Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4сем / Лекции_3_сем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

3.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

	Теория поля	61
	7.6. Физический смысл потока через замкнутую поверхность
	Рассмотрим замкнутую поверхность Σ, ограни-	a
	чивающую объем G в векторном поле a = a(P) ско-	a
	чивающую объем G в векторном поле a = a(P) ско-	>0
	ростей течения несжимаемой жидкости.	0
	Поток вектора a = a(P) через поверхность Σ ,	P2
	Поток вектора a = a(P) через поверхность Σ ,	a
	Π = ∫∫(a, dσ ) равен количеству жидкости, протекаю-	a
	Π = ∫∫(a, dσ ) равен количеству жидкости, протекаю-	P1 <0
	Σ	P1 <0
	щей через поверхность Σ в единицу времени. Обо-	0
	значим единичный вектор внешней нормали n0 . Век-

торные линии входят и выходят из замкнутой по-

верхности Σ . В точке P1 угол (a, n0 ) > π2 ; это означает, что жидкость втекает

внутрь поверхности. В точке выхода P2 (a,n0 ) < π2 , следовательно, жидкость

вытекает. Поток векторного поля a через замкнутую поверхность Σ численно равен разности потоков жидкости, втекающей и вытекающей в единицу времени со скоростью a в пространственную область G, ограниченную Σ .

Пусть П>0, следовательно, жидкости вытекает больше, чем втекает, в области G есть источники поля.

Если П<0, втекает жидкости больше, чем вытекает, то в G есть стоки. Если П=0, то в области G источников и стоков или нет, или они компен-

сируют друг друга.

7.7. Теорема Остроградского - Гаусса

Если в некоторой области G трёхмерного про-

странства, ограниченной замкнутой кусочно-

гладкой поверхностью Σ, задано непрерывно диф-

3 V

ференцируемое векторное поле a = axi + ay j + azk ,

то поток векторного поля a через внешнюю сторо-

ну замкнутой поверхности Σ равен тройному инте-

∂a

x +

∂ay

∂a

по области G,

гралу от функции

∂y

∂x

∂z

ограниченной поверхностью Σ :

∂ay

∂a

Π = ∫∫(a dσ) = ∫∫∫

x +

z dxdydz ,

∂y

∂x

∂z

где символ ∫∫ обозначает интеграл по замкнутой поверхности.

62 Лекция 5 - 9

Доказательство: Часть 1.

Рассмотрим область G, правильную в направлении оси Oz, которую будем называть элементарной Hz областью. Это означает, что снизу и сверху она ограничена поверхностями: Σ1 : z = z1 ( x, y) и Σ2 : z = z2 ( x, y) соответст-

венно, а сбоку цилиндрической поверхностью Σ3 с образующими, парал-

лельными оси Oz, и направляющей Г. Рассмотрим одно слагаемое:

∫∫∫	∂a	z2	∂a	∫∫dxdyaz (x, y, z)	z2 (x, y)
	∂zz dxdydz = ∫∫dxdy ∫		∂zz dz =		z (x, y)	=
G	Dxy	z1		Dxy	1

∫∫

dxdy

{

(x, y, z

(x, y)) − a

(x, y, z (x, y)

}

Dxy

= ∫∫az (x, y, z2 (x, y)) dxdy − ∫∫az (x, y, z1(x, y)) dxdy =…

Dxy

{на Σ2 cosγ > 0 , а на Σ1

cosγ < 0.

Учитывая, что dxdy =

cosγ

dσ , получаем:

на Σ2 : dxdy = cosγdσ ,

на Σ1 : dxdy = −cosγdσ } …= ∫∫az (x, y, z)cosγdσ + ∫∫az (x, y, z)cosγdσ =…

	Σ2	Σ1
Добавим интеграл по Σ3	∫∫az (x, y, z)cosγdσ	в полученную сумму, так как на
	Σ3
Σ3 cosγ всюду равен нулю, а следовательно, и ∫∫az (x, y, z)cosγdσ = 0 .
		Σ3
Тогда
…= ∫∫az (x, y, z)cosγdσ + ∫∫az (x, y, z)cosγdσ + ∫∫az (x, y, z)cosγdσ =
Σ2	Σ1	Σ3
= ∫∫ az (x, y, z) cosγdσ = ∫∫az (x, y, z)cosγ dσ .
Σ1 +Σ2 +Σ3	Σ

Часть 2.

Рассмотрим пространственную область G, которую можно разбить на n

элементарных областей Hz типа, т.е. G = n Gk . Докажем, что и в этом случае

k =1

справедлива теорема Остроградского-Гаусса.

Пусть Σ1(k) , Σ(2k) , Σ(3k) - нижняя, верхняя и боковая части поверхности Σ(k) , ограничивающей область Gk ,

Теория поля

тогда

= ∑

k =1

∫∫∫G

∂z

∫∫∫G

∂z

k =1

∂az

dxdydz = ∑

∂az

dxdydz =

= ∫∫az cosγdσ ,

∫∫az cosγdσ + ∫∫az cosγdσ + ∫∫az

cosγdσ

так как интегралы по Σ(3k) равны нулю, а по поверхности Σ1(k) и Σ(2k)

ют в сумме интеграл по поверхности Σ(k) .

Часть 3.

Аналогично для Hx и Hy областей справедливо:

∫∫∫	∂ay	dxdydz = ∫∫ay cos βdσ ; ∫∫∫		∂a	x	dxdydz = ∫∫ax cosαdσ
	∂y			∂x
G		Σ	G			Σ

Складывая почленно, получаем утверждение теоремы.

составля-

!1). Координатная форма записи теоремы Остроградского-Гаусса имеет вид:

∫∫(ax cosα + ay cos β + az cosγ )dσ = = ∫∫∫(		∂a	x +	∂ay	+	∂a	z )dxdydz ,
				∂y
Σ	G	∂x				∂z

где cosα,cos β,cosγ - координаты единичного вектора внешней нормали.

2). Используя обозначение дивергенции, формулу ОстроградскогоГаусса можно записать в виде:

∫∫(a n0 )dσ =∫∫∫diva dxdydz = ∫∫∫( a)dxdydz .

Поток векторного поля (вектора) через внешнюю сторону замкнутой поверхности Σ равен тройному интегралу от diva по пространственной области G, ограниченной поверхностью Σ .

64 Лекция 5 - 9

Применение теоремы Остроградского - Гаусса

Пример:

Вычисление объемов.

Пусть a(x, y, z) = r ; r = (x, y, z) ; div(a) = div(r ) =1+1+1 = 3 .

∫∫∫3dxdydz = ∫∫x cosαdσ + y cos βdσ + z cosγdσ ,

G			Σ
V	=	1	∫∫(xdydz + ydxdz + zdxdy) .
		3	Σ

Пример:

Вычисление потоков.

Вычислить поток поля a = x2i + y2 j + z2 k через замкнутую поверхность

Σ : x		+ y		+ z		=	R		,
	2		2		2			2
z	= 0		(z ≥		0).				Z
									Z

Решение:
Π = ∫∫(a,dσ) = ∫∫∫divadxdydz =
Π = ∫∫(a,dσ) = ∫∫∫divadxdydz =					0
	Σ	G
	Σ
∫∫∫(2x + 2 y + 2z)dxdydz =…
G						Y
{перейдём в сферическую систему коорди-						Y
{перейдём в сферическую систему коорди-			X		xy
нат}			X
нат}
…=	π 2
2π	π 2	R		πR 4
∫ dϕ ∫ sinθdθ∫r2dr(2r cosϕ sinθ + 2r sinϕ sinθ + 2r cosθ) =				2	.
0	0	0		2

Пример:

Найти поток поля a = x2i + y2 j + z2 k через внешнюю сторону полусфе-

ры: Σ: x

+ y

+ z

= R

z ≥ 0.

Решение:

Воспользуемся результатами

предыдущей

задачи. Замкнем поверхность

Σ1 поверхно-

стью Σ2 ,

которая представляет собой часть

X 2

плоскости XOY.

П = П1 + П2 =

π R4

, П1 = П − П2 , Π2 = ∫∫(a,n0 )dσ =

Σ2

=…{ a n0 = (x2 , y2 , z2 ) (0,0,−1) = −z2 }… = −∫∫z2dσ = 0,

Σ2

т.к. на Σ

z = 0 и

П = П − П

πR4

Теория поля

7.8. Инвариантное определение дивергенции

Пусть a = a(P) - векторное поле, удовлетворяющее условию теоремы

Остроградского – Гаусса. Пусть точка M - произвольная точка области G. Выберем поверхность Σ, охватывающую область G. Из теоремы Остроград-

ского – Гаусса следует, что ∫∫(a, n0 )dσ =∫∫∫diva dxdydz .

Σ G

Воспользуемся теоремой о среднем, согласно которой существует такая точ-

ка М1, принадлежащая G,	что diva \|M1 V = ∫∫(a dσ ); diva(M1 ) =			∫∫(a dσ )	,
				Σ
				V
			Σ	V
где V –объем G. Пусть Σ стягивается в точку М, тогда М1→М,				а diva(M1 )
→diva(M ) , diva(M ) = lim		∫∫(a dσ)	.
		Σ
		V
Σ→M		V

Поскольку правая часть выражения не зависит от системы координат (инвариантна), то инвариантно и данное определение дивергенции.

7.8.1. Физический смысл дивергенции

∫∫(a dσ)

Поскольку величина	Σ		имеет смысл средней плотности потока
		V

∫∫a, dσ

в пространственной области G, то lim		Σ		= diva есть плотность потока в
			V
точке М.	Σ→M

Точки поля,	в которых	дивергенция положительна, т.е.
diva(M ) > 0 Π > 0 ,	называют источниками векторного поля, а точки, в

которых дивергенция отрицательна, diva(M ) < 0 Π <0 - стоками векторного поля.

СВекторные линии векторного поля начинаются в точках поля с положительной дивергенцией, а заканчиваются в точках с отрицательной дивергенцией.

О Величину div a(M ) называют мощностью источника или стока.

66								Лекция 5 - 9
8.1. Линейный интеграл в векторном поле
Рассмотрим кусочно-гладкую кривую L и дугу						Z		Ai
AB (обозначение AB )	и	векторное	поле	Ai−1 ∆
a = (ax ,ay ,az ) , непрерывное	на	L. Разобьем	дугу	Ai−1 ∆			i−1	i
							i−1	i

					i−1
AB произвольным образом точками A0, A1, …An на								Y
n частей. Обозначим ∆ri - вектор, стягивающий кон-				X

цы дуги Ai Ai−1 . Выберем точку Pi Ai Ai−1 . Найдём

скалярное произведение (a(Pi ) ∆ri )

и просуммируем по всем участкам дуг

(a(P),∆r ) . Вычислим предел lim S

lim

(a(P ) ∆r ) .

∑

i i

n→∞

max

∆r

→0

i=1

ОЕсли этот предел существует и не зависит от способа разбиения дуги

AB на отдельные участки и от выбора точки Pi, то он называется ли-

нейным интегралом вектора a по дуге AB в направлении от А до В.

Обозначение: ∫ (a, dr ) . Координатная форма записи:

∫ (a, dr ) = ∫

AB AB

axdx + ay dy + az dz

∫ (a, dr )

=∫ ax (x, y, z)dx + ay (x, y, z)dy + az (x, y, z)dz ,

= lim ∑(a(Pi ) ∆ri ) .

max ∆ri →0 i=1

!Линейный интеграл иногда называют криволинейным интегралом второго рода.

8.2. Свойства линейного интеграла

1.Свойство линейности:

	∫ ((λa + µb), dr ) = λ ∫ (a, dr ) + µ ∫ (b,dr ) .					C Z
	∫ ((λa + µb), dr ) = λ ∫ (a, dr ) + µ ∫ (b,dr ) .
	AB		AB	AB
2.	Свойство аддитивности:					Y
	∫ (a, dr ) = ∫ (a, dr ) + ∫ (a, dr ) .					Y
						C
	AB	AC	CB			X
3.	При	изменении	направления	интегрирования		X
3.	При	изменении	направления	интегрирования
	линейный интеграл меняет знак: ∫				(a, dr ) = − ∫ (a, dr ) .
				AB	BA

Свойства 1-3 доказываются из определения.

Теория поля

!Определение криволинейного интеграла остается справедливым, если начальная и конечная точка совпадают.

О	Криволинейный интеграл по замкнутому контуру назы-
	вается циркуляцией векторного поля по замкнутому	+
	вается циркуляцией векторного поля по замкнутому
	контуру: C = ∫(a, dr ) .
	контуру: C = ∫(a, dr ) .
	L

Положительным направлением обхода считается то, при котором область, ограниченная контуром, остается слева.

8.3. Вычисление линейного интеграла

Пусть AB L и кривая L задана параметрическими уравнениями:

		x = x(t)
			= y(t) ,
		L : y	= y(t) ,
			= z(t)
		z	= z(t)
		x = x(t			)	x	= x(t )
при этом при t = t0	имеем точку		0	0		1	1
при этом при t = t0	имеем точку	A : y0		= y(t0 ) , при t = t1		B : y1	= y(t1) ,
		z	0	= z(t	)	z	= z(t	)
			0	0		1	1
тогда
∫ (a, dr ) = ∫ ax (x, y, z)dx + ay (x, y, z)dy + az (x, y, z)dz =
AB	AB

= ∫{ax (x(t), y(t), z(t)) x(t) +ay (x(t), y(t), z(t)) y(t) +az (x(t), y(t), z(t))z(t)}dt ,

где точки над переменными x, y, z означают дифференцирование по переменной t.

Пример:


		x = R cos t
Дано: a = zi + xj + yk , L: y = R sin t , A(t0 =0), B(t1 =2π ).
				t
				t

		z = 2π
Вычислить линейный интеграл по AB .
Решение:		∫ (a,dr) = ∫ zdx+xdy +ydz =
		∫ (a,dr) = ∫ zdx+xdy +ydz =
		AB			AB
2π	t					1		2
= ∫		(−R sin t)	+ R cost R cos t +				R sin t dt =πR		+ R.
= ∫	2π	(−R sin t)	+ R cost R cos t +			2π	R sin t dt =πR		+ R.
0	2π					2π

68	Лекция 5 - 9
8.4. Физический смысл линейного интеграла

Рассмотрим в качестве поля a силу F , приложенную к материальной точке Р и меняющуюся по величине и направлению при изменении местоположения точки Р. A = (F dr ) - работа по перемещению материальной точки

по участку dr , тогда ∫ (F dr ) = A - работа силы F по перемещению мате-

риальной точки по дуге АВ.

8.5. Ротор (вихрь) векторного поля

Пусть вектор-функция

a = a(P) = (ax ,ay ,az ) является непрерывно диф-

ференцируемой в каждой точке области определения.

Ротором векторного поля (вектора)

a называется вектор, обозначаемый сим-

символом rot a , равный

∂ay

∂a

rot a = i

−

x −

+ k

−

x .

∂z

∂y

∂z

∂x

∂y

Это выражение удобно записать в виде символического определителя

rota =

∂

∂x

∂y

∂z

который вычисляется разложением по первой строке (по базисным векторам i , j,k ); произведение частных производных на компоненты вектора понима-

ется как дифференцирование последних, т.е. ∂∂z ax = ∂∂azx и т.п. С использова-

нием оператора набла rot a = ×a .

!Если в некоторой точке поля rot a = 0, то поле в этой точке называется безвихревым.

Теория поля

Пример:

a = (x + z)i +( y + z) j +(x2 + z)k .

∂

rota =

∂

= i

(

(x2

+ z) −

( y + z)) −

∂x

∂y

∂z

∂y

∂z

x + z

y + z

x2 + z

−j( ∂∂x ( x2 + z ) − ∂∂z ( x + z )) + k (∂∂x ( y + z) − ∂∂y (x + z)) =

=−i − j(2x −1) +0k = { −1, 1 − 2x, 0 }.

8.5.1.Свойства ротора (вихря)

1.Линейность: rot(λa + µb) = λ rot a + µ rot b , где λ и µ - некоторые по-

стоянные. Иначе, ×(λa + µb) = λ ×a + µ ×b .

2.Пусть u =u(x, y, z) - скалярное поле, тогда rot(u a) =

=[grad u ×a]+u rot a .

В векторных обозначениях: [ ×(ua)] = [ u ×a] +u[ ×a]. Доказательство:

∂

[ ×(ua)] =

= i

(uaz ) −

(uay )

− j

(uaz ) −

(uax )

∂x

∂y

∂z

∂y

∂z

∂x

∂z

uax

uay

uaz

+ ∂ − ∂ k ∂x (uay ) ∂y (uax ) = u i

+ i	∂u a −		∂u a		−j	∂u a
	∂y	z	∂z	y			∂x	z
	∂y		∂z				∂x

∂

−

− j

−

∂y

∂z

∂x

∂z

∂x

∂y

−

∂u a

−

∂u a

= u rot(a) +[grad u ×a].

∂z

∂x

∂y

Пример:

[r ×a]

a = const, rot(

a) = [grad

×a] +

rota = [grad

×a] =

×a

70	Лекция 5 - 9

8.6. Теорема Стокса

(устанавливает связь между циркуляцией и ротором)

Циркуляция непрерывно дифференцируемого векторного поля

a = axi + ay j + az k по произвольному

кусочно-гладкому контуру L вычисля-

ется по формуле

∂a

∂ay

∫axdx + ay dy + az dz = ∫∫

∂yz −

cosα +

∂z

∂a

∂ay

∂a

x −

z cos β +

−

x cosγ dσ .

∂x

∂z

∂x

∂y

При этом выбор стороны поверхности Σ и направление обхода контура L согласованы (по правилу винта).

Доказательство:

Для доказательства сгруппируем слагаемые в пра-

Zt1

вой части с одинаковыми координатами вектора a :

∂ax

y1(x)

y2(x)

∫∫(rota dσ) = ∫∫

cos β −

cosγ dσ +

∂z

∂y

∫∫Σ

∂ay

∫∫Σ

∂a

∂x

∂z

∂y

∂x

cosγ −

cosα dσ

z cosα −

cos β dσ .

Рассмотрим первый из интегралов:

I =

(

∂ax cos β −

∂ax cosγ )dσ =

(

∂ax cos β

− ∂ax )cosγ dσ .

∫∫Σ

∂z

∂y

∫∫Σ

∂z cosγ

∂y

Пусть поверхность Σ однозначно проектируется на координатную плос-

кость Oxy , т.е. любая прямая, параллельная оси Oz ,

пересекает ее не более

чем

n0 =

одной точке;

тогда

Σ:

z = z(x, y) ,

| n |=

∂z 2

+1 ;

∂x

∂y

∂z

, −1

∂x

∂y

cos β

∂z

= −

, так как угол между ортом

n0 и осью

∂z

cosγ

∂y

∂x

∂y

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 4сем

#
23.02.201562.98 Кб341_Таблица изучения 4 сем.doc
#
23.02.20153.64 Mб45Лекции_3_сем.pdf