Dyukarev, Litvinova Diff

b

За допомогою цих величин рівняння (20.3) можна записати в еквівалентній формі

отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих величин yi

вихідного інтегрального рівняння із виродженим ядром.

Приклад 20.2. Розв’язати інтегральне рівняння Фредгольма другого

роду:

91

Тепер система (20.7) виглядає:

У цієї системи існує нескінченно багато розв’язків виду:

Але тоді й вихідне рівняння має нескінченно багато розв’язків (див. (20.5))

3. У деяких випадках інтегральне рівняння Фредгольма другого роду можна звести до задачі Коші для диференціального рівняння 2-го порядку.

Приклад 20.3. Розв’язати інтегральне рівняння Фредгольма другого

роду:

Інтегральне рівняння можна записати у вигляді:

t1

x(t) t x(s)ds sx(s)ds 1.

0 t

Диференціюючи обидві частини цього рівняння, здобудемо:

Розв’язки останнього рівняння мають вигляд:

x(t) C1et C2e t, C1,C2 .

розв’язки вихідного інтегрального рівняння задає формула x(t) e cht.

4. Інтегральним рівнянням Фредгольма 1-го роду називається

a

Тут

[a,b] – компактний відрізок у ;

f (t) C[a,b] – деяка неперервна функція на відрізку [a,b];

92

K(t,s) C( )– деяка неперервна функція двох змінних у квадраті

(t,s):a t,s b .

Неперервна на відрізку [a,b] функція x(t) називається розв’язком

інтегрального рівняння Фредгольма 1-го роду, якщо рівність (20.8) виконано при всіх t [a,b].

У деяких випадках за допомогою диференціювання можна розв’язати інтегральне рівняння Фредгольма 1-го роду.

Приклад 20.4. Розв’язати інтегральне рівняння Фредгольма 1-го роду:

1

ts sgn(t s) x(s)ds t2 t/3 1/2.

0

Рівняння можна записати у вигляді:

t1

ts 1 x(s)ds ts 1 x(s)ds t2 t/3 1/2.

Остаточно маємо x(t) t. Безпосередньою підстановкою переконуємося у тому,

що знайдена функція дійсно є розв’язком вихідного рівняння.

93

5. У деяких випадках за допомогою диференціювання інтегральне рівняння Фредгольма 1-го роду можна звести до інтегрального рівняння Фредгольма 2-го роду.

Приклад 20.5. Звести інтегральне рівняння Фредгольма 1-го роду

до інтегрального рівняння Фредгольма 2-го роду

Наше рівняння можна записати у вигляді:

Ще раз диференціюємо обидві частини цього рівняння. Здобудемо:

З цього випливає рівняння Фредгольма 2-го роду:

Може трапитися так, що у рівняння Фредгольма 1-го роду розв’язків не існує, а

у здобутого після диференціювань рівняння Фредгольма 2-го роду розв'язки існують. Тому розв’язання інтегральних рівнянь цим методом завжди слід завершувати перевіркою здобутих розв’язків.

94

Вправи

95

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

t

xn 1(t) K(t,s)xn (s)ds f (t),

a

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

збігається до єдиного розв’язку x(t) рівняння (21.1).

Приклад 21.1. Методом ітерацій розв’язати інтегральне рівняння

Вольтерра 2-го роду:

t

x(t) (t s)x(s)ds 1.

0

Побудуємо ітераційну послідовність

x0(t) 1,

t

x1(t) (t s)x0(t)ds 1 1 t22 ,

0

t

x2(t) (t s)x1(t)ds 1 1 t22 t4!4 ,

0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

t

xn 1(t) (t s)xn(t)ds 1 1 t22 t4!4 ( 1)n 1t2n 2 , (2n 2)!

0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

З цього випливає, що розв’язком рівняння є функція x(t) lim xn(t) cost.

n

2. Інтегральним рівнянням Вольтерра 2-го роду з виродженим ядром називається рівняння

Розглянемо функції

97

t

un(t) qn(s)x(s)ds.

a

Підставимо ці функції у (21.3). Отримаємо формулу, яка виражає розв’язок інтегрального рівняння Вольтерра з виродженим ядром (21.2) через невідомі

функції uj(t):

Диференціюємо співвідношення (21.4). Користуючись (21.5), одержимо для невідомих функцій uj(t) систему диференціальних рівнянь:

З (21.4) отримаємо початкові умови u1(a) un(a) 0. Розв’яжемо цю задачу Коші відносно функцій uj(t). Підставимо функції uj(t) у рівність (21.5) та отримаємо формулу для розв’язків вихідного інтегрального рівняння із виродженим ядром.

Приклад 21.2. Розв’язати інтегральне рівняння Вольтерра другого роду:

t chs

x(t) 0 cht x(s)ds 1.

98

Або, що те ж саме,

u(t) u(t) cht.

3. У деяких випадках інтегральне рівняння Вольтерра другого роду можна звести до задачі Коші для диференціального рівняння.

Приклад 21.3. Розв’язати інтегральне рівняння Вольтерра другого роду:

Виключивши з інтегральних рівнянь (21.6) та (21.8) інтеграл cos(t s)x(s)ds,

Тут

[a,b] – компактний відрізок у ;

f (t) – деяка неперервно диференційована функція на відрізку [a,b];

K(t,s) C( )– деяка неперервна функція двох змінних у трикутнику

(t,s):a t b,a s t .

99

Неперервна на відрізку [a,b] функція x(t) називається розв’язком

інтегрального рівняння Фредгольма 1-го роду, якщо рівність (21.8) виконано при всіх t [a,b].

У випадку, коли функція K(t,s) є неперервно диференційованою та задовольняє умові K(t,t) 0, за допомогою диференціювання інтегральне

рівняння Вольтерра 1-го роду можна звести до інтегрального рівняння Вольтерра 2-го роду. Дійсно, диференціюємо обидві частини рівняння (21.8) по t. Дістанемо:

З цього випливає інтегральне рівняння Вольтерра 2-го роду:

Приклад 21.4. Розв’язати інтегральне рівняння Вольтерра 1-го роду:

t

(2 t2 s2)x(s)ds t2.

0

Диференціюючи обидві частини цього рівняння, отримаємо:

t

2x(t) 2tx(s)ds 2t

0

t

або, що теж саме, x(t) tx(s)ds t. Останнє рівняння є рівнянням Вольтера 2-

0

го роду з виродженим ядром. Його розв’язком є функція x(t) te t2 /2.

Підстановкою переконуємося в тому, що знайдена функція дійсно є розв’язком вихідного рівняння

Вправи

100