- •Раздел 8. Функции многих переменных. §. Воспоминания о будущем.
- •§. Определение функции многих переменных.
- •§. Повторные пределы (на примере функций двух переменных).
- •§. Непрерывные функции.
- •§. Функции непрерывные в области.
- •§. Равномерная непрерывность функции на множестве.
- •§. Компактные множества в Еn.
- •Раздел 9. Дифференцирование функций многих переменных.
- •§. Дифференцируемые функции. Дифференциал.
- •§. Производная сложной функции.
- •§. Формула конечных приращений для функции многих переменных.
- •§. Производная функции по направлению.
- •§. Инвариантность формы 1го дифференциала при замене переменных.
- •§. Производные высших порядков.
- •§. Дифференциалы высших порядков.
- •§. Формула Тейлора.
- •§ Экстремумы функций нескольких переменных.
- •§. Достаточные условия экстремума.
- •Примеры:
- •§. Наибольшие и наименьшие значения функции в замкнутой области.
- •§ Функции многих переменных, заданные неявно.
- •§ Примеры вычисления производных от неявных функций.
- •§. Замена переменных в дифференциальных выражениях.
- •§. Условные экстремумы функций многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
§. Определение функции многих переменных.
Def:Если вЕnзадано правило по которому, каждой точке пространства поставлено в соответствие число, то говорят, что вЕnзадано вещественно – значная функцияnпеременных.
Def:Областью определения функцииназывается множество точек евклидового пространства, для которых задано значение функции. Областью значений функции называется множество вещественных чисел, являющихся образами точек евклидового пространства.
Def: ЧислоАназывается пределом функцииf (P) приесли:
.
Тº.ПустьиD(f) =M. Для того, чтобы существовалнеобходимо и достаточно, чтобы, числовая последовательность.
Пример:
1).Для нахождения, рассмотрим последовательность:
, ане существует.
2º).т.к..
§. Повторные пределы (на примере функций двух переменных).
1º).Пусть. Требуется найти двойной предел:.
Рассмотрим:
а)..б)..
Найденные пределы функции называются повторными пределами.
Т.к. повторные пределы различны, то не существует.
2º).Пусть. Требуется найти двойной предел:.
а).; б). .
Последний из повторных пределов, а вместе с ним и двойной не существует.
Примеры показывают, что при перестановке двух предельных переходов следует быть очень осторожным.
Тº.Если: 1) Существует (конечный или нет) двойной предел:;
При любом существует (конечный) предел пох:,
то существует и повторный предел: , равный двойному Δ▲.
Однако, не следует думать, что существование двойного предела необходимо для равенства повторных:
Пример:, как было установлено, не существует, а повторные пределы существуют,и равны между собой.
§. Непрерывные функции.
Def:Функцияназывается непрерывной в точкеР0, еслиили, что тоже самое,. В противном случае говорят, чтоимеет разрыв в точке.
На языке ε – δ.
Def: Функциянепрерывна в точкеР0, еслиили, что тоже самое,или
.
Если функция непрерывна, то она оказывается непрерывной по любой переменной, по любой паре переменных, …..
Пример:Если рассмотреть функцию, и учесть ранее установленный факт, чтоне существует, то получим пример функции, имеющей в точкеточку разрыва.
Легко сформулировать и доказать теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения, частного двух непрерывных функций.
Тº .Пустьи, кроме того,.
Кроме того, пусть функции все непрерывны в точке, а функциянепрерывна в соответствующей точкес координатами.
Тогда и сложная функция: также
непрерывна в точке .
Δ. Сначала по определим и найдемтакие что, из
следует, что и доказывает теорему.▲
§. Функции непрерывные в области.
Def:Функция непрерывна на множествеМ, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Тº.(аналог теоремы Больцано - Коши). Пусть функциянепрерывна в связной областиDитакие, чтотогда в области существует точка, в которой.
Δ
• либо в какой – то вершине функция равна нулю и тогда теорема доказана.
• либо это не так и, следовательно, найдется отрезок ломаной, на котором функция имеет разный знак на концах. Переобозначим концы этого отрезка как .
Уравнение этого отрезка прямой имеет вид: .
Тогда, при движении вдоль прямой исходная функция становится функцией одного переменного t:, которая непрерывна, как суперпозиция непрерывных функций и к ней применима соответствующая теорема для функции одного переменного:.▲
1-я теорема Вейерштрасса. Еслиопределена и непрерывна в ограниченной замкнутой областиD, то она ограничена на нем, т.е..
Δ. От противного. Пусть неограниченна. Тогда.
Имеем последовательность . Из последовательностивыберем сходящуюся подпоследовательностьи т.к.предельная точка замкнутой областиD,, то из непрерывности следует, что, что противоречит.▲
2-я теорема Вейерштрасса. Если определена и непрерывна в ограниченной замкнутой областиD, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения, т.е.
Δ. (Докажем для верхней границы). Пусть . Т.к.М- точная верхняя грань, то
Построена последовательность; извлекаем из нее сходящуюся подпоследовательность. Тогда, ибо функция непрерывна и, кроме того,. В пределе, но больше быть не может. ▲