4сем / ПП_4_сем_pdf / ПП_5_2_Функ_ряды

ПП 5.2 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

точкой сходимости функционального ряда (1). Если в каждой точке

∞

x D1 D числовые ряды ∑ fn (x) сходятся, то функциональный ряд (1) на-

n=1

зывается сходящимся в области D1 .

Совокупность всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда (1).

Рассмотрим частичные суммы функционального ряда (1):

Sk (x)= f1 (x)+ f2 (x)+…+ fk (x).

Ряд (1) сходится к функции f (x) в области сходимости, если предел

последовательности его частичных сумм lim Sk (x)= f (x).

k →∞

5.2.1.1. Равномерная сходимость

Пусть lim Sn (x)= f (x). По определению предела это означает, что для

n→∞

любого x из области сходимости, например, x0 и x1 , выполняются условия:

Заметим, что числа N0 и N1 , вообще говоря, различны.

Функциональный ряд, сходящийся для всех x D1 из области сходимости, называется равномерно сходящимся в этой области, если существует не зависящий от x номер N (ε), такой, что при n > N (ε) выполняется неравенство Rn (x) < ε для всех x из области сходимости, где

∞

Rn (x)= ∑ fk (x)− остаток ряда.

k =n+1

Геометрический смысл равномерной сходимости заключается в следующем:

если окружить график функции y = f (x) ” ε - полоской”, определяемой соотношением f (x)−ε > y > f (x)+ε, x [a,b], то графики всех функций Sk (x),

1

начиная с достаточно большого k , целиком лежат в этой ” ε - полоске”, окружающей график предельной функции y = f (x).

∞

Функциональный ряд ∑ fn (x) называется

n=1

мажорируемым в некоторой области изменения x , если существует такой сходящийся

∞

числовой ряд ∑un с положительными чле-

n=1

5.2.1.2. Признак Вейерштрасса (признак равномерной сходимости функционального ряда)

Функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.

∞

По признаку Вейерштрасса, если ряд ∑an сходится абсолютно, то ряды

n=1

(1), (2) сходятся равномерно на любом промежутке.

5.2.1.3. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов

∞

Пусть ряд ∑ fn (x)= S (x) с непрерывно дифференцируемыми члена-

2

5.2.2. Степенные ряды

2)Если степенной ряд расходится в точке x0′ (x0′ ≠ 0), то он расходится и

для всех x таких, что x > x0′ .

∞

1). Областью сходимости степенного ряда ∑an xn является симметричный

n=0

интервал с центром в точке 0.

2). Существует граница между точками сходимости x0 и расходимости x0′ : R = su p {x0 } = in f {x0′ }.

Число R такое, что при x < R ряд сходится, а при x > R - расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал x (− R, R) -

интервалом сходимости.

В граничных точках x = ±R поведение ряда требует дополнительного исследования.

∞

Для ряда ∑an (x − x0 )n интервал сходимости имеет вид x (x0 − R, x0 + R) с

n=0

центром в точке x0 :

3

5.2.2.1. Вычисление радиуса сходимости

Степенные ряды в области сходимости сходятся абсолютно и можно использовать признаки сходимости рядов с положительными членами.

5.2.2.2. Свойства степенных рядов

В силу теоремы Абеля степенной ряд сходится равномерно на (− R, R), его можно почленно дифференцировать и интегрировать в интер-

вале сходимости.

Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

5.2.2.3. Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена

Формула Тейлора для f (x):

n=0

4

производные всех порядков и чтобы существовала такая постоянная M , что f (n)(x) ≤ M при n = 0,1,2,… и при всех x (− R, R).

Для разложения функции y = f (x) в ряд Тейлора (Маклорена) следует:

1)составить ряд по формуле;

2)найти его область сходимости;

3) доказать, что для всех x из области сходимости

lim Rn(2) = 0 (f (n)(x) ≤ M ).

n→∞

5.2.2.4. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена