2.4. Електромагнітні коливання

Електромагнітні коливання - це процеси, в яких такі величини, як заряд, струм, напруженості електричного та магнітного полів тощо, змінюються періодично. Електро­магнітні коливання мають дуже широкий спектр практич­ного використання: майже всі області електротехніки, оптика, радіотехніка. Окремим випадком є електричні коливання.

2.4.1. Рівняння електричних коливань

Розглянемо коло, до якого входить джерело струму з електрорушійною силою ε (в загальному випадку - змін­ною), індуктивність ємність С та активний опір R, що з'єднані послідовно (мал. 2.25). Запишемо вираз, який пов'язує спад напруги на опорі напругу на конденсаторі напругу на індуктивності та е.р.с. джерела

Мал. 2.25.

Оскільки за означенням після диференціювання за часом, одержимо диференційне рівняння електричних ко­ливань:

(2.66)

Це рівняння виражає залежність сили струму від часу і є лінійним неоднорідним диференційним рівнянням друго­го порядку з постійними коефіцієнтами. Аналогічне рівняння можна отримати і для інших електричних величин (наприклад, заряду на конденсаторі q).

Вільні гармонічні коливання. Якщо джерело має постійну в часі ЕРС, тобто то рівняння (2.66) стає однорідним. За аналогією з механічними коливаннями це є рівняння згасаючих коливань

(2.67)

За відсутності опору рівняння (2.67) перетворюється в рівняння вільних гармонічних коливань

Розділивши ліву частину цього рівняння на матимемо:

(2.68)

де - власна частота вільних електричних коливань

(2.69)

Рівняння (2.68) має своїм розв'язком гармонічну функ­цію

(2.70)

Вираз, котрий стоїть під знаком синуса (або косинуса), на­зивають фазою коливань У даному випадкуде - початкова фаза. Мінімальний проміжок часу, через який фаза повторює своє значення, називається періодом коливань. Період власних коливань

(2.71)

Ця формула носить назву формули Томсона. Із змен­шенням індуктивності котушкита ємності конденсатора С зменшується період коливань, а значить зростає їхня частота.

2.4.2. Вимушені електричні коливання, змінний струм

Розглянемо тепер електричні коливання, які виникають при наявності в колі генератора ЕРС, яка періодично змінюється.

Коло з активним (омічним) опором.Спочатку розгля­немо частинний випадок, коли генератор змінного струму замк­нений на зовнішнє коло, яке ,'містить лише активний опір(мал. 2.26). Припустимо, що в колі існує змінний струм:

Мал. 2.26.

Застосовуючи закон Ома, визначимо, за яким законом зміню­ється напруга на активному опорі

(2.72)

Мал. 2.27. Мал. 2.28.

Ця рівність показує, що між коливаннями та немає зсуву фаз: напруга і струм одночасно досягають макси­мальних значень і одночасно перетворюються в нуль (мал. 2.27). Наочно це можна зобразити за допомогою векторної діаграми. Величини, які змінюються за гармонічним зако­номбудемо розглядати як вектори, модуль яких дорівнює їхньому амплітудному значенню, а кут між ними - різниці фаз. Вісь діаграми виберемо так, щоб вектор I збігівся з нею за напрямком. Цю вісь називають віссю струмів. Тоді вектор, що зображає коливання напруги, бу­де направлений вздовж осі струмів (мал. 2.28). Довжина цього вектора

Коло з індуктивністю. Розглянемо випадок, коли ді­лянка кола містить лише індук­тивність (мал. 2.29). Тоді за зако­ном електромагнітної індукції Фарадея електрорушійна сила

(ЕРС) індукції визначається швидкістю зміни магнітного потоку тобто У випадку самоіндукції магнітний потік Ф прямо пропорційний силі струму що тече по контуру, тобто де - індуктивність контура.

Мал. 2.29.

Таким чином, при наявності змінного струму в котушці індукуєть­ся ЕРС самоіндукції, величина якої дорівнює Відповідно до закону Ома для повного кола сума всіх ЕРС за відсутності активного опору повинна дорівнювати нулю, тобто

Якщо сила струму в колі змінюється за законом , то дляотримуємо:

(2.73)

Порівнюючи відношення для амплітудних значень І_т та U_m із законом Ома, бачимо, що роль опору відіграє величина яку називають індуктивним опором. Також видно, що сила струмута напругазсунуті за фазою одна відносно іншої (мал. 2.30) на величинупричому напруга в будь-який момент часу випереджає силу струму. На векторній діаграмі це зобразиться так, як пока­зано на мал. 2.31.

Мал. 2.30. Мал. 2.31.

Коло з ємністю. Розглянемо третій частинний випадок, коли ділянка кола містить лише конденсатор ємності С (мал. 2.32). Як і раніше, будемо вважати, що сила струму змінюється за законом Різниця потенціалів між пластинами конденсатора Але ж сила струму Тоді

(2.74)

Постійна інтегрування визначає заряд, який не пов'яза­ний з коливаннями струму, і тому можна покласти Отже,

(2.75)

де

Порівнюючи (2.75) із законом Ома, бачимо, що роль опору відіграє величина яка називається ємнісним опором. Ємнісний опір змен­шується із зростанням частоти. Бачимо також, що сила струму та напруга зсунуті по фазі на величи­ нупричому сила струму в будь-який момент часу виперед­жає напругу (мал. 2.33).

Мал. 2.32.

Отриманий результат зобразимо за допомогою вектор­ної діаграми (мал. 2.34). Вектор, що відповідає коливанням напруги, повернений у від'ємному напрямі (за годиннико­вою стрілкою) на кут Довжина вектора дорівнює амплі­туді напруги .

Мал. 2.33. Мал. 2.34.