§ .Поверхностные интегралы 2рода.

Пусть в Е₃задана поверхность : ;

, и на поверхности Sзадана вектор-функция

и, при этом .

Рассмотрим:.

Если такой предел существует и конечен, то он называется поверхностным интегралом 2-го рода и обозначается .

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода – поток векторного полячерез поверхностьSв направлении нормали, определяемой вектором, т.е. стороной поверхности. Собственно говоря, это и есть определение потока векторного поля через поверхность.

Свойства поверхностного интеграла 2-го рода:

1.Интеграл меняет знак при изменении стороны поверхности, по которой идет интегрирование:.

2.Связь с поверхностным интегралом 1рода.

.

Здесь единичный вектор нормали к поверхности;– направляющие косинусы нормали к поверхности;,,;

.

3.Если помнить о том, что:,

, , легко написать формулу для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода

.

Примерывычисления поверхностных интегралов 2рода.

1.Вычислить, гдеS – внешняя сторона сферы=

Вектор нормали был найден в предыдущем параграфе, в примере3.

.

Знак в выражении для берем так, чтобы в 1октанте координаты векторабыли положительными (внешняя сторона).

.

Вектор .

Тогда: =

= . ▲

2.Вычислить, еслиS- внешняя сторона конуса

с крышкой z= 1.

Δ Поверхность интегрирования состоит из двух частей – боковой поверхности конуса и крышки. Поэтому: .

а). Для вычисления первого из них, отметим что и, следовательно:

.

б). Для вычисления второго из них, вспомним что для поверхности, заданной явно:. Знак выбран так, чтобы получить внешнюю нормаль к поверхности. Получаем:

.

Таким образом .

§. Скалярные поля.

П

усть задана областьв евклидовом пространстве и взадана функция. Тогда говорят, что взадано скалярное поле (синоним: функция трех переменных). Поверхностиназываются поверхностями уровня скалярного поля.

Пусть задан вектор с известными направляющими косинусами .

Производной скалярного поляпо направлениюназывается величина:

.

Запишем параметрическое уравнение прямой :

;

Тогда на этой прямой:

и тогда:

.

Вводя вектор получим:.

Из делаем вывод, что векторуказывает направление максимального роста поля и по величине равен скорости роста поля в этом направлении.

Такое определение является инвариантным относительно системы координат.

Если для векторного поля существует скалярное полетакое, чтото поленазывается потенциальным полем а скалярное поленазывается его потенциалом.

Необходимое и достаточное условие потенциальности поля:

.

§. Векторные поля.

Пусть задана область в евклидовом пространстве , и взадана векторная функция. Тогда, говорят что взадано векторное поле.

Def:Линии в пространстве в каждой точке которых векторное поле направлено по касательной к данной линии называется векторными линиями поля (силовыми линиями, линиями тока).

Векторные линии можно найти исходя из системы дифференциальных уравнений векторных линий: , например для:– прямые, проходящие через начало координат.