§. Дифференцируемые функции. Дифференциал.
Т0. Если для функции
существуют частные производные
в некоторой окрестности точки Р0,
и непрерывны в Р0, то
,
где
- бесконечно малые величины.
Δ.
=
=
+
+
+
+
.
Имеем сумму частных приращений. По
формуле конечных приращений для функции
одного переменного получаем:
=
=
.
При
получим:
.
▲.
Def: Функция
называется дифференцируемой в точке
Р0, если возможно представление:
,
(*)
где
– константы, а
при
.
Полагая в (*) (если оно выполнено) все
,
кроме
,
получим:
.
Отсюда запишем: для функции дифференцируемой в Р0:
.
Def: Главная линейная часть
приращения
называется дифференциалом функции
в точке Р0 и обозначается
,
а величины
называются частными дифференциалами.
Если дифференцируема, то
Тогда
Для независимых переменных
и
.
Пример.
.
Пример (контрпример).
Δ. Рассмотрим
;
Мы уже рассматривали эту функцию и
установили, что в Р0(0, 0) она
непрерывна. Далее:
.
Так как
,
то
и, следовательно, функция
имеет в (0,0) частные производные.
Однако, формула
не имеет места.
В самом деле:
и
не стремится к 0. Связано это с тем, что
в точке Р0 не являются
непрерывными:
и,кроме того,
.
▲
§. Производная сложной функции.
Т0. Если
– функция дифференцируемая в точке Р0
и функции
дифференцируемы в t0 , то функция
дифференцируема в точке t0 и
.
Δ.
=
=
=
.
Это и доказывает дифференцируемость функции и
. ▲
Без труда можно доказать и формулы для дифференцирования сложной функции и в более общем случае:
Пусть
и
.
Тогда для
справедливо:
.
Примеры.
10. Пусть
и
.
Найти
и
.
;
.
20. (контрпример). Пусть
и
.
Найти
.
а)
;
б)
.
Получили результаты, противоречащие один другому. Этот случай показывает, что формула производной сложной функции в этом случае не работает.
NB. Оказывается существование частных производных недостаточно для дифференцируемости (хотя наоборот верно). Дифференцируемость более жесткое требование, чем существование частных производных.
§. Формула конечных приращений для функции многих переменных.
=
=
=
=
.
Δ. Доказательство основано на возможности
соединить точки
и Р прямолинейным отрезком,
принадлежащим области
.
▲
§. Производная функции по направлению.
и в пространстве задано направление
.
Производной функции
по направлению
называется
.
Запишем параметрическое уравнение прямой проходящей через точки Р и Р0:
;
:
.
Тогда:
и, значит
.
Если ввести в рассмотрение вектор
то получим
.
Значит
,
где - угол между
направлением
и направлением
.
Следовательно,
показывает
направление наискорейшего возрастания
функции f, а его длина совпадает со
скоростью возрастания функции в этом
направлении.