4сем / 7_ДЗ_4_сем_pdf / Ряды / ДЗ_13_Ряд Тейлора
.pdf
ДЗ № 13 |
РЯДЫ |
Ряд Тейлора |
|
Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 3: Учебное пособие для втузов / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, В. В. Лесин и др. / Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 5-е изд.,
перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2007. - 544 с.: ил.; 21 см. - ISBN 5-94052-131-2(Ч.3).
№ |
№ по Еф. |
|
Задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
|
|
|
||||||
П/П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
13.205 |
Используя теорему Тейлора (формулу Тейлора с ос- |
|
∞ |
|
−1 n |
|
|
|
x2n+1 . |
|
|||||||||||||
|
|
таточным |
членом в какой-либо форме), разложить |
∑( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
( |
2n +1 ! |
|
|||||||||||||||||||
|
|
функцию sin x в ряд по степеням x . |
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||||||||||
2. |
13.210 |
Написать первые три ненулевых члена разложения |
|
x + |
|
2 |
x3 |
+ |
16 x5 |
|
|
|||||||||||||
|
|
функции tgx в ряд по степеням x . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|||
3. |
13.214 |
Используя |
разложения |
основных |
элементарных |
|
∞ |
|
−1 |
n |
|
x2n |
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
в ряд по степе- |
∑( |
) |
|
n! |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
функций, разложить функцию e |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ням x и указать область сходимости полученного |
|
x |
|
<+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
13.215 |
Используя |
разложения |
основных |
элементарных |
|
1 ∞ |
−1 |
n+1 22n x2n |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
функций, разложить функцию sin x в ряд по степе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
∑( |
|
) |
|
|
( |
2n |
! |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ням x и указать область сходимости полученного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1
5.
6.
7.
8.
9.
|
ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13.216 |
Используя |
разложения |
основных |
|
|
элементарных |
||||
|
функций, разложить функцию |
|
x |
|
|
в ряд по сте- |
||||
|
|
4 + x2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
пеням x и указать область сходимости полученного |
|||||||||
|
ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.222 |
Используя |
разложения |
основных |
) |
|
элементарных |
||||
|
функций разложить функцию |
( |
e−2x в ряд по |
|||||||
|
|
1−x |
|
|||||||
|
степеням x |
и указать область сходимости получен- |
||||||||
|
ного ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.223 |
Используя |
разложения |
основных |
|
|
элементарных |
||||
|
функций разложить функцию chx в ряд по степеням |
|||||||||
|
x и указать область сходимости полученного ряда. |
|||||||||
13.225 |
Используя |
разложения |
основных |
|
|
элементарных |
||||
|
функций, разложить функцию sin 2x cos 2x |
в ряд |
||||||||
|
по степеням |
x и указать область сходимости полу- |
||||||||
|
ченного ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.226 |
Используя |
разложения |
основных |
|
|
элементарных |
||||
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
в ряд |
|
|
функций, разложить функцию ln 1+ x −2x2 |
|
||||||||
|
по степеням |
x и указать область сходимости полу- |
||||||||
x <+∞
|
|
∞ |
|
−1 n |
|
x2n+1 |
|
, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
||||||||||
∑( |
|
) |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
< 2 |
n 2 |
n−1 |
(n + 2) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∑( |
|
|
|
|
|
|
n , |
||||||||||||||||||
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
||||
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
<+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
∞ |
x |
2n |
|
|
, |
|
|
x |
|
<+∞ |
|||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
2n ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
24n+1 |
|
|
|
2n+1 , |
||||||||||
∑( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
n=0 |
−1 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 ! |
|
|
|
||||||||
x <+∞
∑∞ (−1)n+1 2n −1 xn ,
n=1 n
2
|
|
|
ченного ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
13.229 |
Используя разложения |
основных элементарных |
||
|
|
|
функций, а также возможность почленного диффе- |
||
|
|
|
ренцирования и интегрирования степенных рядов, |
||
|
|
|
разложить функцию arctgx в ряд по степеням x и |
||
|
|
|
указать область сходимости полученного ряда. |
||
11. |
|
13.236 |
Разложить функцию |
1 |
в ряд по степеням x −2 |
|
|
|
|||
|
|
|
1−x |
||
|
|
|
|
|
|
и определить область сходимости полученного ряда.
12.13.266 Используя соответствующее разложение, вычислить значение функции sin π5 с точностью до 10−4 .
|
x |
|
|
< |
1 |
, |
|
|
при |
x = |
1 |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сходится условно |
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
n |
|
|
x2n+1 |
, |
|
|
|||||
∑( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
( |
|
) |
|
|
|
||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
x |
|
<1 |
|
|
n+1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
x −2 n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
, |
|
|||||
∑( |
|
) |
|
) |
|
|
||||||||
n=0
x −2 <1. 0.5878
3