Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4сем / Лекции_3_сем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

3.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Теория поля			71
OZ (n ,OZ ) < π		;	cosγdσ = dxdy . Переходя к двойному интегралу по Dxy:
0	2
	2

∫∫→ ∫∫ , получим

ΣDxy

D∫∫

∂a (x, y, z) ∂z ∂a (x, y, z)

dxdy .

−

∂z

∂y

−

∂y

По формуле дифференцирования сложной функции, записывая полную производную сложной функции, имеем:

			∂ax (x, y, z(x, y)) =	∂ax (x, y, z) +				∂ax (x, y, z)	∂z ,
			∂y	∂y				∂z	∂y
		∂ax (x, y, z(x, y))dxdy = −∫b					y ( x)	∂ax (x, y, z(x, y))dy =
	−∫∫	∂ax (x, y, z(x, y))dxdy = −∫b				dx	2∫	∂ax (x, y, z(x, y))dy =
	D		∂y	a			y ( x)	∂y
	xy						1
= −∫b ax (x, y2 (x)), z(x, y2 (x))dx + ∫b ax (x, y1 (x)), z(x, y1 (x))dx =
	a				a
			= ∫ax (x, y, z)dx .
			L
Докажем последнее преобразование.
		∫ax (x, y, z)dx = ∫ax (x, y, z)dx + ∫ax (x, y, z)dx =…
		L	L1				L2
			{пусть L задана параметрически}…
=	t2 ax (x(t), y(t), z(t)) x(t)t dt +					t1 ax (x(t), y(t), z(t)) x(t)t dt =
	∫t1				∫t2

…{t = x; x(t)t =1}…=

= ∫ab ax (x, y1 (x), z( y1 (x))) dx + ∫ba ax (x, y2 (x), z( y2 (x))) dx .

Остальные два слагаемых рассматриваются аналогично. Почленное суммирование этих выражений приводит к формуле Стокса.

!1). Используя обозначение ротора, формулу Стокса можно переписать в

векторном виде: ∫(a, dr ) = ∫∫(rot a dσ) . Поток вектора rot a через ори-

L Σ

ентированную поверхность Σ равен циркуляции поля a по контуру L, ориентированному в соответствии с ориентацией Σ.

2). Для того чтобы криволинейный интеграл по любому кусочногладкому контуру равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Стокса: ∂∂ayz = ∂∂azy ; ∂∂azx = ∂∂axz ; ∂∂axy = ∂∂ayx .

Лекция 5 - 9

Пример:

Вычислить циркуляцию вектора

a = yi + x2

j − zk

по контуру L:

+ y

= 4;

x = 2 cos t;

y = 2 sin t; .

= 3;

z = 3.

Решение:

1) Вычислим циркуляцию вектора непосредственно:

2π

C = ∫ ydx + x2dy − zdz = ∫dt{2sin t 2(−sin t) + 4cos2 t 2cost −3 0}=

= - 4

2∫π sin2 tdt +8

2∫πcos2 td sin t =

2∫π

1 −cos 2t

dt +8

2∫π(1 −sin 2 t)d sin t =

= −

4t |

2π

+ sin 2t |

2π

8sin t |

2π

−

sin 3 t

2π

= −4π ;

2) Вычислим циркуляцию вектора по теореме Стокса::

C = ∫∫(rot a dσ) = ∫∫(rot a n0 )dσ = ∫∫(rot a (0,0,1))dσ =

∫∫(rot a)z dσ = ∫∫(−1+2x)dσ =…

ΣΣ

ij k

{rota =

∂

= 0i + 0 j + (−1 + 2x)k } = ∫∫(2x −1)dxdy =

∂x

∂y

∂z

Dxy

−z

2π

= ∫ dϕ∫(2ρ cosϕ −1)ρd ρ = ∫ρd ρ ∫ (2ρ cosϕ −1)dϕ = ∫ρd ρ{2ρ sinϕ |0

2π −2π}

= −2π

ρ 2

= − 2π 4

= −4π .

8.7. Инвариантное определение ротора

Ранее было дано определение ротора

rota =

∂

, справедливое

∂x

∂y

∂z

ax ay az

лишь в декартовой системе координат.

Теорема Стокса позволяет дать инвариантное (независящее от системы координат) определение ротора векторного поля.

Теория поля

Пусть a = a(P) - векторное поле, удовлетворяющее теореме Стокса; n0 - некоторое фиксирован-

ное	направление, проходящее	через точку М;
D -	плоская область величины	SD , охватывающая

точку М, а L - граница области D. Направления обхода контура L и ориентация области D согласованы в соответствии с теоремой Стокса:

M no

∫(a dr ) = ∫∫(rot a dσ) или ∫∫(rot a dσ) = ∫∫Πpn0 rot a dσ .

L	Σ			Σ	D
По теореме о среднем существует точка М1: Πpn0 rot a(M1 ) SD = ∫(a dr ) .
						L
Тогда Πpn rot a(M1 ) =		∫(a dr )	. Будем стягивать контур L в точку М, тогда
		L
		SD
0		SD
0
точка M1 → M и Πpn		rota(M ) = lim		∫(a,dr )	. Поскольку	∫(a,dr )	- средняя
				L		L
				L
				SD
	0		L→M	SD		SD
	0		L→M

поверхностная плотность циркуляции поля по площади SD, то проекция rot(a) на правление n0 не зависит от выбора систем координат и равна по-

верхностной плотности циркуляции вектора a по контуру L, который стягивает площадку, перпендикулярную этому направлению.

8.8. Физический смысл ротора

Пусть вектор a =V (P) задает поле линейных скоростей жидкости, движущейся вокруг оси Oz, и в точке Р угловая скорость вращения ω =ωk .

Тогда	V (P) =ω × r =
вычислим
			i		j
			i		j
	rotV (P) =		∂		∂
	rotV (P) =		∂x		∂y
			∂x		∂y
		−ωy		ωx

i	j	k
0	0	ω	= −ωyi + ωxj,
x	y	z

∂∂z = 0 i + 0 j + (ω +ω)k = 2ωk .

Итак, ротор поля линейных скоростей равен удвоенной угловой скорости вращения ω бесконечно малого объема, окружающего точку Р, в предпо-

74	Лекция 5 - 9

ложении, что в рассматриваемый момент времени этот объем жидкости внезапно отвердел. Это объясняет название «вихрь» вектора, так как в обычном представлении вихрь связан с интенсивностью вращения движущихся частиц жидкости (турбулентность, водоворот).

8.9. Формула Грина

Пусть в односвязной плоской области D, имеющей границу L, задано

непрерывно	дифференцируемое					векторное поле	a = axi + ay j ,	тогда
∫(axdx + ay dy) = ∫∫(		∂ay	−	∂a	x ) dxdy ,	при этом контур обходится так,		чтобы
∫(axdx + ay dy) = ∫∫(			−		x ) dxdy ,	при этом контур обходится так,		чтобы
L	D	∂x		∂y
область D оставалась слева.
Доказательство:
Рассмотрим формулу Стокса для данного случая: ∫(a dr ) = ∫∫(rota dσ) .
						L	Σ

Σ → D :

cos(γ )

=1, dxdy =

cos(γ )

dσ ; rota

откуда следует ∫∫

(rota)z dxdy = ∫∫(

∂ay

−

∂a

)dxdy .

∂x

∂y

Область D может быть и неодносвязной. В этом случае под линейным интегралом понимается сумма интегралов по всем компонентам границы D.

	i	j		k
=	∂	∂		∂	;
=	∂x	∂y		∂z	;
	∂x	∂y		∂z
	ax	ay	0

L1 L2

L = L1 L2 L3

!В некоторых случаях формула Грина позволяет упростить вычисление циркуляции векторного поля.

Пример:

Вычислить циркуляцию вектора

a =	1+ x2 + y2 i + y[xy + ln(x +	1+ x2 + y2 )] j
по контуру L: x2 + y2 = R2.
Тогда: C = ∫	1 + x2 + y2 dx + y xy + ln	(x +	1 + x2 + y2 ) dy .
L
L

Теория поля

Проще вычислить циркуляцию по формуле Грина:

y 1

∂ax

∂ay

1 + x

+ y

= y

∂y

1 + x2 + y2

∂x

x + 1 + x2 + y 2

= y

+ y

( 1+ x2 + y2 + x)

= y

1+ x2 + y2 (x + 1+ x2 + y2 )

1+ x2 + y2

∫

(a dr )

∂ay

∂a

∫∫

С=

−

dxdy

y2 +

−

dxdy =

Dxy ∂x

∂y

Dxy

1+x

+ y

1+x + y

2π

1 − cos

2ϕ

= ∫∫ y2dxdy = ∫ dϕ ∫ρd ρ ( ρ 2 sin 2 ϕ ) =

∫

dϕ∫ρ3 dρ =

Dxy

sin 2ϕ

2π

πR

ϕ |0

2π

2π =

−

9.1. Потенциальное векторное поле

О Векторное поле a называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля (функции) u =u(P) , т.е.

a = grad(u) . Это векторное равенство равносильно трем скалярным:

(x, y, z) =

∂u(x, y, z)

; a

∂u

; a

∂u

. Иначе:

du = a

dx + a

dy + a

dz .

∂x

∂y

∂z

Функция u в этом случае называется силовой функцией, или потен-

циалом поля.

!Потенциал u определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Пример:

Показать, что поле

a =

потенциально.

r 3

Решение:

Рассмотрим функцию u = − e ;

∂u

∂

1 ∂

= = e

= e

= −e

= e

+ y

+ z

;

∂x

∂x r

r ∂x

+ y

+ z

∂u

= e

;

∂u

= +e

grad(u) = +

;

a = grad(u) u -

потенциал

∂y

∂z

поля a .

76	Лекция 5 - 9

9.1.1. Условия потенциальности поля

1.Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру, лежащему

вобласти непрерывности потенциального поля, равна нулю. Доказательство:

Рассмотрим

∂

rot(grad(u)) =

∂

−

∂

−

j +

∂x ∂y ∂z

∂y∂z

∂x∂z

∂z∂y

∂z∂x

∂u

∂x

∂y

∂z

+ ∂∂x2∂uy − ∂∂y2∂ux k = 0 rota = 0.

По теореме Стокса ∫(a dr ) = ∫∫(rota dσ) = 0 .

LΣ

2.Линейный интеграл в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования и равен разности потенциалов поля в конечной и начальной точках интегрирования.

Доказательство:

Так как поле потенциально: a = grad(u) = ∂∂ux i + ∂∂uy j + ∂∂uz k

∫ (a, dr ) = ∫ axdx + ay dy + az dz = ∫

∂u

dx +

∂u

dy +

∂u

∂x

∂y

∂z

∂u

x( t) +

∂u

y(t) +

∂u

= ∫dt

∂x

∂y

∂z

z(t) = ∫

dt = ∫du = u(x(t), y(t), z(t)) |tA

=u( x(tB ), y(tB ), z(tB ) -u(x(tA ), y(tA ), z(tA )) = u(B) −u( A) .

Т(Условие 3) Для того чтобы векторное поле a = a(P) в некоторой односвязной области G было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. rot(a) = 0 .

Доказательство:

Необходимость.

Пустьa = a(P) - потенциальное поле a = grad(u)

rota = rot(grad(u)) =0 .

Теория поля

Достаточность.

В силу свойства 2, если зафиксировать начальную точку А(0,0,0), криволинейный интеграл станет некоторой функцией пере-

менной точки P(x,y,z): u(P) = ∫ (a, dr ) .

A(x0 ,y0 ,z0 ) P(x,y,z)

P1(x,y0 ,y0 ) P2(x,y,y0 )

Вычислим производную	по направлению
функции u(P) в точке A. При переходе от
точки P к точке P' функция u получит при-
ращение ∆u = ∫ (a,dr ) =	∫ ΠpPP 'adl = ΠpPP 'a(P1 ) ∆l , где P1 PP ' по
PP '	PP '		∆u = Πp
теореме о среднем. Следовательно,			∆u = Πp		PP'	a(P ) . Переходя к пределу
			∆l		PP'	1
			∆l
при P → A и ∆l →0 , имеем lim		∆u	= ∂u	= ΠpAP a( A) . Поскольку произ-
	∆l →0	∆l	∂l

водная поля ∂∂ul по направлению AP равняется проекции grad(u) на это направление, то a = grad(u) .

!Условие 3 часто используют в качестве критерия потенциальности векторного поля.

9.1.2. Вычисление потенциала поля

Потенциал векторного поля по условию 2 может быть найден по формуле

u = ∫ ax dx + ay dy + az dz , где А (x0, y0, z0) - фик-

сированная точка поля, координаты которой удовлетворяют условиям существования полей

a и rot a ( как правило, А(0,0,0)), а Р(x,y,z) - те-

кущая точка поля). Линейный интеграл вычисляется по любому контуру дуги L : AP . Наиболее удобен для вычисления контур в виде ломаной, звенья которой параллельны осям координат.

В этом случае

x y z

u(x, y, z) = ∫ax (x, y0 , z0 )dx +∫ay (x, y, z0 )dy +∫az (x, y, z)dy .

x0 y0 z0

78	Лекция 5 - 9

Пример:

Доказать, что поле a = x2i + y2 j + z2k является потенциальным, и найти его потенциал.

Решение: Используя критерий потенциальности поля (условие 3), имеем: rot(a) = 0 a - потенциальное поле.

u = ∫ (a dr ) =	∫ x2dx + y2dy + z2dz =	∫ ... +	∫ ... +	∫ ...
AB	AB	AP1	P1P2	P2 P

AP1 : y = 0 dy = 0; z = 0 dz = 0;

PP : x = const dx = 0; z = 0 ;

1 2

P2 P : x = const dx = 0; y = const dy = 0

x	y	z			x		3	+ y	3	+ z		3
u = ∫ x 2 dx + ∫ y 2 dy + ∫ z 2 dz =												+ c
								3
0	0	0
Проверка: grad u = grad (		x3 + y3 + z3	) =	3x		2		i + 3y2			j +		3z 2	k = x2i + y2 j + z2k .
		3		3									3
									3

9.2. Соленоидальное поле

ОВекторное поле a = a(P) называется соленоидальным (трубчатым), если в каждой точке P заданного поля div(a) = 0 .

9.2.1. Свойства соленоидального поля

1.Соленоидальные поля не имеют источников и стоков, что следует из определения.

2.Поток a через любую замкнутую ориентированную кусочно–гладкую поверхность, лежащую в поле равен нулю:

П = ∫∫(a dσ) = ∫∫∫diva dV = 0 .

Σ G

3.В соленоидальном поле векторные линии не могут начинаться или кончаться во внутренней точке области; они либо замкнуты, либо начинаются и кончаются на границе поля.

4.Поток векторного поля через поперечное сечение векторной трубки в соленоидальном поле остаётся постоянным вдоль всей трубки.

Теория поля					79
Доказательство свойства 4:
Рассмотрим область специального вида						a
- векторную трубку Т ограниченную двумя					1	n0
поперечными сечениями Σ1, Σ2 и боковой
поперечными сечениями Σ1, Σ2 и боковой
поверхностью Σ3.						a
Вычислим поток через указанную поверх-						a
				−		n0
				−
ность.				2
				2	3
Π = ΠΣ1 + ΠΣ2 + ΠΣ3	= ∫∫∫diva dV = 0				3
Π = ΠΣ1 + ΠΣ2 + ΠΣ3	= ∫∫∫diva dV = 0		a	n0 2
				+
(по свойству 2);	T
(по свойству 2);	= ∫∫(a dσ) = ∫∫(a n0 )dσ = 0 ,
ΠΣ3 = Π боковой поверхности	= ∫∫(a dσ) = ∫∫(a n0 )dσ = 0 ,			так как на поверх-
	Σ3	Σ3
ности векторной трубки Σ3 вектор		a направлен по касательной к по-
верхности, т.е. (a n0 )Σ3	(a n0 )Σ3	= 0 .
Таким образом,
ΠΣ1 + ΠΣ2 = 0 , ΠΣ1 = −ΠΣ2 , ∫∫(a,dσ) = −∫∫(a, dσ) = ∫∫(a, dσ) .
	Σ1		Σ2 +	Σ2 −

Если придать векторному полю смысл скорости течения жидкости, то количество жидкости, вытекающей из поперечного сечения векторной трубки, всегда равняется количеству жидкости, втекающей в нее.

Пример:

1). Является ли соленоидальным поле:

a = y2i −(x2 + y2 ) j +z(3y2 +1)k ?

Решение:

diva = −2y +3y2 +1 ≠ 0 a - не соленоидально.

2). При каком условии векторное поле

a =ϕ(r) r будет соленоидаль-

ным?

Решение:

′

diva = div[ϕ(r)r ] =ϕ(r)divr + (gradϕ(r) r ) = 3ϕ(r) +ϕ (r)

′

(r)

3ϕ(r) +

= 3ϕ(r) +ϕ (r)r

dϕ

′

или 3ϕ(r) = −rϕ (r) ,

rϕ

(r) = −3ϕ(r) ,

= −3 r ,

lnϕ = ln c −3ln r ; ϕ =

- поле соленоидально, если ϕ =

80	Лекция 5 - 9

9.3. Операторы Гамильтона и Лапласа

9.3.1. Оператор Гамильтона (набла)

Многие операции векторного анализа могут быть записаны в сокращенной и удобной для расчётов форме с помощью символического оператора

Гамильтона «набла»: =i

∂

+ j

∂

+ k

∂

;

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

Выражение вида u(x, y, z) понимается как результат действия оператора на соответствующую функцию. Тогда

∂

∂u

i +

∂u

j +

∂u

′

, gradu = u .

u(x, y,z) = i

+ j

u(x, y,z) =

∂y

∂x

∂y

∂z

k = ux i +uy j +uz k

∂x

∂z

В этом операторе соединены дифференциальные и векторные свойства, поэтому при действиях с ним необходимо пользоваться правилами векторной алгебры и дифференцирования.

Выполняя действия с оператором «набла», удобно использовать так называемый символический метод, основанный на применении следующих правил:

1.Если оператор действует на какое-либо произведение, то вначале используются его дифференциальные, а затем векторные свойства.

2.Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают индексом c (const).

3.Все величины, на которые оператор «набла» не действует, в окончательном варианте ставятся впереди него.

Пример:

Используя символический метод, вычислить div a ×b .

Решение:

Воспользуемся свойствами смешанного произведения:

div a ×b = ( a ×b )= ( a ×bc )+( ac ×b )= (b ×a )−(a ×b )=

= b rot(a) −a rot(b) .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 4сем

#
23.02.201562.98 Кб341_Таблица изучения 4 сем.doc
#
23.02.20153.64 Mб45Лекции_3_сем.pdf