Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4сем / Лекции_3_сем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

3.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Функциональные ряды

101

12.3. Признак Вейерштрасса (признак равномерной сходимости функционального ряда)

Функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.

∞	(1),	∞	(2) в силу ограни-
Например, для рядов ∑ansin nx,	(1),	∑ancos nx	(2) в силу ограни-
n=1		n=1

ченности функций выполняется an sin nx ≤ an , an cos nx ≤ an .

∞

По признаку Вейерштрасса, если ряд ∑an сходится абсолютно, то ря-

n=1

ды (1), (2) сходятся равномерно на промежутке.

Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов

	∞
	∞
Т	Пусть ряд ∑ fn (x)= f (x) с непрерывно дифференцируемыми чле-

	n=1
	нами сходится для x [a,b]				∞
	нами сходится для x [a,b]				и ряд ∑ fn′(x)	сходится равномерно на
	[a,b], тогда	∑ fn (x)			n=1
	[a,b], тогда	∑ fn (x)	сходится равномерно,					его сумма дифферен-
	цируема и	f (x ) ′ =	∞	f ′	(x ), т.е. ряд ∞	f	n	(x) можно дифферен-
			∑	n	∑		n
			n =1		n=1

цировать

почленно.

∞

ТПусть ряд ∑ fn (x)= f (x) равномерно сходится на [a,b], тогда:

n=1

1) этот ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке и

∞ b	b
2) ряд ∑∫ fn (x)dx = ∫ f (x)dx сходится равномерно.
n=1 a	a

Пример:

Найдите сумму ряда ∑∞ (n2 + 9n + 5)xn+1 = f (x).

n=0

Решение:

Для нахождения суммы ряда воспользуемся известной формулой для суммы геометрической прогрессии

102					Лекции 12 - 14
∞	1
∑xn =1+ x + x2 +…=		,	x	<1 .	(1)

	1− x
n=0	1− x

Дифференцируя левую и правую части формулы (1), получим последовательно,

∞	n−1			′		∞	n−2
∑nx			1			∑n (n −1)x
		=			,

n=1			1− x			n=2

	1 ″
=		.	(2)

	1− x

Заменим в			формулах (2) индекс суммирования:
		1		′	∞	n			1	″ ∞	n
				= ∑(n +1)x			,			= ∑(n + 2)(n +1)x		.
	1			= ∑(n +1)x			,	1		= ∑(n + 2)(n +1)x		.
	1	− x			n=0			1	− x	n=0

Выделим в сумме, подлежащей вычислению, слагаемые, пропорциональные первой и второй производной:

∞

(n2 + 9n +5)xn+1 =

∞

∑

∑((n + 2)(n +1)+ 6(n +1)−3)xn+1 =

n=0

∞

= x

∑(n + 2)(n +1)xn + 6∑(n +1)xn −3∑xn =

n=0

n+0

n=0

1 ″

1 ′

−3

1− x

− x

Вычислим производные:

′

″

′

x )

(1 −

x )

1 −

−

(1 −

x )

тогда

−3 x

+ 5

f (x )

= x

−

(1 − x )3

− x )2

1 − x

(1 − x )3

13.1. Степенные ряды. Основные определения

О Функциональный ряд вида
∞		(x − x0 )+ a2 (x − x0 )2 +…
∑an (x − x0 )n = a0	+ a1	(x − x0 )+ a2 (x − x0 )2 +…	(1)
n=0
называется степенным по степеням (x − x0 ).
В частности, при x0 = 0 ряд
∞
∑an xn	= a0	+ a1 x + a2 x2 +…	(2)

n=0

является степенным по степеням x.

Ряд (1) сводится к ряду (2) заменой (x − x0 )→ x , a0 , a1, a2 …- коэф-

фициенты ряда. Ряд (2) сходится по крайней мере в одной точке: при x = 0 S = a0 .

Функциональные ряды

103

104

Лекции 12 - 14

Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля

∞

(x0

≠ 0), то он

1) Если степенной ряд ∑an xn сходится в точке

n=0

абсолютно

сходится для x :

, причем

на

отрезке

≤ R <

сходимость будет равномерной.

2) Если степенной ряд расходится в точке x0′ (x0′ ≠ 0), то он расходится и для всех x таких, что x > x0′ .

Доказательство:

∞

1) Пусть ∑an x0n сходится, тогда lim an x0n = 0 последовательность

n=0

n→∞

a x n ограничена M :

a x n

< M .

n 0

∞

Рассмотрим

ряд

∑an xn ,

запишем

его

виде:

n=0

a0 + a1x0

+ a2 x0

+…

сравним

рядом

M + M

+ M

+…,

который

представляет

собой

при

геометрическую прогрессию

g =

<1, т.е. сходится, следователь-

∞

но, ряд ∑an xn абсолютно сходится,

т.к. an xn ≤ M

n=0

При этом на отрезке

≤ R <

сходимость равномерная, т.к.

∞

сходится мажорирующий числовой ряд ∑M

n=0

∞

2) Пусть ряд ∑an (x0′)n расходится. Докажем, что он расходится при

n=0

x : x > x0′ .

Функциональные ряды

105

x0′

∞

От противного:

пусть x :

и ряд ∑an xn сходится, следова-

n=0

тельно, по 1-ой

части теоремы Абеля ряд бы сходился в точке

x0′(ò .ê.

x0′

что противоречит условию.

С1). Областью сходимости степенного ряда является симметричный интервал с центром в точке О.

2). Существует граница между точками сходимости x0 и расходи-

{x 0 } = in f { x 0′ }.0

ОЧисло R такое, что при x < R ряд сходится, а при x > R - расхо-

дится, называется радиусом сходимости степенного ряда, а интер-

вал x (−R, R) - интервалом сходимости.

В граничных точках x = ±R поведение ряда требует дополнитель-

ного исследования.

∞

Для ряда ∑an (x − x0 )n интервал сходимости имеет вид:

n=0

x (x0 − R, x0 + R)

с центром в точке x0 :

106	Лекции 12 - 14

13.2. Вычисление радиуса сходимости

Степенные ряды в области сходимости сходятся абсолютно и можно использовать признаки сходимости рядов с положительными членами.

1.По признаку Даламбера:

n+1 (

)

n+1

an+1

<1, схо дится,

lim

= lim

n+1

lim

un (x)

n→∞

>1, расхо дится.

Ряд сходится, если

. R =

= lim

an+1

lim

n→∞

n+1

n→∞

2.По признаку Коши:

lim n

un (x)

= lim n

lim n

<1, схо дится,

n→∞

>1, расхо дится.

Ряд сходится,

если

R =

lim n

n→∞

•Пример: •

•

∞

•

Найдите область сходимости рядов: 1) ∑

и 2) ∑

n=1

R =

= lim

= lim n +1

=1.

a +

n→∞

lim

n+1

n 1

n→∞

•Интервал сходимости x (−1, 1)..

•Исследуем граничные точки.

1)x =1 ∑∞ 1n − расходится;n=1

		∞		n
2)			(−1) - сходится условно по признаку Лейбница.
	x = −1 ∑
	n =1		n
•	Область сходимости ряда x [−1, 1).
•	2) R = lim	(n +1)!		= lim(n +1)= ∞ , ряд сходится при всех

	x (− ∞, ∞).		n!	n→∞
	n→∞

Функциональные ряды

107

13.3.Свойства степенных рядов

Всилу теоремы Абеля степенной ряд сходится равномерно на (−R, R), его можно почленно дифференцировать и интегрировать в ин-

тервале сходимости.

ТРяды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

Пример:

∞
1) ∑xn = x + x2 + x3 +… сходится равномерно при x , удовлетворяю-
n=1
щих неравенству x <1
∞	x	(1) - сумма бесконечно убывающей геометрической
∑xn =	x	(1) - сумма бесконечно убывающей геометрической
n=1	1 − x

прогрессии.

Этот ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать:

∞

n−1

′

−1

∑nx

;

1− x

n=1

x −1

∞

n+1

∑n=1

= ∫0

dt = −x −ln (1− x).

1−t

∞

(x).

2) ∑an xn = f

n=0

f(x)= a0 +a1x + a2 x2 +…; f ′(x)= a1 + 2a2 x +3a3 x2 +…,

∫f (x)dx = c + a0 x + a12x2 +….

13.4.Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена

Формула Тейлора для f (x):

f (x)= f (x0 )+

f ′(x

)

(x −x0 )+

f ′′(x

)

(x −x0 )

f (n) (x

)

(x −x0 )

+Rn (x),

+…+

108						Лекции 12 - 14
где	R (x)=	f (n+1) (x0 +θ	(x − x0 ))	(x − x )	n+1	- остаточный член в форме Ла-
	n	(n +1)!		0
	n			0

гранжа, где 0 <θ <1.

ТФункция f (x), имеющая производные всех порядков в интервале

x − x0 < R , однозначно представима на этом интервале своим рядом

∞

(n)

(x0 )

Тейлора: f (x)= ∑an

(x − x0 )n , где an =

, тогда и только тогда,

n=0

когда lim R (x)= 0 .

n→∞ n

Доказательство:

f (x)= Pn (x)+ Rn (x),

По формуле Тейлора

Pn (x)= f (x0 )+

f ′(x

)

(x − x0 )+…+

(n) (x )

(x − x0 )

Так как lim R (x)= 0,

то f (x)= lim P (x).

n→∞ n

n→∞

Pn (x) - частичная сумма ряда Тейлора, ее предел равен сумме ряда

f (x), значит, разложение справедливо.

f (x)= f (x0 )+

f ′(x

)

(x − x0 )

f ′′(x

)

(x − x0 )

+….

При x0 = 0 ряд

′(0)x + f ′′(0)x2 +…+

(0)xn

+…

f (x)= ∑an xn = f (0)+ f

∞

n=0

называется рядом Маклорена.

ТДля того, чтобы функцию f (x) можно было разложить в степен-

∞	на интервале (−R, R) достаточно, чтобы f (x)
ной ряд ∑an xn
n=0	R) производные всех порядков и чтобы существо-
имела на (−R,

вала такая постоянная M , что f (n) (x) ≤ M при n = 0,1,2,… и при

всех x (−R, R).

Доказательство:

Так как f (x) имеет производные всех порядков, для нее можно формально построить ряд Маклорена. Докажем, что он сходится к

Функциональные ряды

109

f (x). По теореме

1 достаточно

доказать, что

Rn (x)→ 0

для

x (−R, R).

n→∞

Остаточный член формулы Маклорена в форме Лагранжа можно

оценить следующим

образом:

(x)

f (n+1) (θx)

xn+1

MRn+1

при

(n +1)!

x (−R, R); 0 <θ <1.

∑∞ MRn+1

По признаку Даламбера ряд n=0 (n +1)! сходится, значит для него выполняется необходимый признак сходимости и его общий член

	MRn+1		→ 0 .	Значит R (x)→ 0, x (−R,R),что и требовалось дока-

	(n +1)! n→∞					n	n→∞

зать.								y = f (x) в ряд Тейлора (Маклорена) сле-
Для разложения функции
дует:
1)		составить ряд по формуле;
2)		найти его область сходимости;
3)		доказать, что для всех x из области сходимости
lim R (x)= 0				(	f (n) (x)	≤ M	)	.

n→∞ n

13.5. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена

f (x)= ex , f (n) (x)= (ex )(n) = ex ; f (n) (0)=1

f (n) (x)

= ex ≤ eR

на любом

интервале x (− R, R) оси x , значит для всех

x (−∞,∞).

∞

ex =1+ x +

+…= ∑

, x R.

n=0 n!

ex −e−x

x2n−1

sh x =

= x +

+…+

+ ...., x R;

(2n −1)!

ch x =

ex −e−x

x2n

+ ..., x R.

=1+

…+

(2n)!

(1)

(2)

(3)

110	Лекции 12 - 14

4. f (x) = sin x,					f (0) = 0,
	π		,		f ′(0)=1,
f ′(x)= cos x = sin x +			,		f ′(0)=1,
	2
	+ 2	π		,	f ′′(0)= 0 ,
f ′′(x)= −sin x = sin x	+ 2		2	,	f ′′(0)= 0 ,
			2

(n)

(x)= sin

(n)

(0)= sin

πn

x + n

∞

2n+1

sin x = x −

−…= ∑(−1)n

≤1.

(2n +1)!

n=0

5.f (x)= cos x .

Разложение функции cos x

получим дифференцированием ря-

да для sin x

(4):

∞

cos x =1−

−

+…= ∑(−1)n

≤1.

(2n)!

n=0

f (x)= ln (1 + x), x > −1.

Продифференцируем

f (x)

и разложим производную по фор-

муле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрес-

сии:

ln (1+ x)

′ =

=1− x + x2 − x3 +…, −1 < x <1.

1+ x

Проинтегрируем это равенство почленно:

∞

xn+1

ln(1 + x)=

∫

∑(−

dx = ∑(−1)

+ C,

n +1

n=0

∞

постоянную С найдем,

полагая x = 0 .

ln1 = ∑0 +C C = 0.

n=1

ln (1 + x)= x − x

+ x

− x

+…= ∑(

−1)

xn+1

∞

n +1

n=0

= ∑(−1)

n+1

xn , −1 < x ≤1.

∞

n=1

Здесь учтено, что разложение остается справедливым и

при x =1, так как ряд сходится по признаку Лейбница.

f (x)= arc tg x

(4)

(5)

(6)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 4сем

#
23.02.201562.98 Кб341_Таблица изучения 4 сем.doc
#
23.02.20153.64 Mб45Лекции_3_сем.pdf