О. Перестюк, В.М. Бурим. Диференціальні та інтегральні рівняння. – К.: Либідь, 2004. – 408 с.

138

НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ

Дюкарев Юрій Михайлович, Літвінова Ольга Геннадіївна

ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНІ Й ІНТЕГРАЛЬНІ РІВНЯННЯ ТА ВАРІАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

Навчальний посібник

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности