Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПП_5_2_Функ_ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

564.15 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

∞

∞ x

n−1

∞

n−1

∞

∑

= ∑ ∫t

∫

∑t

= ∫

∑t

dt =

n=1

n=1 0

n=1

n=0

= ∫x (1+t +t2 +...)dt = ∫x

= −ln

1−t

= −ln

1− x

1−t

Так как

<1,

f (x)= −ln

1− x

ПП5.2.2. Степенные ряды

ПП5.2.2.1. Вычисление радиуса сходимости

Найдите область сходимости ряда ∑∞ xn .

n=1 n

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся признаком Даламбера.

R =		1		= lim	an		= lim	n +1	=1.
R =		a		= lim	a +		= lim	n	=1.
		a		n→∞	a +		n→∞	n
	lim		n+1		n	1
			n+1		n	1
		an
	n→∞	an

ПП 5.№39.	Интервал сходимости x	(	1, 1).	x [−1, 1)
		−		x [−1, 1)

Исследуем граничные точки.

1)x =1 ∑∞ 1n − расходится;n=1

	∞	(−1)	n
2)	∞		- сходится условно по при-
2)	x = −1 ∑		- сходится условно по при-
	n =1	n

знаку Лейбница.

Область сходимости ряда x [−1, 1).

Найдите область сходимости ряда ∑∞ xn .

n=1 n!

РЕШЕНИЕ:

ПП 5.№40. Воспользуемся признаком Даламбера. x (− ∞, ∞)

2) R = lim (n +1)! = lim(n +1)= ∞, ряд сходится при

n→∞ n! n→∞

всех x (− ∞, ∞).

Найдите

область

сходимости

функциональ-

∞

ного ряда ∑

n=1 n!(x + 3)

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся признаком Даламбера.

x (−∞,−3)

ПП 5.№41.

un +1 (x)

lim

= lim

(−3,+∞).

un (x)

(n +1)!(x + 3)n+1

n!(x

+ 3)n

n→∞

= lim

lim

= 0

при x ≠ −3.

(n +1)

x + 3

+1)

n→∞

n→∞ (n

При

x = −3 каждый член ряда равен ∞ и ряд

расходится.

Итак,

при x (−∞,−3) (−3,+∞). ряд сходится аб-

солютно.

Найдите

область

сходимости функциональ-

∞

(n +1)

ного ряда ∑

n=1

(2n +1)

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся признаком Даламбера.

lim ((

)

(

)

n +

2n +

1 x2(n+1)

(n +

1)5

(

(n +

)

x2n

n→∞

lim x

n + 2 5

(2n +1)

= x

сходится

ПП 5.№42.

(2n +3)

n→∞

n +1

абсолютно

При x2

<1,

то есть x (−1;1)

ряд сходится абсо-

при x (−1;1)

лютно.

При x 2

>1, то есть x (− ∞;−1) (1;+∞) расходится.

∞

При x = ±1 ряд ∑

(n +1)

= ∑

(n +1)

n=1

(2n +1)

n=1

2n +1

∞

Так как

lim

(n +1)

= ∞,

ряд

∑

(n +1)

расхо-

2n +1

(2n +1)

n→∞

n=1

дится при x = ±1.

Ряд сходится абсолютно при x (−1;1).

∞

+1 n

Исследуйте функциональный ряд ∑

на сходимость.

n=1

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся радикальным признаком Ко-

ши.

lim n

n +1 n

= lim

n +1

n→∞

сходится

При

<1 ряд сходится абсолютно, а при

ПП 5.№43.

абсолютно

- расходится.

при x (−1;1)

При х = 1 получаем ряд

∞ n

+1 n

∞

n +1 n

∞

1 n

∑

=∑

∑ 1

n=1

n=n

∞ n

1 n

lim 1

= e ≠ 0

при х=1 ряд ∑

n→∞

n=1

расходится.

n +1 n

∞

При х = - 1:

∑

= ∑(−1)

n=1 n

n=1

∞

получаем ряд Лейбница вида ∑(−1)n un , од-

n=1

ним из условий сходимости которого являет-

ся lim un

= 0 .

n→∞

Но lim un

= lim

n +1

= lim

= e ≠ 0 ,

n→∞

∞

n +

1 n

также рас-

поэтому при х = - 1 ряд ∑

ходится.

n=1

Ряд сходится абсолютно при x (−1;1).

Исследуйте на сходимость функциональный

∞

ряд ∑xntg

n=1

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся признаком Даламбера

un +1(x)

xn +

1tg

lim

2n +1

n → ∞

(x)

→ ∞

xntg

lim

2n +1

lim

→ ∞

При

т.е. при x (−

2;2) ряд сходится аб-

сходится

ПП 5.№44.

абсолютно

солютно.

при x (− 2;2)

При

>1 , то есть x (− ∞,−2) (2;+∞)

ряд рас-

ходится.

При х = - 2:

∞

−2

∞

n+1

∑x

∑(−1) 2

= ∑(−1)

n−1

n=1

Так как 2

n+1

> 0 , это знакочередующий-

ся ряд.

2n−1

Предел n-го члена ряда

(

−

n+1

(

−

n+1

= 2 lim (−1)n+1 ,

lim

2n−1

lim

2n−1

n→∞

не существует, ряд расходится.

При х=2:

∞	x	∞	1
∑xntg	x	= ∑2n tg	1	,
∑xntg	n	= ∑2n tg	n−1	,
n=1	2	n=1	2

limun = lim 2 = 2 ряд расходится.

n→∞ n→∞

Ряд сходится абсолютно при x (− 2;2).

Найдите область сходимости функциональ-

∞

cos(x −πn).

ного ряда ∑

n=1

РЕШЕНИЕ:

cos(x −πn)=cosxcosπn +sin xsinπn =(−1)n cosx

∞

5 n 1

cos(x

∞

∑

−πn)= ∑

(−1)

cos x.

n=1

Воспользуемся признаком Даламбера

5 n+1

n+1

un+1(x)

(−1)

cos x

lim

= lim

n +

= lim

un x

n→∞

→∞

n→∞

(−

1) cos x

<1: при

ряд сходится абсолютно.

;

x −

>1: при

ряд расходится.

сходится

ПП 5.№44. При x =

абсолютно;

x =

∞

5 n

3 n

∞

n 1

∑

(−1)

cos

= cos

∑(−1)

сходится

n=1

условно

ряд Лейбница.

∞

Этот ряд

Рассмотрим ряд ∑(−1)

= ∑

n=1

∞

расходится как ряд ∑

при α <1, ряд

n=1 n

∞

. абсолютной сходимости не имеет.

∑(−1)n 1

n=1

Исследуем его на условную сходимость.

Воспользуемся признаком Лейбница.

1). Это знакочередующийся ряд.

2).

для n =1,2...

n +1

3). lim

= 0.

→∞

Все условия теоремы Лейбница выполнены

∞

1 сходится условно.

ряд ∑(−1)n

n=1

Рассмотрим x = −

∞ 5

−

(−1) (−1)

cos

∑n=1 3

= cos

∞

- ряд расходится.

3 ∑ 1

5 n=1

В результате:

при

;

- сходится абсолютно;

−

при

x =

- сходится условно;

)

при

(

- расходится.

−∞;−

;

+∞

ПП 5.2.2. 3. Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена

Разложите функцию e−x2

по степеням x .

РЕШЕНИЕ:

Из разложения ex

по степеням x :

x (−∞, ∞)

ПП 5.№45.

=1 + x +

+…,

заменяя x

на − x2 , получим, что

∞

, x (−∞,∞).

e−x2 =1−

−+…=∑(−1)n

n=0

Разложите функцию ln(1 − x)

по степеням x.

РЕШЕНИЕ:

Из разложения для логарифмической функ-

ции ln(1 + x)

по степеням x:

ПП 5.№46.

∞

(−1)n+1

ln(1+x)= x

−

−…=∑

, −1 < x ≤1,

n=1

заменяя x на −x , получим, что

∞

ln(1− x)= −x −

−

−…= −∑

, −1 < x ≤1.

n=1 n

Разложите функцию ln x по степеням (x −1).

РЕШЕНИЕ:

(

+(x −1)

)

искомое разложе-

Так как ln x =ln 1

ПП 5.№47.

ние получается

из

разложения

ln(1 + x) по

степеням x заменой x на (x −1):

ln x = (x −1)−

(x −1)2

(x −1)3

−…=

= ∑(−1)n

−1 (x −1)

−1 < x −1 ≤1,

x (0,2] .

∞

n=1

Разложите функцию ln (2 −5x),

x <

по сте-

пеням (x + 3).

РЕШЕНИЕ:

(2 −5(x +3)+15)=

ln(2 −5x)=ln

=ln17 1−

(x +3)

= ln17 +ln

1−

5(x +3)

;

из разложения ln(1 + x) по степеням x заме-

ной x на

5(x + 3)

получаем

5(x +

3) n

∞

ln(2 −5x)=ln17 + ∑1 −

ПП 5.№48.

n=1n

∞

(x +3)n

=ln17 −∑

n=1 17

Найдем область, в которой справедливо раз-

ложение:

−1 <

5(x + 3)

<1,

−17

< x + 3 < 17 , −

< x < 2 .

Можно убедиться, что при

x =

ряд являет-

ся условно сходящимся, а при

x =

он ста-

новится гармоническим рядом и расходится.

Интервал сходимости

x −

Разложите функцию cos x по степеням

x −

РЕШЕНИЕ:

x −π

Введем новую переменную

= t , тогда

ПП 5.№49.

cos x = cos t +

= −sint .

Из разложения

−sin t = −

t −

−… =

∞	t	2n−1
−∑(−1)n−1	t			, −∞ < t < ∞.
−∑(−1)n−1	(2n −1)!			, −∞ < t < ∞.
n=1	(2n −1)!
Переходя к старой переменной
∞							π	2n −1
∞			n −1		x −		2
cos x = − ∑ (		−1)	n −1				2		=
cos x = − ∑ (		−1)				(2n		−1)!	=
n =1						(2n		−1)!
n =1

= − x − π2 + x −3!π2 3 − x −5!π2 5 +…

Разложите функцию	π		x	2	в ряд по
	y = cos	2

степеням x. РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся известным разложением

∞x2n

ПП5.№50. cos x = ∑n=0 (−1)n (2n)! .

∞

n π

= ∑(−1)

cos

(2n)!

(

2n)!

n=0

∞

(−1)

x (−∞, ∞).

= ∑

x4n ,

n=0

2 (2n)!

ПП5.2.2.5. Применение степенных рядов

ПП5.2.2.5.1. Вычисление значений функций.

Вычислите sin10

с точностью 0,001.

РЕШЕНИЕ:

Ряд sin x = x −

−… сходится при

x R .

π 10

1 π

10 =

, sin10 =

−

−….

180

3! 18

ПП 5.№51.

Ряд знакочередующийся, остаток ряда можно

sin10 ≈ 0,174

оценить по признаку Лейбница. Член ряда,

меньший по модулю, чем 0,001:

π 3

< 0,001

. По признаку Лейбница

погрешность от отбрасывания всех членов,

начиная с n - го равна

un+1

значит,

< 0, 001 и

																			sin10										≈		π				≈ 0,174 .
																			sin10										≈	18					≈ 0,174 .
																														18
	Вычислите с точностью до 0,01 значение
	ln 8 .
	РЕШЕНИЕ:
	ln8 =ln						(23 )=3ln 2. Вычислим ln 2 .
	Если использовать стандартное разложение,
	ln(1+ x)= x −														x2				+			x3				−…, получается медленно
	ln(1+ x)= x −														2				+							−…, получается медленно
															2								3																							1			1
	сходящийся ряд:																							ln 2 = ln(1+1)=1−																						1	+		1			−….
	сходящийся ряд:																							ln 2 = ln(1+1)=1−																					2		+		3			−….
	Сходимость приближения можно ускорить,
	для чего воспользуемся рядами:																																															x2						x3
	ln(1+ x)= x −														x2				+			x3				−…, ln(1− x)=−x −																						x2				−		x3	−…,
															2								3																								2						3
	тогда			ln					(1+ x)										= ln (1+ x)−ln (1− x)=
	тогда			ln					(1− x)										= ln (1+ x)−ln (1− x)=
									(1− x)
								x3							x5														1+ x									= 2 x									=			1
	= 2 x			+							+								+…									,	1− x																					3			,
	= 2 x			+			3				+				5				+…									,																									,
							3								5
ПП 5.№52.	ln 2 =								1							1										1																														ln8 ≈ 2,07
				2								+							+											+…										,
				2					3			+				4			+					5					5	+…										,
									3						3								3						5
	ln8 = 3 2												1						1					1																1					1
															+													+…+																						+… .
													3		+				3					3				+…+											2n+1				2n +1							+… .
													3					3						3													3						2n +1
	Оценим остаток ряда – сколько членов нуж-
	но оставить, чтобы вычислить ln 8 с точно-
	стью 0,01.												1										1											1								1
	Rn = 3 2												1										1						+					1								1			+							<
																																															…
												2n+1								2n +1													2n+3								2n +3						…
										3										2n +1										3											2n +3
	1									1														1			2							1		4
	6															1+													+											+…			=
	6	2n+1						2n +1								1+													+					3						+…			=
	3							2n +1																3										3

	= 2		1									1									1							= 2						1							1				9		,
	= 2		32n						2n +																			= 2					32n							2n +							,
																1				1 −					1																		1	8
																1				1 −				9																			1	8
																								9
	R < 2					1						1 9					=						1					≈ 0,005 < 0,01.
	R < 2																=											≈ 0,005 < 0,01.
	2					34 5 8													180
						34 5 8													180
	ln8 ≈ 6				1					+				1					= 2 +										2			2,07 .

																												27
					3									81														27
ПП 5.№53.	Вычислите 4 17 с точностью 0,01.																																																		4 17 ≈ 2,03

РЕШЕНИЕ:

4 17 = 4 16 +1 = 2 4 1+

= 2 1+

Воспользуемся биномиальным рядом, пола-

гая x =

m = 1

(−1) 3

1 14

1 +

4 16

2!4

−…,

+…

−

Учитывая, что получился ряд Лейбница,

оценим количество слагаемых, требующееся

для достижения необходимой точности:

< 0,01,

163

4 17 ≈ 2 +

= 2 +0,031... = 2,03.

Вычислите число e с точностью 0,001.

РЕШЕНИЕ:

∞

ex =1+ x +

+…= ∑

, x R.

n=0

∞

f (x)=ex =∑

=∑

+ ∑

= Sn (x)+Rn (x),

n=0

k=0

k=n+1

приближенно

f (x)≈ Sn (x).

Оценим погрешность приближенного равен-

ства:

ПП 5.№54.

(x)

xn+1

xn+2

+…

≤

e ≈ 2, 718

(n +1)

(n + 2)!

≤

n+1

n+2

+…=

(

n +1)!

(n + 2)!

+…

(n +1)(n +

n +1

+… =

{по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии}

n +1

1−

n +

1−

n +1

окончательно,

Rn (x)

n +1−

e = f (1), погрешность

Rn (1)

n .

Неравенство

(1)

1 <10−3

решаем под-

бором:

n n! >1000 ,

n n! = 5 120 = 600 <1000 ,

n = 5 :

n = 6 :

n n! = 6 720 = 4320 >1000 .

e ≈1+1+

1 +

3 2

4 3 2

5 4 3 2

6 5 4 3 2

= 2 + 1

1957

= 2,7180555...

120

720

В результате необходимо оставить 3 знача-

щих цифры после запятой, e ≈ 2, 718 .

ПП 5.2.2.5.2.

Вычисление интегралов, не берущихся в

элементарных функциях.

Найдите значение функции Φ(x)= ∫x e−t2 dt

(интеграл ошибок, функция Лапласа) при

x =1 с точностью 0,001.

РЕШЕНИЕ:

Подставим в интеграл разложение подынте-

гральной функции e−x2

=1 − x2 +

−

+…

ПП 5.№55.

в ряд по степеням x:

0,747

−t2

∫e

∫

1−t

−

+… dt =

= t

−

…

3 1!

5 2!

7 3!

x2n+1

= x −

−

+…+

+...

3 1!

5 2!

7 3!

(2n +1) n!

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ПП_4_сем_pdf

#
23.02.2015262.21 Кб35ПП _08 _Предельные теоремы.pdf
#
23.02.2015515.48 Кб39ПП _09 _Многомерные СВ.pdf
#
23.02.2015270.78 Кб36ПП _10 _Функции СВ.pdf
#
23.02.2015364.45 Кб35ПП _11 _Оценки пар расп.pdf
#
23.02.2015501.49 Кб39ПП _12_Проверка_стат_гипотез.pdf
#
23.02.2015564.15 Кб36ПП_5_2_Функ_ряды.pdf
#
23.02.2015381.39 Кб40ПП_5_3_Ряды_Фурье.pdf