Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2MA_Lekc_1.doc
Скачиваний:
27
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
767.49 Кб
Скачать

§.Необходимое условие интегрируемости

Т.Функция, интегрируемая на некотором промежутке, необходимо ограничена на нём.

Множество функций, интегрируемых на промежутке, обозначается: R(I) илиR[a, b].

Напоминание:Критерий Коши существования предела по базефункции

.

∆ Докажем: ограничена наI. Так как функция интегрируема, то

От противного: Предположим, что не ограничена наI .Тогдане ограничена на некотором подпромежутке промежутка разбиения, т.е. при:

Это следует из интегрируемости функции .

Но, если выбрать разбиения и, отличающиеся только одной отмеченной точкой, для которых(это возможно, т.к. функция неограниченна) то получим:. Полученное противоречие доказывает теорему. ▲

Но ограниченность – только необходимое условие интегрируемости, однако недостаточное. Например, функция Дирихле не интегрируема (хотя и ограниченна). В самом деле:, и, следовательно, предел интегральных сумм не существует.

§ Суммы и интегралы Дарбу

Рассмотрим разбиение промежутка [a,b] –Р[a, b]. Для каждого промежутка разбиения выберем

;

и построим суммы: и, называемые нижней и верхней суммами Дарбу.

При этом: и,.

Нетрудно понять, что при измельчении разбиения не уменьшаются, ане увеличиваются:.

Таким образом, нижние суммы Дарбу при измельчении разбиении образуют монотонно возрастающую и ограниченную сверху, а верхние – монотонно убывающую и ограниченную снизу последовательности. По теореме Вейерштрасса каждая из этих последовательностей имеет предел при . Эти пределы называются нижним и верхним интегралами Дарбу.

,и, кроме того,.

§ Критерий Дарбу интегрируемости функций по Риману

Т°.Функцияf (x) интегрируема на промежутке [a,b], тогда и только тогда, когда её

верхний и нижний интегралы Дарбу равны между собой.

.

∆. а). Пусть функция интегрируема по Риману. Тогда

.

Следовательно: и, в силу того, что и верхняя и нижняя суммы Дарбу есть частные случаи сумм Римана, получим. Переходя к пределу приполучаем, что, т.е.

.

б). Пусть верхний и нижний интегралы Дарбу совпадают. Принимая во внимание, что и используя теорему о двух милиционерах, переходим к пределу при:. ▲

Другие формулировки того же критерия:

*).Еслиинтегрируема на, то.

*).Еслиинтегрируема на, то.

§ Интегрируемость непрерывных и монотонных функций

Т°.Функция непрерывная на замкнутом промежутке интегрируема на нём.

.

Т°.Функция монотонная на замкнутом промежутке интегрируема на нём.

.

∆ а). Пусть т.е. непрерывнаравномерно непрерывна на. Тогда, и получим:

и по критерию Дарбу, что и требовалось доказать.

б). Пусть f (x) монотонна на [a,b]. Например, монотонно возрастающая:.

Тогда: , что и требовалось доказать.

§. Интегрируемость суммы, произведения и частного

интегрируемых функций

1°.

∆ Отметим, что f(x) иg(x) – ограничены на [a,b].

, .

Отсюда следует, что и, следовательно

что, по критерию Дарбу, означает интегрируемость суммы двух (а значит и любого конечного числа) интегрируемых функций.

2°. .

∆ Пусть f (x),g(x) – ограничены.

=

.

Значит , что, по критерию Дарбу, означает интегрируемость произведения двух (а значит и любого конечного числа) интегрируемых функций.

3°. иg(x) – отделена от нуля.

∆ Достаточно доказать интегрируемость функции :

.

Здесь мы воспользовались тем, что g(x) отделена от нуля, т.е. |g(x) |m> 0 ии, по критерию Дарбу, функцияинтегрируема.

Функция интегрируема, как произведение интегрируемых функцийи.

§. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.

T°.Функцияf (x) интегрируема по Риману на [a,b] тогда и только тогда, когда она

ограничена и непрерывна почти всюду на [a,b].(п.в. на [a,b]), т.е. множество её точек

разрыва имеет лебегову меру ноль.

Def:МножествоМимеет лебегову меру ноль ((M) = 0 ) если существует не более чем счётная система промежутков, покрывающая множествоМ и имеющая сколь угодно малую суммарную меру т.е.> 0{In}nN.

Промежутки In– будем считать открытыми, хотя это всё равно.

При этом:

1).Точка и конечное множество точек имеет лебегову меру ноль.

2). Счётное число точек имеет лебегову меру ноль..

3).Всякое подмножество множества лебеговой меры ноль имеет лебегову меру ноль.

4).Объединение не более чем счётного числа множеств лебеговой меры ноль имеет лебегову

меру ноль.

5).Невырожденный промежуток не имеет лебеговой меры ноль и не может быть покрыт не более чем счётной системой промежутков с суммарной мерой меньшей его длины.

6).Множество лебеговой меры ноль не может иметь внутренних точек.

7).Существуют несчётные множества лебеговой меры 0.

Для построения такого множества рассмотрим отрезок.

На первом шаге разделим отрезок на три равные части и удалим из отрезка средний интервалдлиной. После первого шага останется два отрезкаи. На следующем шаге с каждым из двух отрезковипоступим так же, как на первом шаге поступили с исходным отрезкомт.е. выбросим еще два интервала длиной по. После второго шага останется четыре отрезка,,,. На рисунке изображены первые четыре шага построения искомого множества. Продолжим эту процедуру до бесконечности.

Множество точек, которые останутся после проведения описанной процедуры, называется канторовым множеством.

Мера построенного канторового множества Сравна. Итак, канторово множество имеет лебегову меру ноль. Докажем, что это множество не счетно.

Для этого представим каждое число, входящее в множество, в виде двоичной дроби, у которой целая часть равна нулю, первой цифрой после запятой является 1 или 3, в зависимости от того находится точка на левом или правом из трех промежутков, на которые разбит промежуток на первом шаге проделанной процедуры, вторая цифра после запятой это вновь 1 или 3, в зависимости от того находится точка на левом или правом из трех промежутков, на которые разбиты соответствующие подпромежуткина втором шаге проделанной процедуры, и т.д.

Тогда каждому элементу канторового множества поставлено в соответствие число вида , гдеэто 1 или 3. Покажем что множество таких дробей не счетно. Доказательство проведем от противного. Допустим множество счетно, т.е. все его элементы можно занумеровать. Пусть эти числа занумерованы

1). , 2)., 3)., 4)., …..

Здесь нижний индекс означает номер цифры после запятой, а верхний – номер, который получило число при данном способе нумерации. Тогда число , у которого, еслии наоборот, не совпадает ни с одним из пронумерованных чисел, хотя и является числом того же типа. Противоречие доказывает что канторово множество не счетно. ▲

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]