- •Медична і біологічна фізика Підручник для студентів вищих медичних закладів освіти III - IV рівнів акредитації.
- •1.1. Механічні властивості біологічних тканин
- •1.1.2. Деформація біологічних тканин
- •1.2. Плин в'язких рідин у біологічних системах
- •1.2.1. В'язкість рідини
- •1.2.2. В'язкість крові
- •1.2.3. В'язко-пружні властивості біологічних тканин
- •1.2.4. Основні рівняння руху рідини
- •1.2.5. Критерії механічної подібності рідин, що рухаються
- •1.2.6. Пульсові хвилі
- •1.3. Механічні коливання
- •1.3.1. Гармонічні коливання та їх основні параметри
- •1.3.2. Затухаючі коливання і аперіодичний рух
- •1.3.3. Вимушені коливання
- •1.3.4. Явище резонансу і автоколивання
- •1.3.5. Додавання гармонічних коливань
- •1.4. Механічні хвилі
- •1.4.1. Хвильове рівняння. Поздовжні і поперечні хвилі
- •1.4.2. Потік енергії хвилі. Вектор Умова
- •1.5. Акустика. Елементи фізики слуху. Основи аудіометрії
- •1.5.1. Природа звуку, його основні характеристики (об'єктивні і суб'єктивні)
- •1.5.2. Закон Вебера-Фехнера
- •1.5.3. Ультразвук
- •1.5.4. Інфразвук
- •1.6. Практикум з бюреології
- •1.6.1. Лабораторна робота №1 "Дослідження пружних властивостей біологічних тканин"
- •1.6.2. Лабораторна робота №2 "Визначення коефіцієнта в'язкості"
- •2.1. Електростатика
- •2.1.1. Основні характеристики електричного поля
- •2.1.2. Електричний диполь
- •2.1.3. Діелектрики, поляризація діелектриків
- •2.1.4. Діелектричні властивості біологічних тканин
- •2.1.5. П'єзоелектричний ефект
- •2.2. Постійний струм. Електропровідність біологічних тканин
- •2.2.1. Характеристики електричного струму
- •2.2.2. Електропровідність біологічних тканин ірідин
- •2.2.3. Дія електричного струму на живий організм
- •2.3. Магнітне поле
- •2.3.1. Магнітне поле у вакуумі і його характеристики
- •2.3.2. Закон Біо-Савара-Лапласа
- •2.3.3. Дія магнітного поля на рухомий електричний заряд. Сила Ампера і сила Лоренца
- •2.3.4. Магнітні властивості речовини
- •2.3.5. Магнітні властивості тканин організму, фізичні основи магнітобіології
- •2.4. Електромагнітні коливання
- •2.4.1. Рівняння електричних коливань
- •2.4.2. Вимушені електричні коливання, змінний струм
- •2.4.3. Повний опір кола змінного струму (імпеданс). Закон Ома для кола змінного струму
- •2.4.4. Імпеданс біологічних тканин
- •2.5. Електромагнітні хвилі
- •2.5.1. Струм зміщення
- •2.5.2. Рівняння Максвелла
- •2.5.3. Плоскі електромагнітні хвилі. Вектор Умова-Пойнтінга
- •2.5.4. Шкала електромагнітних хвиль
- •2.6. Семінар "методика одержання, реєстрації та передачі медико-бюлогічної інформації"
- •2.6.1. Прилади для вимірювання електричних параметрів та їх класифікація
- •2.6.2. Вимірювання сили струму, напруги, ерс, опору в електричному колі
- •2.6.3. Осцилографи, генератори, підсилювачі, датчики
- •2.7. Лабораторний практикум
- •2.7.1. Лабораторна робота №1 "Визначення величини артеріального тиску за допомогою ємнісного датчика"
- •2.7.2. Лабораторна робота №2 "Напівпровідниковий діод"
- •2.7.3. Лабораторна робота №3 "Вивчення роботи транзистора"
- •2.7.4. Лабораторна робота №4 "Електрофоретичний метод визначення рухливості іонів"
- •3.1. Загальні відомості про електронну медичну апаратуру (ема)
- •3.1.1. Класифікація електронної медичної апаратури
- •3.1.2. Техніка безпеки
- •3.1.3. Правила безпеки
- •3.1.4. Технічні характеристики ема
- •3.2. Семінар "взаємодія електромагнітного поля з біологічними тканинами"
- •3.2.1. Основні характеристики емп
- •3.2.2. Основні процеси, які характеризують дію емп на біологічні тканини
- •3.2.3. Теплова дія емп на бт
- •3.2.4. Специфічна дія емп на біологічні тканини
- •3.3. Лабораторна робота №1 "робота з фізіотерапевтичною апаратурою"
- •3.3.1. Робота з увч-апаратом
- •3.3.2. Ультразвуковий терапевтичний апарат
- •3.3.3. Апарат для дарсонвалізації"Іскра-1"
- •3.4. Лабораторна робота №2 "робота з електрокардіографом експчт-4"
- •3.4.1. Природа електрокардіограми (екг)
- •3.4.2. Завдання до лабораторної роботи
- •3.5. Лабораторна робота №3 "робота з реографом ргч-01"
- •3.5.1. Додаткові теоретичні відомості
- •3.5.2. Стислі технічні характеристики та інструкція з експлуатації реографа ргч-01
- •4.1. Міжмолекулярні взаємодії у біополімерах
- •4.1.1. Класифікація взаємодій у біополімерах
- •4.2. Структурна організація білків та нуклеїнових кислот
- •4.2.1. Первинна структура
- •4.2.2. Вторинна структура
- •4.2.3. Третинна структура
- •4.2.4. Четвертинна структура
- •4.3. Будова і властивості біологічних мембран
- •4.4. Пасивний та активний транспорт речовин крізь мембранні структури клітин
- •4.4.1. Пасивний транспорт незаряджених молекул
- •4.4.2. Пасивний транспорт іонів
- •4.4.3. Активний транспорт
- •4.5. Біологічні потенціали
- •4.5.1. Рівноважний мембранний потенціал Нернста
- •4.5.2. Дифузійний потенціал
- •4.5.3. Потенціал Доннана. Доннанівська рівновага
- •4.5.4. Стаціонарний потенціал Гольдмана-Ходжкіна-Катца
- •4.5.5. Потенціал дії. Механізм виникнення та поширення нервового імпульсу
- •4.6. Лабораторний практикумі
- •4.6.1. Лабораторна робота "Дослідження нелінійних властивостей провідності шкіри жаби"
- •4.6.2. Лабораторна робота "Дослідження дисперсії електричного імпедансу біологічних тканин"
- •4.6.3. Лабораторна робота "Вимірювання концентраційного потенціалу компенсаційним методом"
- •4.6.4. Практичне заняття "Вивчення біофізики мембран за допомогою комп'ютерних програм"
- •5.1. Відкриті біологічні системи, закони термодинаміки і термодинамічні потенціали
- •5.2. Основи термодинаміки незворотних процесів
- •5.2.1. Лінійний закон
- •5.2.2. Принцип симетрії кінетичних коефіцієнтів і виробництво ентропії
- •5.2.3. Спряження потоків у біологічних системах
- •5.2.4. Стаціонарний стан відкритих систем і теорема Пригожина щодо мінімуму виробництва ентропії
- •5.3. Відкриті медико-бюлогічні системи, що знаходяться далеко від рівноваги (елементи синергетики)
- •5.4. Моделювання процесів у складних медико-бюлопчних системах
- •5.5. Практичне заняття "термодинаміка відкритих біологічних систем"
- •6.1. Інтерференція світла
- •6.1.1. Інтерференція від двох когерентних світлових джерел
- •6.1.2. Історія відкриття явища просвітлення оптики, праці о. Смакули
- •6.1.3. Інші застосування явища інтерференції світла
- •6.2. Дифракція світла
- •6.2.1. Дифракція на щілині в паралельних променях
- •6.2.2. Дифракційна решітка
- •6.2.3. Голографія та її застосування в медицині
- •6.3. Геометрична оптика
- •6.3.1. Ідеальна центрована оптична система
- •6.3.2. Похибки оптичних систем
- •6.3.3. Оптична мікроскопія
- •6.4. Поляризація світла
- •6.4.1. Поляризація світла при відбиванні та заломленні
- •6.4.2. Поляризація при подвійному променезаломленні в кристалах
- •6.4.3. Поляризація світла при проходженні крізь поглинаючі анізотропні речовини
- •6.5. Взаємодія світла з речовиною
- •6.5.1. Дисперсія світла
- •6.5.2. Поглинання світла
- •6.5.3. Розсіяння світла
- •6.6. Фізичні основи термографії, закони теплового випромінювання
- •6.6.1. Закон Кірхгофа
- •6.6.2. Закон випромінювання Планка
- •6.6.3. Закон Стефана-Больцмана
- •6.6.4. Закон зміщення Віна
- •6.6.5. Випромінювання Сонця
- •6.6.6. Інфрачервоне випромінювання
- •6.6.7. Ультрафіолетове випромінювання
- •6.7. Біофізичні основи зорової рецепції
- •6.8. Лабораторний практикум
- •6.8.1. Лабораторна робота "Вивчення мікроскопа та вимірювання мікрооб'єктів"
- •6.8.2. Лабораторна робота "Визначення концентрації розчинів рефрактометричним методом"
- •7.1.1. Місце квантової механіки в системі наук про рух тіл
- •7.1.2. Гіпотеза де Бройля
- •7.1.3. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга
- •7.1.4. Основне рівняння квантової механіки - рівняння Шредінгера
- •7.2. Випромінювання та поглинання енергії атомами та молекулами
- •7.2.1. Атомні спектри
- •7.2.2. Молекулярні спектри
- •7.3. Електронний парамагнітний резонанс,
- •7.3.1. Метод електронного парамагнітного резонансу
- •7.3.2. Метод спінових міток (спінових зондів)
- •7.3.3. Спін-імунологічний метод
- •7.3.4. Метод ядерного магнітного резонансу
- •7.4. Практикум 3 квантової механіки
- •7.4.1. Практичне заняття "Основні уявлення квантової механіки"
- •7.4.2. Лабораторна робота "Застосування фотоелемента для виміру освітленості та визначення його чутливості"
- •7.4.3. Лабораторна робота "Вивчення роботи оптичного квантового генератора"
- •8.1. Рентгенівські промені
- •8.1.1. Історія відкриття рентгенівських променів, праці і. Пулюя
- •8.1.2. Природа рентгенівських променів і методи їх отримання
- •8.1.3. Гальмівне рентгенівське випромінювання
- •8.1.4. Характеристичне рентгенівське випромінювання, його природа. Закон Мозлі
- •8.2. Радіоактивне випромінювання
- •8.2.1. Радіоактивність, її властивості
- •8.2.2. Основний закон радіоактивного розпаду, період напіврозпаду, активність
- •8.2.3. Правила зміщення, особливості спектрів при радіоактивному розпаді
- •8.3. Основи дозиметрії іонізуючого випромінювання
- •8.3.1. Експозиційна доза, її потужність, одиниці
- •8.3.2. Поглинена доза, її потужність, одиниці
- •8.3.3. Еквівалентна доза, її потужність, одиниці
- •8.3.4. Дозиметри іонізуючого випромінювання
- •8.4. Взаємодія іонізуючого випромінювання з речовиною
- •8.4.1. Первинні фізичні механізми взаємодії рентгенівського випромінювання з речовиною
- •8.4.2. Первинні механізми дії радіоактивного випромінювання і потоків частинок на речовину
- •8.4.3. Фізико-хімічні механізми радіаційних пошкоджень
- •8.4.4. Ефект дії малих доз іонізуючого випромінювання
- •8.5. Застосування рентгенівського випромівання в медицині
- •8.5.1. Методи рентгенодіагностики
- •8.5.2. Рентгенотерапія
- •8.5.3. Рентгенівський структурний аналіз в медико-біологічних дослідженнях
- •8.5.4. Променеві навантаження на медичний персонал при рентгенодіагностичних дослідженнях
- •8.5.5. Деякі факти реакції крові на опромінення
- •8.5.6. Опромінення малими дозами великих груп людей
- •8.5.7. Латентний період-час виявлення в організмі порушень, викликаних радіацією
- •8.5.8. Проблеми ризику, пов'язаного із радіаційною дією
- •8.6. Комп'ютерна томографія
- •8.6.1. Рентгенівська томографія
- •8.6.2. Ямр-томографія
- •8.6.3. Позитронна емісійна томографія
- •8.7. Практичне заняття "рентгенівське випромінювання, його застосування"
- •8.8.Практичне заняття "радіоактивне випромінювання та його дія на біооб'єкти"
- •8.9. Лабораторна робота "визначення коефіцієнта лінійного послаблення гамма-випромінювання"
- •8.10. Лабораторна робота "робота з дозиметром дргз-04"
- •1. Призначення дозиметра дргз-04
- •2. Склад приладу
- •3. Характеристики дозиметра дргз-04
- •4. Управління роботою дозиметра дргз-04
- •5. Порядок виконання роботи
5.4. Моделювання процесів у складних медико-бюлопчних системах
Звернемося спочатку до якісного аналізу динамічної системи, що описується двома нелінійними диференціальними рівняннями довільного вигляду
(5.19)
Дослідимо стійкість стаціонарного стану такої системи, застосовуючи метод малих збурень і лінеаризації диференціальних рівнянь. Для цієї мети представимо розв'язок у вигляді такої суми стаціонарних значень зміннихі малих збурень
Лінеаризуючи систему диференціальних рівнянь, тобто залишаючи лише ті доданки, що містять перші степені малих збуреньотримаємо
(5.20)
декоефіцієнтипов'язані з похідними
Важливе значення в якісному аналізі поведінки динамічних систем відіграє часова еволюція послідовних станів досліджуваної системи у вигляді траєкторії руху зображуваної точки у фазовому просторіТака траєкторія називаєтьсяфазовим портретом, або фазовою кривою системи. Залежно від вигляду фазового портрета динамічні системи поділяються, як вже вказувалося раніше, на грубі та негрубі. "Грубі" системи - це системи, характер траєкторії яких у фазовому просторі зберігається при малих змінах похідних "Негрубі" системи - це такі, траєкторії яких відчувають достатньо різкі якісні зміни при малих варіаціях параметрів
Будемо шукати загальний розв'язок досліджуваної динамічної системи поблизу її стаціонарного стану у вигляді
Тоді
звідки маємо
Ненульовий розв'язок цієї алгебраїчної системи рівнянь щодо коефіцієнтівспостерігається лише за умови, що
головний визначник рівний нулю, тобто
або
Звідси для коренів цього рівняння, яке називається характеристичним, маємо
Якщо корені не є кратними, то розв'язок системи може бути подано у такому вигляді:
Нехай корені- дійсні. Тоді особливі точки у відповідності з класифікацією Пуанкаре (див. табл. 5.4) являють собою вузли або сідла, а саме:
а)-стійкий вузол;
б)-нестійкий вузол;
в)або- особлива нестійка точка, яка називається"сідлом";
г) якщо- комплексно-спряжені величини, тоді у системі відбуваються коливання; особлива точка- фокус, причому, якщо -стійкий фокус, якщо -нестійкий фокус.
д) якщото у системі відбуваються незатухаючі коливання; особлива точка -центр або граничний цикл. Зауважимо, що стійкий і нестійкий вузли, стійкий і нестійкий фокуси, а також сідла характеризують "грубі" системи, тоді як граничний цикл (центр) - "негрубі".
Як вже зазначалося, поблизу критичних (біфуркацій-них) точок малі зміни зовнішніх параметрів можуть спонукати до якісних перебудов (біфуркацій) фазових портретів досліджуваних систем.
Розглянемо найбільш типові біфуркації:
1. Біфуркація з одного вузла (фокуса) в два вузли (фокуса).
За певних умов розв'язки, що відповідають стійкому вузлу (фокусу), можуть стати нестійкими і відбувається перехід у два нових стійких вузли. При відмінній від нуля уявній частині коренів характеристичного рівняння вузли перетворюються, очевидно, в фокуси.
2. Біфуркація Хопфа із фокуса в граничний цикл.
Для цього випадку, вивченого вперше Хопфом, корені характеристичного рівняння є комплексно-спряженими числами
При корені наближаються до уявної вісі.
У результаті первинно стійкий фокус перетворюється у граничний цикл, тобто у системі виникають періодичні в часі коливання.
3. Біфуркації граничного циклу. При подальшій зміні керуючих параметрів можуть відбутися нові перебудови фазових траєкторій системи, при яких можливі такі біфуркації: а) старий граничний цикл переходить в новий один або більше граничних циклів у одній і тій самій площині; б) старий двовимірний граничний цикл переходить у тривимірний граничний цикл, до того ж у випадку незамкнутих траєкторій виникає рух зображуючої точки по поверхні тора; в) старий граничний цикл з періодомпереходить у новий, рухаючись по якому система повертається у початковий стан за час(біфуркація подвоєння періоду).
Рис. 5.10. Фазовий портрет дивного аттрактора.
4. Дивні аттрактори. При зміні керуючих параметрів фазова траєкторія, що являє собою рух по тору, може стати нестійкою і хаотичною. У цьому випадку, який отримав назву дивного аттрактора, траєкторії руху зображуючої точки у фазовій площині стають недетермінованими (рис. 5.10). Якщо для простих аттракторів (стійких особливих точок і граничних циклів) усі фазові траєкторії стягуються у близьке оточення цих точок або граничного циклу, то для дивного аттрактора усі фазові траєкторії розбігаються і хаотично перемішуються, залишаючись в області тяжіння дивного аттрактора.
Зручним методом аналізу стійкості фазових траєкторій є дослідження так званих показників Ляпунова. Не вдаючись у достатньо тонкі і складні математичні деталі, показники Ляпунова можна визначити як узагальнення показника степені у виразі для експоненціального в часі розв'язку який характеризує диференціальне рівняння
першого порядку довільного вигляду, а саме:
Кількість показників Ляпунова не повинна перевищувати розмірність простору, в якому задана шукана величина Тоді виявляється можливим сформулювати такі критеріїдля простих і дивних аттракторів у термінах показників Ляпунова (розглянемо для визначення тривимірний випадок):
а) якщо всі три показники Ляпунова від'ємні, то аттрактор - стійкий фокус;
б) якщо два показники від'ємні, а третій рівний нулю, то ат трактор - граничний цикл;
в) якщо один показник від'ємний, а два інші дорівнюють нулю, то аттрактор - стійкий тор;
г) якщо один з показників Ляпунова виявляється додатнім, то стає можливим хаотичний рух зображуючої точки. Так, при виникає дивний (хаотичний) аттрактор, до того ж фазові сусідні траєкторії швидко розходяться при незначній зміні початкових умов. Одним з перших прикладів дивного аттрактора стала гідродинамічна (метеорологічна) модель Лоренца, розв'язки якої виявили хаотичне розбігання фазових траєкторій в силу ефектів турбулентності і неточності завдання початкових умов. Зауважимо, що приабо прифазові портрети системи є відповідно нестійкий тор або нестійкий граничний цикл, які не є аттракторами.
Для встановлення універсальних закономірностей в самоорганізованих системах, які мають різні геометричні розміри, розуміння ролі їх спонтанного ускладнення, наявності в них просторово корельованих областей широко залучаються методи кінетичних моделей, які були покладені в основу сучасної теорії дисипативних структур (І. Р. Пригожин, Г. Ніколіс, П. Гленсдорф та ін.).
В якості конкретного прикладу кінетичної моделі розглянемо відому модель "хижак-жертва", яку запропонували А. Лотка і В. Вольтера. Система нелінійних диференціальних рівнянь цієї моделі має вигляд:
(5.21)
Перше рівняння описує динаміку чисельності першого типу тварин - "жертв" (наприклад, зайців), які живляться рослинами. Перший доданок у правій частині цього рівняння описує природне розмноження жертв, тоді як другий - їх зменшення від зустрічей з "хижаками" (наприклад, рисями). Друге рівняння характеризує динаміку зміни чисельності хижаків: перший доданок у правій частині задає збільшення хижаків, які живляться жертвами, а другий - природне зменшення жертв при відсутності цієї їжі.
Проведемо аналіз моделі "хижак-жертва". Стаціонарний розв'язок моделі визначається з такої системи рівнянь:
(5.22)
Лінеаризація рівнянь системи (5.21) поблизу стаціонарного розв'язку дає
(5.23)
Шукаючи розв'язок цієї системи у вигляді
(5.24)
отримуємо характеристичне рівняння:
або
звідки отримуємо шукані корені
(5.25)
Таким чином, відповідно до класифікації особливих точок по А. Пуанкаре отримана особлива точка в моделі "хижак-жертва" є центр (або граничний цикл). Фазові криві становлять замкнуті траєкторії.
Оскільки для малих збурень виконуються співвідношення вигляду
(5.26)
то цей результат відображає те, що ми спостерігаємо в реальних умовах, тобто експериментально, а саме: періодичну зміну чисельності популяцій хижаків і жертв (рис. 5.11).
Рис. 5.11. Періодична зміна чисельності популяції в екологічній системі "хижак (рисі) - жертва (зайці)" за даними "Хадсон-Бей" (з книги Г. Хакена "Синергетика").
Недолік розглянутої вище моделі Лотка-Вольтерра - її "негрубість". Іншими словами, випадкові зміни чисельності одного з видів змінюють амплітуди коливань кожного виду. В реальності такого не спостерігається. Покращання моделі Лотка-Вольтерра пов'язане з врахуванням самообмежень в зростанні чисельності обох популяцій, що описується введенням останніх (третіх) доданків у рівняння такої моделі:
(5.27)
Дослідження особливих точок для такої покращаної моделі показує, що коли приособлива точка становить центр або граничний цикл (негруба система), то приособлива точка є вже стійкий фокус або стійкий вузол, тобто система стає грубою. Ще одним популярним прикладом кінетичних моделей процесів самоорганізації, як вже відзначалося, є модель "брюсселятора" (Пригожий, Ніколіс, Лефевр), яка описує хімічний автокаталітичний процес. Близька до "брюсселятора" кінетична модель "орегонатора" була запропонована і досліджена Філдом і Ноейсом. Зокрема, модель "орегонатора" описує автохвильові процеси, які виникають в періодичній окисно-відновній реакції Бєлоусова-Жаботинського.