Выполнение работы и условия эксперимента

1. Снять цилиндры со спиц маятника Обербека. Штангенциркулем измерить их геометрические размеры.

2. Отрегулировать установку так, чтобы колонка была вертикальна. Верхний кронштейн установить на выбранную высоту так, чтобы гири, падая, проходили через середину рабочих окон фотодатчика. По шкале, расположенной на колонке, отсчитать значение h. Измерить штангенциркулем диаметр диска (2R₀), на который наматывается нить.

3. Оценить момент сил трения М_Т. Для этого необходимо подобрать такой максимальную массу гири m₀, при которой маятник еще неподвижен. Очевидно, что в этом случае M_T=m₀gR₀.

4. Определить экспериментальную зависимость углового ускорения  от момента внешних сил М для пустого маятника. Для этого надо измерить время t, за которое гиря массой m опускается на высоту h. Это измерение надо проводить при различных массах гирь, причем при каждом значении m измерение t провести 3 раза. Результаты измерений представить в виде таблицы:

h, м	m, кг	t1, c	t2, c	t3, c	t, c	t, c	, 1/c2	M, Нм

В этой таблице значения  и М рассчитываются по формулам (7) и (8).

Оценить случайные и систематические составляющие погрешностей иМ. Построить экспериментальные точки в координатной плоскостиX= иY=M. Проведя по этим точкамнаилучшую прямую, оценить величины момента инерции и момента сил трения для пустого маятника. Окончательную обработку этой зависимости провести, используя метод наименьших квадратов.

5. Разместить цилиндры на минимальном расстоянии. Измерить это расстояние.(l_min). Рассчитать величину момента инерции цилиндра в этом случае по формуле (3). Рассчитать погрешность определения этой величины (^ ). Определить экспериментальную зависимость  от М и провести ее обработку также, как в пункте 4.

6. Разместить цилиндры на максимальном расстоянии. Измерить это расстояние.(l_max). Рассчитать величину момента инерции цилиндра в этом случае по формуле (3). Рассчитать погрешность определения этой величины (^ ). Определить экспериментальную зависимость  от М и провести ее обработку также, как в пункте 4.

Обработка результатов эксперимента

Для того чтобы корректно сравнить величины моментов инерции цилиндра, полученные по теоретической формуле (3) и методом наименьших квадратов при обработке экспериментальных зависимостей  от М, необходимо рассчитать погрешности определения этих величин.

1. Значения моментов инерции и , полученные в результате расчета по формуле (3), отягощены погрешностями, поскольку величины, входящие в эту формулу, определены неточно. Эти погрешности рассчитываются как погрешности косвенных измерений, то есть

. (10)

Здесь , l, R, r и L – систематические погрешности измерения этих величин.

2. Прежде чем приступить к построению экспериментальных точек, необходимо оценить погрешности определения величин  и М, которые рассчитываются по формулам (7) и (8). Измерение  и М есть измерения косвенные. Тогда, пренебрегая погрешностью g по сравнению с погрешностями других величин, получаем

, (11)

. (12)

Подстановка в эти формулы систематических погрешностей прямых измерений величин R₀, m, h и t позволяет определить систематические составляющие погрешностей  и М. При расчете случайных составляющих погрешности этих величин формулы (11) и (12) существенно упрощаются, так как учитывается лишь случайная погрешность измерения времени, то есть

Поскольку необходимо лишь оценить величины погрешностей, достаточно рассчитать только максимальные значения Ми.

3. Приближенно величины параметров J иМ_Тможно определить графическим способом. Для этого необходимо на миллиметровой бумаге изобразить координатные оси. По оси абсцисс будем в определенном масштабе откладывать величину, а по оси ординат – величинуМ. В этих координатных осях следует построить экспериментальные точки ( _i , M_i). Согласно формуле (9), зависимостьМот линейна. Тогда, проведя по экспериментальным точкамнаилучшую прямую, можно найти тангенс угла наклона этой прямой, который равен, очевидно,J.Отсекаемаянаилучшей прямойна оси ординат часть будет равнаМ_Т.

В первом приближении наилучшей прямой можно считать такую прямую, относительно которой экспериментальные точки расположены симметрично по обе стороны от нее. (Нечто похожее приведено на рис.2.). Такую прямую можно провести, используя прозрачную линейку. Более строго понятие наилучшей прямой определяется в методе наименьших квадратов.

4. Строго, задача о нахождении наилучших оценок истинных значений J и М_Т по данным эксперимента и известной зависимости М=М_Т+J, ставится так. Необходимо найти такие значения J и М_Т, при которых функция М=М_Т+J наилучшим образом соответствует опытным данным. Рассмотрим подробнее смысл выражения "наилучшим образом".

Выберем за меру отклонения функции от экспериментальных данных для n-го опыта величину (M_n-M_Т -J _n)² (рис.2). Почему именно эта величина, а не просто M_n-M_Т -J _n? Ясно, что оба уклонения M_Т +J _n от М_n нехороши: плохо, если J и М_Т таковы, что M_n<M_Т -J _n, но также нехорошо, если A таково, что M_n>M_Т -J _n. Если бы за меру отклонения мы взяли M_n-M_Т -J _n, а затем стали бы находить сумму отклонений в нескольких опытах, то мы могли бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаков. Это, однако, вовсе не говорило бы, что взятая функция М=М_Т+J хороша. Если за меру отклонения взять величину (M_n-M_Т -J _n)², то такого взаимного уничтожения не будет, так как все величины величину (M_n-M_Т -J _n)²>0.

Итак, в качестве меры общего отклонения S₀ в описании экспериментальных данных функцией М=М_Т+J необходимо взять сумму мер отклонений для всех опытов, то есть

. (13)

Таким образом, функция М=М_Т+J будет наилучшим образом соответствовать опытным данным, если S₀, то есть сумма квадратов отдельных отклонений, минимальна. Метод определения констант, входящих в формулу, из требования минимальности S₀, называется методом наименьших квадратов.

Величина S₀ является функцией от J и М_Т, то есть S₀=S₀(J, М_Т). Надо выбрать числа J и M_T так, чтобы величина S₀ была наименьшей. Для этого поступим так. Если бы M_T было уже найдено, то S₀ зависело бы только от J, то есть S₀=S₀(J). Поэтому величина S₀ была бы наименьшей при таком J, при котором dS₀/dJ=0. То есть должно было бы быть

С другой стороны, если бы уже было найдено J, то должно было бы быть

Эти условия дают следующую систему уравнений для определения величин J и M_T:

или . (14)

Здесь введены обозначения: . Эти величины легко вычисляются по экспериментальным данным.