Dyukarev, Litvinova Diff

4.Нехай функції x(t), y(t) є розв’язками деякої системи

диференціальних рівнянь. Крива, що задається параметричними рівняннями

x x(t)

y y(t)

називається фазовою траєкторією.

Приклад 23.10. Побудувати фазову траєкторію розв’язку задачі Коші з

прикладу 23.9.

> with(DEtools):

>sys:={diff(x(t),t)=-0.5*x(t)+4*y(t),diff(y(t),t)=-4*x(t)-0.5*y(t)};

> DEplot(sys,[x(t),y(t)],t=0..10,x=-10..10,y=-10..10, [[x(0)=6,y(0)=-6]],

scene=[x(t),y(t)], stepsize=0.05,linecolor=black,

arrows=NONE,thickness=1);

121

5. Множина фазових траєкторій називається фазовим портретом.

Приклад 23.11. Побудувати фазовий портрет для системи

диференціальних рівнянь, розглянутої в прикладі 22.9.

> with(DEtools):

>sys:={diff(x(t),t)=-0.5*x(t)+4*y(t),diff(y(t),t)=-4*x(t)-0.5*y(t)};

> DEplot(sys,[x(t),y(t)],t=0..6,x=-7..7, y=-10..10, [[x(0)=4,y(0)=-4],

[x(0)=3.3,y(0)=-3.3],[x(0)=2.5,y(0)=-2.5]], scene=[x(t),y(t)],

stepsize=0.05,linecolor=black,arrows=NONE,thickness=1);

122

22

№1.9. x2 C(t2 1).

№1.10. x2 2 Ñe1t .

№1.11. x lg(C 10t ).

№1.12. 2t x 1 Cet.

№2.1. ln(x2 t2) C 2arctg x .

t

№2.2. sin xt Ct.

№2.4. 2t x 1 Ce2x t.

№2.5. (x t 5)5(t 2x 2) C.

123

№ 2.10. sin x 2t C(t 1).

t1

3.Лінійні рівняння першого порядку

№3.1. x Ct2 t4.

№3.2. x et(ln|t| C).

№3.3. x Cln2 t lnt.

№3.4. t x2 Cx; x 0.

№3.5. x3 Ct3 3t2.

№3.6. x2 Ct2 2t.

№3.7. tx C ln|t |.

№3.8. x t (C sint).

№3.9. tx (t3 C)e t.

№3.10. t (C cosx)sin x.

№ 3.11. (x 1)2t x lnCx; x 0; x 1.

№ 3.12. x 2 t4(2et C).

4.Рівняння у повних диференціалах. Рівняння, не розв’язані відносно похідної

№ 4.1. te x x2 C.

t3 5

№ 4.2. t x2 x C.

№ 4.3. t2 1 2(C 2t)sinx.

124

№ 4.4. x Ce t.

№4.6. 3t2x x3 C.

№4.7. t2 3t3x2 x4 C.

№4.8. t x2 cos2t C.

5.Метод введення параметра для рівнянь, не розв’язаних відносно похідної. Рівняння Клеро та Лагранжа

№5.1. t p3 p; 4x 3p4 2p2 Ñ.

№5.2. t ep C; x (p 1)ep; x 1.

№5.3. x Ct C2; 4x t2.

№5.4. 2C2(x Ct) 1; 8x3 27t2.

№5.5. tp2 p C; x 2 2Cp 1 ln p.

№ 5.6. tp ln p C; x p(4 ln p C); x 0.

125

6. Різні рівняння першого порядку

№ 6.1. sin x lnCt.

№6.10. x t(Ce t 1).

№6.11. x C, x C et.

№6.12. x2 t4 x4 C.

№6.13. (x 3t 7)(x t 1)3 C.

№6.14. t 2p ln p, x p2 p C.

7. Застосування диференційних рівнянь в прикладних і геометричних задачах

126

№ 7.3. Швидкість

№ 7.6. bln y y x C,0 y b.

№ 7.7. Кількість солі x(t) 10e t/20; x(60) 10e 3 0.5 кг.

№ 7.8. Швидкість v(t) gk thkgt, шлях s(t) 1k lnchkgt; s(t) h 16.3 м при

років.

№ 7.10. Різниця температур води та предмету x(t) 55 (3/5)t; x(t) 1 при

t ln55/(ln5-ln3) 8 хв.

8.Однорідні та неоднорідні лінійні рівняння n-го порядку зі сталими

коефіцієнтами. Неоднорідні рівняння зі спеціальною правою частиною

№8.1. x C1et C2e 2t.

№8.2. x e2t(C1cost C2sint).

№8.3. x e t/2(C1 C2t).

№8.4. x C1 cos2t C2 sin 2t.

№8.5. x (C1 C2t)cost (C3 C4t)sint.

127

№8.9. x C1 C2e2t.

№8.10.x et (C1 cost C2 sint) e t (C3 cost C4 sint).

№8.11. x et3(C1cost C2 sint) С3 cos2t C4 sin2t

e t 3(C5 cost C6 sint).

№8.12. x et(C1 C2t С3t2).

№8.13. x et(C1 C2t) С3e 2t.

№8.14. x C1e t C2e3t (1/5)e4t.

№8.15. x C1et C2e 2t t22 3t et.

№8.16. x et(C1 C2t t3).

9. Метод комплексифікації для розв’язання неоднорідних лінійних рівнянь вищих порядків зі сталими коефіцієнтами

№9.2. y C1cost C2 sint 2tcost.

№9.3. x C1e t C2e 2t 0,5te t e t (0,05sin 2t 0,1cos2t).

№9.4. x C1 cos2t C2 sin 2t 341 {et (sin 2t 4cos2t)

e t (4cos2t sin 2t)}.

№9.5. x t tsint 2cost.

№9.6. x e2t (C1 cos2t C2 sin 2t) 0,25e2t 0,1cos2t 0,05sin 2t.

128

№ 9.10. x 2 e t.

10. Метод варіації сталих. Рівняння Ейлера

№10.4. x C1t2 C2t3.

№10.5. x t(C1 C2 ln|t|) 2t3.

№10.6. x (t 2)2(C1 C2 ln |t 2|) t 1,5.

№10.7. x (e t e 2t)ln(et 1) C1e t C2e 2t.

129