4сем / ПП_4_сем_pdf / ПП _09 _Многомерные СВ

ПП 9. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ ОСНОВНЫЕОПРЕДЕЛЕНИЯИФОРМУЛЫ

1. Многомерные случайные величины

Многомерной случайной величиной или случайным вектором назы-

вается совокупность случайных величин Х(ω)={X1 , X 2 ,..., X n } .

Геометрическая интерпретация двумерной случайной величины - это слу-

JJJJG

чайная точка на плоскости с координатами (X,Y) или случайный вектор OM .

0 X x 0 X x

2. Функции распределения многомерных дискретных и непрерывных случайных величин

Функцией распределения многомерной случайной величины (совме-

стной функцией распределения одномерных случайных величин)

называется вероятность совместного выполнения n неравенств:

F (x1, x2 ,..., xn ) = P{X1 < x1, X 2 < x2 ,..., X n < xn} .

1

Двумерные дискретные случайные величины (ДДСВ)

X ={X ,Y} называется дискретной, если случайные величины X и Y имеют

конечное множество возможных значений: X ={x1, x2 ,..., xk },

Y ={y1, y2 ,..., ys }.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение xi, а случайная величина Y – значение yj, называется законом распределения двумерной

Pij = P{X = xi ;Y = y j } .

Событие {X ,Y} есть произведение событий {X = xi }{Y = y j } ;

Рij – совместная вероятность.

Закон распределения ДСВ может быть задан аналогично ряду распределения для одномерной СВ таблицей (или матрицей) распределения:

1) Pij ≥ 0, i, j .

Чтобы найти вероятность того, что одномерная случайная величина примет значение xi(yj) надо просуммировать вероятности Pij, стоящие в i-той строке (j- том столбце) матрицы распределения.

2

Двумерные непрерывные случайные величины (ДНСВ)

X ={X ,Y} называется непрерывной, если ее функция распределения F(x,y) является непрерывной функцией и существует функция f(x,y) – называется (со-

x y

вместная) плотность распределения, F(x, y) = ∫ ∫ f (x, y)dxdy .

−∞ −∞

Свойства функции f (x,y):

1.f (x, y) ≥ 0 ;

2.∞∫ ∞∫ f (x, y)dxdy =1.

−∞−∞

Элемент вероятности равен вероятности попадания случайной точки (X,Y) в элементарный прямоугольник dxdy, а вероятность приблизительно равна объему f(x,y)dxdy.

Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D плоскости XOY геометрически означает объем тела с основанием D и ограниченного сверху поверхностью f(x,y). P{( X ,Y ) D} = ∫∫ f (x, y)dxdy .

3. Зависимые и независимые случайные величины

Построим многомерный закон распределения по известным одномерным, когда одномерные случайные величины, составляющие многомерную случайную величину, являются независимыми.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.

Случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда их

(каждый элемент Pij матрицы распределения двух независимых с.в.

равен произведению соответствующих (i-того и j-того) элементов рядов распределения с.в. X и Y).

НСВ X и Y независимы тогда и только тогда, когда f (x, y) = f1 (x) f2 ( y) (совместная плотность распределения равна произведению плотностей распределения одномерных с.в.).

4. Условные законы распределения

3

Если СВ X и Y , образующие двумерную ДСВ (X ,Y ), зависимы, для ха-

рактеристики этой зависимости вводят понятие условного распределения:

P (B A)= PP((ABA)).

Безусловные плотности распределения компонент X и Y равны: f1 (x)= ∫−∞∞ f (x, y )dy , f2 (y )= ∫−∞∞ f (x, y )dx .

Условная плотность распределения (или плотность вероятности

Условная плотность обладает всеми свойствами плотности распределения: f (x y)≥ 0, ∫−∞∞ f (x y)dx =1,

4

f(x,y)= f1 (x) f (y x)= f2 (y) f (x y).

5.Числовые характеристики двумерной случайной величины

Вдвумерном случае числовые характеристики могут описывать не только среднее значение и степень рассеяния компонент, но и степень зависимости между компонентами.

Математическим ожиданием ДСВ (X ,Y ) называется упорядоченная пара чисел (MX ,MY ).

Для ДДСВ:

5

В соответствии с этим определением:

mx = M (X 1Y 0 )=α1,0 , my = M (X 0Y 1 )=α0,1 ; DX = M ((X −mx )2 (Y −my )0 )= µ2,0 , DY = M ((X −mx )0 (Y −my )2 )= µ0,2 .

6. Корреляционный момент и коэффициент корреляции Корреляционный момент с.в. (X ,Y ) (момент связи, ковариация) –

смешанный центральный момент второго порядка:

KXY = cov (X ,Y ) = µ1,1 = M ((X − mx )(Y −my )).

Для ДДСВ :

−∞ −∞

Для вычисления ковариации удобно использовать формулу

KXY = cov (X ,Y ) = M (XY )− MX MY .

Свойства ковариации:

1°. Ковариация симметрична: KXY = KYX .

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак ковариации: cov (cX ,Y ) = c cov (X ,Y ) = cov (X ,cY ).

3°. Ковариация не изменится, если к случайным величинам добавить постоян-

ные: cov (X +a,Y ) = cov (X ,Y +b) = cov (X +a,Y +b) = cov (X ,Y ). 4°. Дисперсия СВ есть ее ковариация с самой собой, DX = KXX .

5°. Дисперсия суммы (разности) двух СВ равна сумме их дисперсий плюс (минус) их удвоенная ковариация:

D (X ±Y ) = DX + DY ±2KXY . 6°. Если СВ X и Y независимы, то KXY = 0 .

7°. Ковариация двух СВ по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений,

KXY ≤σx σy .

Если KXY ≠ 0 , то СВ X и Y зависимы, если KXY ≠ 0 , СВ X и Y называют коррелированными. Однако из условия KXY = 0 не следует независимость

СВ X и Y . Если KXY = 0 , СВ X и Y называют некоррелированными. Из не-

зависимости следует некоррелированность, обратное утверждение неверно, из некоррелированности независимость не следует.

6

Из определения ковариации видно, что она описывает и степень рассеяния СВ X и Y , и связь между этими величинами. Для того, чтобы исключить влияние рассеяния и оценить только степень зависимости, обычно переходят к

для ДСВ

k

M (X Y = y )= ∑xi p (xi y) -

i=1

- сумма произведений значений СВ X на их условные вероятности; для НСВ

∞

M (X Y = y)= ∫ xf (x y)dx ,

−∞

где f (x y) – условная плотность распределения.

Условное математическое ожидание M (X y) является функцией y ,

7

M (X y)=ϕ (y),

которую называют функцией регрессии X на Y .

Аналогично определяется условное математическое ожидание M (Y x) и функция регрессии Y на X , M (Y x)=ψ (x).

8. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии

Для ДСВ (X ,Y ), где X и Y – зависимые СВ приближенно представим

одну из величин как функцию другой. Ограничимся простейшим случаем линейной зависимости:

Y g (X )=αX + β ,

где α и β – параметры, подлежащие определению.

Среднеквадратическая регрессия Y на X - функция

α и β , называется остаточной дисперсией случайной величины Y относи-

тельно случайной величины X ; она описывает величину ошибки, возникающей при замене Y линейной функцией g (X )=αX + β . Если r = ±1, остаточ-

ная дисперсия равна нулю, так как в этом случае X и Y связаны строгой, а не приближенной линейной функциональной зависимостью.

Аналогично построенной функции среднеквадратической регрессии Y на X можно построить среднеквадратическую регрессию X на Y :

h (Y )= mx + r σx (Y −my ),

σy

8

прямая среднеквадратической регрессии X на Y , σx2 (1−r2 ) – остаточная

дисперсия величины X относительно величины Y .

Из уравнений прямых среднеквадратической регрессии видно, что они обе проходят через центр рассеяния – точку с координатами (mx ,my ). Если r = ±1, то обе прямые регрессии совпадают.

9. Линейная корреляция. Двумерный нормальный закон распределения

симостью. Графики функций регрессии в этом случае оказываются прямыми среднеквадратической регрессии.

Это имеет место в одном важном частном случае – если двумерная СВ

распределена по двумерному нормальному закону:

Нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами: ax , ay - математические ожидания, σx , σy – среднеквадратические отклонения, rxy – ко-

эффициент корреляции величин X и Y . Для двумерного нормального распределения связь между некоррелированностью и независимостью компонент X и Y становится взаимно однозначной: если компоненты независимы, они некор-

Для двумерного нормального распределения между компонентами существует линейная корреляционная зависимость.

ПП 9. Законы распределения и числовые характеристики ДСВ и НСВ

9

Найдите

1)законы распределения случайных величин X и Y и их числовые характеристики;

2)составьте условные законы распределения составляющих случайных величин и вычислите соответствующие математические ожидания;

3)вычислите корреляционный момент (коэффициент ковариации) и коэффициент корреляции;

4)постройте поле распределения и линии регрессии

Y по X и X по Y.

РЕШЕНИЕ:

1) Сумма по столбцам

2) M (X )=1 0,16 +3 0,55 +5 0,29 = 0,16 +1,45 +1,65 = 3,26 ,

M (Y )=1 0,04 + 2 0,27 + 4 0,25 +5 0,44 = 2,2 +1+0,04 +0,54 = 3,78 ,

M (X 2 )=1 0,16 +9 0,55 +25 0,29 = 0,16 +7,25 +4,95 =12,36 ,

M (Y 2 )=1 0,04 + 4 0,27 +16 0,25 + 25 0,44 =16,12 ,

D(X )= M (X 2 )−(M (X ))2 =12,36 −10,62 =1,732 , D(Y )= M (Y 2 )−(M (Y ))2 =16,12 −14,288 =1,832 .

10