§. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть fR_I,aI,xI. Рассмотрим функцию:.

Прежде отметим два простых факта

а). Непрерывность интеграла, как функции верхнего предела:

.

б)Дифференцируемость интеграла, как функции верхнего предела:fR_I , fнепрерывна вx₀I, тодифференцируема в точке x₀, причём производная по верхнему пределу совпадает со значением подынтегральной функции в точкеx₀:.

====

= .

т.е. .

Далее

в)Существование первообразной у непрерывной функции. Еслиf (x) непрерывна на промежутке, то у неё существует первообразная, которая с точностью до постоянного слагаемого является определённым интегралом от этой функции с переменным верхним пределом

F (x) =f(x)xI, гдеf (x) непрерывна по условию.

г)Обобщённая первообразная.ФункцияF(x) называется обобщённой первообразной для

f (x) наI, еслиF (x) =f (x) всюду наI, кроме может быть не более чем счётного множества точек. Примерт.е. |x | – обобщённая первообразная дляsgnx.

Обобщённые первообразные отличаются не более, чем на постоянное слагаемое:

.

Т.Всякая непрерывная на некотором промежутке функция, производная которой существует и равна нулю всюду кроме, не более чем счётного числа точек является константой.▲

«

канторова-лестница»

F (x) = 0xС С– множество точек разрыва т.к.(С) = 0, тоF (x) = 0 п.в. на [0, 1] поF(x) не константа (т.е. не более чем счётное число точек и множество лебеговой меры нуль не одно и тоже).

д).Если функцияf (x) наIимеет обобщённую первообразную,то[a,b]I

.

Записанная выше формула и есть формула Ньютона–Лейбница, связывающая интегральное исчисление с дифференциальным и, позволяющая вычислять определенные интегралы с помощью первообразных.

 В равенстве положимx=aC= –(a)

 или, что тоже самое.▲

§. Дифференцирование определённого интеграла, пределы которого дифференцируемые функции.

Вспоминая цепное правило дифференцирования сложной функции, можно написать следующую формулу .▲.

§. Замена переменных в определённом интеграле.

П

устьfR_{[a, b]}и на промежуткеx[a,b] рассматривается. Кроме того, пусть задана функцияx=(t)t[,], причем() =a,() =b

и функция строго монотонна и непрерывно дифференцируема на промежутке. Тогда справедлива формула, именуемая формулой замены переменной в определенном интеграле

.▲.

На иллюстрации сделана попытка пояснить необходимость монотонности функции x=(t).

§. Примеры.

1.Найти.

а). Формальное применение формулы Ньютона–Лейбница дает

, что само по себе удивительно, ибо интеграл от неотрицательной функции оказался отрицательным.

б). Давайте более аккуратно подойдем к нахождению первообразной функции. Для этого найдем первообразную отдельно дляx больших и дляx меньших нуля.

Получим для , и для. Чтобы найти первообразную на всем промежуткенадо потребовать чтобы найденная первообразная была непрерывна, т.е. чтобы. Значит первообразная подынтегральной функции на промежуткеимеет види теперь применение формулы Ньютона– Лейбница дает правильный результат.

2.. Формально выполняя замену переменнойполучим что, что очевидно неверно. Для получения правильного результата необходимо учесть, что функцияразрывна прии следовало бы написать

, однако на этом пути нас ожидает еще одна неприятность принципиального порядка. Идея определенного интеграла не может быть реализована для бесконечных промежутков интегрирования. Здесь мы вторгаемся в область несобственных интегралов, которые будут рассмотрены несколько позже.

Приведенные два примера показывают что, и при применении формулы Ньютона –Лейбница и при замене переменной в определенном интеграле следует быть очень осторожным.