7.4. Практикум 3 квантової механіки

7.4.1. Практичне заняття "Основні уявлення квантової механіки"

Мета практичного заняття:

1. Дати уявлення про математичний апарат квантової механіки.

2. Сформувати у студентів знання основних положень квантової механіки.

3. Дати уявлення про фізичну основу спектральних методів дослідження біологічних систем.

Теоретичні питання, що розглядаються на практичному

занятті

1. Криза основ класичної фізики та передумови створення кван­тової механіки.

2. Гіпотеза де Бройля. Хвильові властивості мікрочастинок, їх дослідне підтвердження.

3. Електронний мікроскоп: принципова схема, межа розрізнення.

4. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга — одне з основних положень квантової механіки.

5. Рівняння Шредінгера. Хвильова функція, її фізичний зміст.

6. Рівняння Шредінгера для атома водню. Квантові числа, їх фізич­ний зміст.

7. Багатоелектронні атоми. Принципи побудови електронних кон­фігурацій.

8. Оптичні атомні спектри. Спектри випромінювання атомів вод­ню.

9. Молекулярні спектри. Спектральний аналіз. Метод спектрофото­метрії.

Додаткова література для підготовки до практичого

заняття

1. Ливенцев Н.М. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1978.

2. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика. - М.: Высшая школа, 1996.

Завдання для самостійної роботи і самоконтролю

Після вивчення теоретичного матеріалу слід ознайоми­тись з еталонами розв'язку задач і перевірити свою підго­товку до виконання самостійних завдань.

Типові задачі з еталонами розв 'язків

1. Хвильові властивості частинок. Формула де Бройля.

Задача 1

Порівняти довжини хвиль де Бройля для електрона та кульки з масою т = 1 г, якщо вони мають однакові швидкості, що дорівнюють Як визначити

експериментальна довжину хвилі де Бройля для кульки та електрона, що рухаються?

Еталон розв 'язку

Згідно з гіпотезою де Бройля, будь-яким частинкам або предметам, що рухаються, притаманні хвильові властивості. Вони можуть бути охарактеризовані довжиною хвилі, яка пов'язана зі швидкістю руху формулою

Розрахуємо довжину хвилі де Бойля для кульки

Розрахуємо довжину хвилі де Бойля для електрона

Відповідь:

Зауваження: для кульки, що рухається, довжина хвилі настільки мала, що не може бути виміряна ніякими експериментальними методами, тоді як для електрона вимірювання Я можна здійснити по дифракційній картині, що одержується на просторових структурах - кристалічних решітках.

2. Електронний мікроскоп, його межа розрізнення.

Задача 2

Знайти межу розрізнення електронного мікроскопа, якщо прискорююча напруга а кутова апертури

Еталон разв 'язку

Межа розрізнення мікроскопа визначається довжиною хвилівипромінювання, яке використовується, числовою апертуроюі можебути розрахована за формулою:

"Освітлення" об'єкта в електронному мікроскопі здійс­нюють електронним пучком. Довжина хвилі, що характе­ризує електрони пучка, визначається швидкістю їх руху

Швидкість електронів може бути визначена з умови, що кінетична енергія електрона дорівнює роботі електричного поля по переміщенню заряду електрона, а саме:

Враховуючи всі наведені вище формули та співвідно­шення sin φ ~ в для малих кутів, для межі розрізнення електронного мікроскопа отримаємо

3. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

Задача З

Пучок електронів рухається вздовж - електронно-променевої трубки зі швидкістюШвидкість визначена з точністю до 0.01%. Чи має сенс поняття траєкторії руху електронів у трубці?

Еталон разв 'язку

Співвідношення невизначеностей Гейзенберга дає змогу встановити точність у визначенні координати електрона

За умовою задачі Звідси маємо

Відповідь: Одержане значеннясвідчить про те, що координата електрона може бути визначена з достатньо високою мірою точності. Таким чином, поняття траєкторії руху електронів у трубці має сенс.

Задача 4

Тривалість збудженого стану атома водню відпові­дає значеннюЧому дорівнює за цих умов невизначеність енергії збудженого енергетичного рівня?

Еталон розв 'язку

Тривалість життя атома у збудженому стані Δt і невизначеність значення енергії даного стану пов'язані співвідношенням Гейзенберга:

звідки

Відповідь'.

4. Квантові числа, їх фізичний зміст.

Задача 5

Знайти значення енергії та орбітального моменту імпульси електрона в атомі водню, що відповідають станам: IS, 2S, 3S.

Еталон розв 'язку

Енергія електрона в атомі водню відповідно до розв'язку рівняння Шредінгера набуває значення

де- головне квантове число- стала Рідберга.

Таблиця7.2. Значення енергії для трьох станів

Відповідно до уявлень квантової механіки орбітальний момент імпульса електрона визначається значенням орбі­тального квантового числа l за формулою

Таблиця 7.3. Значення орбітального моменту імпульса для трьох станів

5. Атомні спектри.

Задача 6

Знайти границі серії Бальмера (в частотах та дов­жинах хвиль). Співставити ці дані з інтервалом частот та довжин хвиль світла у видимому діапазоні.

Еталон розв 'язку

Серія Бальмера відповідає переходам електрона на енергетичний рівень з головним квантовим числомз усіх вищерозташованих рівнів. Частоти цієї серії можуть бути розраховані за такою формулою:

де - стала Рідберга. Границі

серії Бальмера визначаються такими значеннями: принайменша частота становить

при граничналінія має частоту

Відповідні довжини хвиль становить

Відповідь: для серії Бальмера

тоді як для видимого діапазону

Задача 7

Вважаючи, що в збудженому стані атом водню пере­буває протягом часувизначити півширину лінії в серії Бальмера, що відповідає переходу з третього рівня на другий.

Еталон розв 'язку

Використовуючи співвідношення невизначеностей Гейзенберга, визначимо "розмитість" енергетичного рівня , що відповідає збудженому стану:

При переході атома зі збудженого рівня, що має енер­гію на нижчий рівень з енергією Е₀ випромінюється фотон з енергією

Таким чином, частота фотона, що випромінюється, має невизначеність, яка становить тобто лінії спектра мають скінчену ширинув частотному діапазоні або R в діапазоні довжин хвиль. Довжина хвилі пов'язана з частотою співвідношення Диференціюючи цю рівність і враховуючи резуль­тат попередньої задачі щодо частоти переходу з третього рівня на другий в серії Бальмера, одержимо шукану вели­чину

Відповідь:

Завдання для перевірки кінцевого рівня знань

1. Записати рівняння Шредінгера для атома водню.

2. Визначити границі серії Лаймана і вказати, в якій області спектра лежить вказана серія?

3. Розрахувати орбітальний момент імпульсу електрона в стані Зр.

4. Знайти межу розрізнення електронного мікроскопа з кутовою апертурою

5. Розрахувати енергію атома водню, якщо електрон знаходиться в стані

6. Середня тривалість життя молекули в збудженому стані дорівнюєСистема випромінює світло, яке має довжину хвиліЧому дорівнює невизначеність довжині хвилі ΔА?

7. Розрахувати довжину хвилі де Бройля для електрона, який пройшов прискорюючу напругу

8. Вказати максимальну кількість електронів у багатоелектронному атомі, що може знаходитись на різних підрівнях та шарах атома.

9. Електрон пролітає щілину шириною 3 якою похибкою може бути визначена складова імпульса вздовж вісі .y під час прольоту щілини?

10. Записати електронні конфігурації для атомів азота та вуглецю.

11. Відобразити графічно (в декартових координатах) орбіталі електрона, які характеризуються значеннями орбітального кван­тового числа

12. Знайти проекції орбітального моменту електрона на напрямок зовнішнього магнітного поля, який характеризується орбіталь­ним квантовим числом

13. Вказати можливі значення проекції спіна електрона на напрямок зовнішнього магнітного поля.

14. Середня тривалість життя молекули в збудженому стані дорівнюєСистема випромінює світло з частотою . Вказати невизначеність частоти