Dyukarev, Litvinova Diff

a

(t)x a (t)x

a

(t)x f (t),

(12.1)

0

1

2

0x(t0) 0x(t0) 0x(t1) 0x(t1) 0,

(12.2)

x(t ) x

(t

)

x(t )

x(t ) 0.

(12.3)

1

0

1

0

1

1

1

1

Тут [t0,t1] – скінчений

відрізок в ; функції a0(t),a1(t),a2(t), f (t), – неперервні

на відрізку [t0,t1] та

f (t) 0,

a0(t) 0

t [t0,t1];

j, j, j, j

та

0

0

0

0

2.

rank

1

1

1

1

Разом із неоднорідним рівнянням (12.1) розглядатимемо і відповідне

однорідне рівняння

a0(t)x a1(t)x a2(t)x 0.

(12.4)

G(t,s) із властивостями:

1.

При фіксованому s (t0,t1) на інтервалі t (t0,s) функція

G(t,s) є

деяким залежним від s розв’язком однорідного рівняння (12.4), а на

інтервалі

t (s,t1)

функція

G(t,s) є

деяким іншим залежним від

s розв’язком

однорідного рівняння (12.4).

2.

При t t0

функція G(t,s) задовольняє крайовій умові (12.2), а при t t1

функція G(t,s) задовольняє крайовій умові (12.3).

3.

При t s

функція G(t,s) неперервна lim

G(t,s) lim

G(t,s) 0.

t s 0

t s 0

4.

При t s

похідна функції G(t,s) має стрибок

lim

G

(t,s) lim

G

(t,s)

1

.

t s 0 t

t s 0 t

a (s)

0

t

x(t) t1G(t,s) f (s)ds

.

(12.5)

0

x x f (t),

t [0, ]

x(0) x( ).

x(0) x( ),

Крок 1. Усі розв’язки

однорідного рівняння x x 0 задає формула

x(t) C1 cost C2 sint. За властивістю 1 функція Гріна має вигляд

ñ (s)cost c (s)sint,

0 t s ;

G(t,s)

1

2

0 s t .

ñ1(s)cost c2(s)sint,

Тут с1(s), c2(s), с1(s), c2(s) – довільні функції від s

(сталі відносно t).

Крок 2. За властивістю 2 функції Гріна маємо:

Звідси

с1(s) с1(s),

c2(s) c2(s).

Таким чином, функція Гріна має вигляд

ñ (s)cost c (s)sint,

0 t s ;

G(t,s)

1

2

0 s t .

ñ1(s)cost c2(s)sint,

ñ (s)coss c (s)sins 0,

1

2

Після розв’язання системи рівнянь отримаємо с (s) 1sins,c

(s) 1coss.

1

2

2

2

Отже

1sinscost 1 cosssint,

0 t s

2

2

G(t,s)

0 s t .

1sinscost 1 cosssint,

2

2

Звідси

G(t,s) 1sin

s t

,

0 t,s .

2

Вправи

x(t) 0

12sin

s t

f (s)ds.

Аудиторні

Домашні

Побудувати функцію Гріна за її

Побудувати функцію Гріна за її

властивостями

та розв’язати

властивостями

та розв’язати

крайову задачу:

крайову задачу:

№ 12.1. x f (t);

№ 12.5. x x f (t);

x(0) 0,

x(1) 0.

x(0) 0,

x( ) 0.

№ 12.2. x x f (t);

№ 12.6. x x f (t);

x(0) 0,

x(2) x(2) 0.

x(0) 0, x(1) 0.

№ 12.3. x x f (t);

№ 12.7. tx x f (t);

x(0) x(1), x(0) x(1).

x(1) 0,

x(2) 0.

№ 12.4. t2x 2tx f (t);

№ 12.8. t2x 2x f (t);

x(1) 0,

x(3) 0.

x(1) 0,

x(2) 2x(2) 0.

сталими коефіцієнтами

Теорія

1. Однорідною

системою лінійних

диференціальних рівнянь

(СЛДР)

n-го порядку зі сталими коефіцієнтами називається система

x1 a11x1 a12x2 a1nxn

x2

a21x1 a22x2 a2nxn

,

(13.1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

a x a x

a x

n

n1 1

n2 2

nn n

де ajk , 1 j,k n. Можна довести, що всі розв’язки

СЛДР (13.1) визначені

для всіх t .

Для запису

СЛДР

(13.1) зручно користуватися векторними та

матричними позначеннями. Введемо наступні об'єкти:

x1

x1

a11

a12

a1n

x x2

,

x

x2 ,

A a21

a22

a2n .

xn

xn

an1

an2

ann

За допомогою цих позначень СЛДР (13.1) записується у вигляді

x = Ax.

(13.2)

однорідного рівняння (13.2). Тоді формула

(13.3)

x C1x1(t) C2x2(t) Cnxn(t),

C1,C2, ,Cn

задає усі розв’язки рівняння (13.2).

дійсні та відповідні їм власні вектори h1,h2, ,hn

дійсні та

лінійно незалежні.

Тоді ФСР рівняння (13.2) утворюють вектор-функції e 1th1,

e 2th2, ,e nthn .

Приклад 13.1. Розв’язати систему:

x1 5x1 5x2 3x3

x2 6x1 5x2

.

x 2x x 2x

3

1

2

3

Запишемо цю систему у векторно-матричному вигляді

x

5 5

3 x

1

1

.

x

6 5

0

x

(13.4)

2

2

x

2

x

3

2 1

3

x

A

x

Крок 1. Знайдемо характеристичний многочлен матриці A:

5

5

3

p ( ) det(A I) det

6

5

0

3 2 2 2.

A

2

1

2

1

Крок 3. Знайдемо власний вектор h

2

матриці A, відповідний

1

3

5 1 5

3 1

0

6

5 1

2

0

0

.

2

1

3

0

2 1

Таким розв’язком є, наприклад,

1 3, 2 3, 3 1.

1

Крок 4. Знайдемо

власний вектор h2

2

матриці A, відповідний

3

власному значенню 2 1. Координати вектора h2

є нетривіальним розв’язком

системи рівнянь

5 1 5

3 1

0

6

5 1

2

0

0

.

2

1

3

0

2 1

1 2, 2 3, 3 1.

1

Крок 5. Знайдемо

власний

вектор h3

матриці A, відповідний

2

3

власному значенню 3 2. Координати вектора h3

є нетривіальним розв’язком

системи рівнянь

5 2

5

3 1

0

6 5

2

0

0

2

.

2

1

2 2

0

3

Таким розв’язком є, наприклад,

1 1, 2 2, 3 1.

Крок 6. ФСР для СЛДР (13.4) має вигляд:

3

2

1

t

t

t

t

3

,

e

t

3

,

e

2t

2

e 1 h1, e 2 h2, e 3 h3 e

1

1

1

Крок 7. Всі розв’язки СЛДР (13.4)

задає формула

x1

3

2

1

t

3

t

3

C3e

2t

2

,C2

,C3

.

x2 C1e

C2e

, C1

x

1

1

1

3

Або, повертаючись до скалярних позначень, здобудемо

x 3Ce t

2C

et

C e2t

1

1

2

3

x2 3Ce1

t 3C2et 2C3e2t ,

C1,C2,C3 .

x Ce t

C et

C e2t

3

1

2

3

3. Нехай матриця

A

СЛДР (13.2) така, що її власні числа 1, 2, , n ,

e 1th1, e 2th2, ,e nthn

(13.5)

Користуючись КФСР, можна побудувати дійсну ФСР за допомогою

наступної операції. Нехай комплексне число

1 1 1i є власним числом

e 1th1,

e 1th2

, ,e 1thm

1

.

(13.6)

t

t

t

e 1 h1, e 1 h2

, ,e 1 hm

1

Re(e 1th1),

Re (e 1th2), , Re(e 1thm

1

)

(13.7)

Im(e 1th2), , Im (e 1thm

.

Im(e 1th1),

1

)

x

x x

x

1

1

2

3

x2 x1 x2

.

x

3x

x

3

1

3

x1

1

1

1 x1

x

1

1

0

x

2

.

(13.8)

2

3

0 1

x

x

3

3

x

A

x

Крок 1. Знайдемо характеристичний многочлен матриці A:

1

1

1

p ( ) det(A I) det

1

1

0

3 3 2 7 5.

A

3

0 1

Крок 2. Знайдемо власні числа матриці A (розв’язки

характеристичного

многочлена):

p ( ) 3

3 2

7 5 0.

A

1

Крок 3. Знайдемо власний вектор h

2

матриці A, відповідний

1

3

власному значенню 1

1.

Координати вектора h1

є нетривіальним розв’язком

системи рівнянь

1 1

1

1 1

0

1

1 1

2

0

0

.

3

0

3

0

1 1

Таким розв’язком є, наприклад,

1 0, 2 1, 3 1.

1

Крок

4. Знайдемо

власний вектор h2

2

матриці

A, відповідний

3

власному

значенню

2

1 2i.

Координати

вектора

h2 є

нетривіальним

розв’язком системи рівнянь

1 1 2i

1

1

1

0

1

1 1 2i

0

0

2

.

3

0

0

1 1 2i

3

Крок 5. Знайдемо

власний

вектор h3

матриці

A , відповідний

2

3

власному значенню 3

1 2i.

Координати

вектора h3

є нетривіальним

розв’язком системи рівнянь

1 1 2i

1

1

1

0

1

1 1 2i

0

0

2

.

3

0

0

1 1 2i 3

Таким розв’язком є,

наприклад,

1 2i, 2 1, 3 3.

Відзначимо, що власний вектор h3

ми обрали таким, що h3

2 .

h

Крок 6. КФСР для СЛДУ (13.8) має вигляд

0

2i

2i

t

t

t

t

e

(1 2i)t

1

,

e

(1 2i)t

1

=

e 1 h1, e 2 h2,e 3 h3 e

1 ,

1

3

3

0

2i

2i

t

t

1

,

t

(cos2t isin2t)

1

e

1 ,

e

(cos2t isin2t)

e

,

1

3

3

0

2sin2t

2cos2t

t

,

e

t

cos2t

,

e

t

sin2t

e

1

.

1

3cos2t

3sin2t

x1

0

2sin2t

2cos2t

C1e

t

C2e

t

cos2t

C3e

t

sin2t

,

C1,C2,C3 .

x2

1

x

1

3cos2t

3sin2t

3