4сем / Лекции_3_сем

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория поля

cosϕ . Производная по направлению вектора l в

точке P(x, y, z)

равна проекции градиента на данное направление.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

3.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Теория поля

8.4.Физический смысл линейного интеграла

8.5.Ротор (вихрь) векторного поля

8.5.1.Свойства ротора (вихря)

8.6.Теорема Стокса

8.7.Инвариантное определение ротора

8.8.Физический смысл ротора

8.9.Формула Грина

9.1Потенциальное векторное поле

9.1.1.Условия потенциальности поля

9.1.2.Вычисление потенциала поля

9.2Соленоидальное поле

9.2.1.Свойства соленоидального поля

9.3Операторы Гамильтона и Лапласа

9.3.1.Оператор Гамильтона (набла)

9.3.2.Оператор Лапласа

5.1.Скалярное поле

ОЕсли с каждой точкой P(x, y, z) некоторой пространственной области G связана скалярная величина, то говорят, что в области G задано скалярное поле: u = f (x, y, z) , где f (x, y, z) - скалярная функция, назы-

ваемая функцией поля.

Примеры скалярных полей: поле температур, поле давления, поле плотности, поле концентраций, поле электрического потенциала. Рассмотрим подробнее последний пример.

Пусть речь идет о точечном заряде q. Потенциал электростатического поля заряда q, помещенного в начало координат, задается в каждой точке

пространства r(x, y, z) , за исключением начала координат, функцией поля вида:

u = q	=	q	=	q	.
		r		x2 + y2 + z2
r

Заметим, что если r = const , x2 + y2 + z2 = const - уравнение сферы. Следова-

тельно, в точках, принадлежащих сфере, потенциал электростатического поля сохраняет свое значение, или u = const .

Ограничимся рассмотрением так называемых стационарных полей, т.е. полей, не зависящих от времени.

42	Лекция 5 - 9
5.2. Поверхности и линии уровня
В дальнейшем, если не оговорено особо, предполагаем	функцию
u = f (x, y, z) однозначной и непрерывно-дифференцируемой.

Рассмотрим точки области, в которой функция u = f (x, y, z) принимает постоянные значения: f (x, y, z) = c, (c = const) . Это уравнение можно рассматривать как уравнение некоторой поверхности в пространстве.

ОГеометрические места точекP(x, y, z) , где скалярное поле принимает одно и то же значение f (x, y, z) = c , называются поверхностями уровня

или эквипотенциальными поверхностями.

!В силу однозначности функции u = f (x, y, z) поверхности уровня, соот-

ветствующие различным значениям c, не пересекаются между собой.

ОСкалярное поле называется плоским, если при подходящем выборе системы координат функция поля зависит только от двух переменных. Множество точек плоскости P(x, y) , для которых f (x, y) = c , называется линией уровня плоского скалярного поля.

Пример:

Поле температур бесконечной равномерно нагретой нити.

линии уровня – окружности

5.3. Производная по направлению

Пусть в пространственной области G задано скалярное поле:

u = u(x, y, z) = u(P) .			Рассмотрим точку P1(x, y, z) и исходящий из нее вектор
l ={lx ,ly ,lz }.		Найдем,	как изменяется поле в направлении вектора l . Сме-
стимся	из	точки	P1(x, y, z) в	направлении		вектора	l в			точку
P (x + ∆ x, y + ∆ y, z + ∆ z) . Обозначим за ∆ l											, то-
P (x + ∆ x, y + ∆ y, z + ∆ z) . Обозначим за ∆ l					длину вектора PP : ∆ l =			PP			, то-
2						1	2		1	2
гда ∆l =	∆x2 +∆ y2 +∆z2 . При этом функция поля получит приращение
	∆u =u(P2 ) −u(P1 ) =u(x + ∆x, y + ∆ y, z + ∆z) −u(x, y, z) =
	= du +ε1∆ x +ε2∆ y +ε3∆ z =			∂u ∆ x	+ ∂u ∆ y +	∂u ∆ z +θ(∆l) ,
				∂x	∂y	∂z

Теория поля

где θ(∆l) - бесконечно малая более высокого поряд-

ка по ∆l, ε1,ε2 ,ε3 → 0			при ∆x, ∆y, ∆z → 0 , а величина
∆u =V - средняя скорость изменения скалярной
∆l	cp
∆l
функции u(P) в направлении вектора l .						x
∆u	= ∂u ∆x	+ ∂u ∆y +	∂u ∆z +ε	∆x +ε	∆y +ε	∆z .
∆l	∂x ∆l	∂y ∆l	∂z ∆l	1 ∆l	2 ∆l	3 ∆l

P1 P2 l

Перейдем к пределу при ∆l →0 , что соответствует стремлению P →P :

lim

∆u =

∂u cosα + ∂u cos β +

∂u cosγ

∆l→0

∆l

∂x

∂y

∂z

где cosα , cos β ,

cosγ - направляющие косинусы вектора PP . Поскольку

l , то их направляющие косинусы равны.

Так как

l =l

i +l

j +l

k ,

то

cosα =

, cos β =

, cosγ =

z .

| l |

| l

| l |

Производной функции u в точке P(x, y, z) (обозначение ∂u ) по направ-

∆u

∂l

лению вектора l

называется предел lim

(если он существует), рав-

∆l→0

∆l

ный

∂u

= lim

∆u

= ∂u cosα

+ ∂u cos β

+ ∂u cosγ .

∂l

∆l→0

∆l

∂x

∂y

∂z

Производная

∂u

по направлению l

определяет скорость изменения ска-

∂l

лярного поля в направлении вектора l , в частности, если ∂∂ul >0, поле возрас-

тает, если ∂∂ul <0, поле убывает.

Пример:

Найти производную

∂u в точке Р (1,1,1) в направлении вектора

∂l

= i + j + k , если. u = x2 + y2 + z2

Решение:

ux′

P = 2 x

P = 2, u′y

P = 2 y

P = 2, uz′

P = 2 z

P = 2 ;

= 3 ,

cosα = 1 ; cos β =

1 ; cosγ

1 ;

∂u = 2

+ 2

> 0 ,

∂

следовательно, скалярное поле возрастает.

44	Лекция 5 - 9

5.4. Градиент скалярного поля

Пусть задано скалярное поле u=(x,y,z).

ОГрадиентом скалярного поля u в точке P(x, y, z) называется вектор,

обозначаемый символом grad u и определяемый равенством

grad u = ∂∂ux i + ∂∂uy j + ∂∂uz k ,

5.4.1. Оператор Гамильтона (набла)

Введем символический вектор “набла” или оператор Гамильтона

= i ∂∂x + j ∂∂y +k ∂∂z = ∂∂x ; ∂∂y ; ∂∂z .

!Знак используется для записи операций векторного анализа в сокращенной и удобной для расчётов форме.

Выражение вида u(x, y, z) понимается как результат действия оператора на соответствующую функцию.

Тогда

u(x, y,z) =(i ∂∂x + j ∂∂y +k ∂∂z) u(x, y,z) =∂∂uxi +∂∂uy j +∂∂uz k =u′xi +u′y j +u′z k ,

grad u = u .

5.4.2. Связь производной по направлению с градиентом

∂u

= ∂u cosα + ∂u cos β + ∂u cosγ .

∂

∂x

∂y

∂z

Пусть l0 = (cosα,cos β,cosγ ) - единичный

вектор (орт) в направлении l , тогда видно, что

∂u =( u l ) =

cosϕ =

grad u

cosϕ,

∂

где ϕ - угол между единичным вектором l0 данного направления l

и векто-

ром градиента grad u .

∂u <

Если

grad u = 0 ,

то ∂u

= 0 . Если grad u ≠ 0 , то

grad u

для всех

∂l

векторов l

, за исключением вектора l , направленного в сторону grad u .

5.4.3. Свойства градиента

Пусть задан градиент поля и производная по направлению:

∂u ∂u ∂u

∂u 2

u =

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

1.Максимальное значение производной по направлению равно модулю

градиента:

∂u

gradu

cosϕ ; ϕ → 0;cosϕ →1

max

∂u

grad u

∂l

2.Вектор u направлен в сторону возрастания поля.

3.Вектор u всегда нормален к поверхности (линии) уровня поля (эквипотенциальной поверхности).

Доказательство:

Пусть u = u(x, y, z) скалярное поле и u(x, y, z) = c - уравнение поверхности уровня. Выберем P {u(x, y, z) = c}, которую обозначим P(x, y, z) , и проведём касательную плоскость к поверхности, описываемой уравнением

F (x, y, z) = u(x, y, z) − c = 0 ;

∂∂Fx (x − x) + ∂∂Fy ( y − y) + ∂∂Fz (z − z) = 0 - уравнение касательной плоскости;

∂∂ux (x − x) + ∂∂uy ( y − y) + ∂∂uz (z − z) = 0 .

Тогда вектор нормали касательной плоскости имеет вид:

n = ∂∂ux , ∂∂uy , ∂∂uz , n = ∂∂ux i + ∂∂uy j + ∂∂uz k = u .

!Свойства 1-3 дают инвариантное (не зависящее от системы координат) определение градиента, т.е. утверждают, что независимо от системы ко-

ординат u указывает величину и направление наибольшего возраста-

ния скалярного поля в точке: grad u = mах ∂u .

∂l

Дифференциальные свойства градиента:

46	Лекция 5 - 9

Если скалярное поле есть сумма двух полей:

f(x, y, z) =u(x, y, z) +v(x, y, z) , то f = (u + v) =u +v .

(u v) = ( u)v +u( v) .

c u = c u .

f (u) = fu′ u - градиент сложной функции.

f (u,v) = fu′ u + fv′ v .

Пример:

Найти наибольшую крутизну подъёма поверхности u = x y в точке

Р (2,2,4).

Решение: grad u = màõ ∂∂ul .

u = u′x i + u′y j + u′z k = yx y−1 i + x y ln x j +0k .

u = ( yxy −1 )2 + (xy ln x)2 = (2 2)2 + (4ln 2)2 = 4 1 + ln2 2 .

Пример:

Найти нормаль к поверхности u = x2 + y2 + z2 в точке Р (1,1,1).

Решение:

По свойству 3: n u , u = 2xi +2 y j +2zk ,

u	P(1,1,1) = 2xi +2 y j +2zk	= 2i + 2 j + 2k ={2, 2, 2} n0 ={	1	,	1	,	1	}.


			3		3		3

		P(1,1,1)

Пример:

Найти градиент функции r = (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2 (модуль радиус-вектора).

Решение:

P0 -фиксированная точка, P(x,y,z) – изучаемая точка поверхности.

grad r =	∂r	i +	∂r	j +	∂r	k =	{x − x0	; y − y0	; z − z0	}	= r
grad r =		i +		j +		k =					= r
	∂x		∂y		∂z		(x − x0 )2 +	( y − y0 )2 +(z − z0 )2			0
	∂x		∂y		∂z		(x − x0 )2 +	( y − y0 )2 +(z − z0 )2

- единичный вектор, параллельный вектору P0 P .

Теория поля					47
	Пример:
	Найти градиент скалярной функции						grad(r1 r2 )
	u (P)= r1 + r2 , где r1 ,		r2	- расстоя-			grad(r1 r2 )
	u (P)= r1 + r2 , где r1 ,		r2	- расстоя-	r0
	ния от точки Р до фиксированных				2
	ния от точки Р до фиксированных					r0
	точек F1 , F2 .	Линии уровня этой			1
	точек F1 , F2 .	Линии уровня этой
	функции – эллипсы.
	Решение:
	Имеем: grad(r + r ) = r 0			+ r 0 , т.е.
1		2	1	2
	градиент равен диагонали ромба, построенного на ортах радиус-
	векторов, проведенных к точке Р из фокусов F1				и F2 . Нормаль к эллипсу

в какой-либо точке делит пополам угол между радиус-векторами, проведёнными в эту точку.

Физическая интерпретация: луч света, вышедший из одного фокуса, попадает в другой фокус.

5.5. Векторное поле

Если с каждой точкой P(x; y; z) пространствен-			Z	P(x,y,z)
		ной области G связана векторная функция
		ной области G связана векторная функция			a(P)
	О	её радиус-вектора a = a (P ) , то говорят,			a(P)
	О

		что в области G задано векторное поле.	X		Y
		Векторное поле определяется тремя	X
		скалярными характеристиками – координа-
тами		вектора a , a ={ax , ay , az } или a = ax i + ay j + az k ,		где ax = ax (x, y, z) ,

ay = ay (x, y, z) , az = az (x, y, z) - проекции векторного поля на оси координат

или компоненты вектор-функции. Будем считать, что они непрерывны и дифференцируемы по всем переменным.

5.5.1. Векторные линии

Векторное поле можно изобразить графиче-

ски, указав положение вектора a в некоторых точках.

ОВекторной линией поля a = a (P) в области

G называется кривая, в каждой точке которой

вектор a направлен по касательной к этой кривой.

Найдём уравнения векторных линий. Предположим, что векторные линии есть прямые,

Лекция 5 - 9

x −

y −

z −

тогда их уравнения:

∆x =

∆y =

∆z . Так как любую кривую можно на

бесконечно малом участке величины

dr = (dx;dy;dz) заменить отрезком касательной, а направление касательной совпадает с направле-

нием a , то уравнения векторной линии имеют вид:

dx = dy = dz . ax ay az

На самом деле речь идет о системе дифференциальных уравнений первого порядка.

dy = ay ; dz = az ; dz = az . dx ax dx ax dy ay

Общее решение этой системы: ϕ1 ( x, y, z) = C1; оп-

ϕ2 ( x, y, z) = C2 ,

ределяет двухпараметрическое семейство линий и дает совокупность всех векторных линий поля.

ОВекторной трубкой называется совокупность всех векторных линий, пересекающих часть некоторой лежащей в векторном поле поверхности Σ, ограниченной замкнутым контуром Γ.

5.5.2. Плоское векторное поле

Векторное поле называется плоским, если все векторы лежат в параллельных плоскостях. Уравнение векторных линий

dx = dy = dz . ax ay 0

В плоском поле векторные линии есть плоские кривые y =ϕ(x).

Теория поля

Пример:

Найти векторные линии поля, если поле задано вектором a = −yi + xj +bk в точке Р (1,0,0)

Решение:

−dxy = dyx = dzb .

1).

= dy

, xdx = −ydy , xdx + ydy = 0 ;

− y

= c 2 ; c

2c ; x2 + y2

= c 2

- уравнение окружности.

2).

, bdy

= xdz ,

x = c2 cos t,

y = c2 sin t,

bc2cost dt = c2cost dz , dz = bdt ,

z = bt +c1,

= c2 cos t,

= c sin t.

В точке P (1,0,0):

1 = c2 ,

c2 =1,

= 0,

= 0 + c1

= 0.

x = cost,

Уравнение винтовой линии имеет вид: y = sint, .

z = bt.

6.1. Односторонние и двусторонние поверхности

Рассмотрим гладкую и незамкнутую поверхность ∑, ограниченную ку- сочно-гладким контуром γ . Это означает, что для уравнения поверхности

существуют частные производные по всем переменным. В точке Р проведём нормаль n к поверхности. Через точку P проведем замкнутый контур Г, не имеющий общих точек с границей γ .

50	Лекция 5 - 9
При обходе контура возможны две ситуации:
а) нормаль к поверхности n при возвращении в
точку P сохранит свое направление;
б) при непрерывном движении вдоль замкнуто-
го контура Г, непрерывно меняясь по направлению,
нормаль изменит направление на противоположное
при возвращении в исходную точку.
В случае «а» поверхность называется двусто-
ронней, в случае «б» – односторонней. Совокуп-
ность точек поверхности с определенным направле-
нием нормали n называется стороной поверхности.

!Классическим примером односторонней поверхности является лист Мебиуса.

6.2. Площадь поверхности

Пусть Σ - незамкнутая гладкая поверхность. Разобьем ее на участки ∆Σi , (i =1,..., n), с помощью сети кривых. Выберем в каждом участке ∆Σi

точку Pi . Проведем в точке Pi касательную плоскость к поверхности Σ и спроектируем ∆Σi на касательную плоскость. На проекции получим плоскую фигуру с площадью ∆Si′.

О	Площадью	поверхности S	называется предел	суммы	площадей	∆Si′
	( i =1,...,n),	при условии,	что диаметры всех	частей	разбиения	∆Σi

стремятся к нулю: S = lim ∑∆Si′.

∆Σi →0 i=1

!Поверхность, имеющая площадь, называется квадрируемой.

Пусть поверхность задается явным уравнением z = z (x, y), где z (x, y) -

непрерывно дифференцируемая функция, и однозначно проектируется в плоскую область Dxy на координатной плоскости Oxy . Нормаль n к

поверхности Σ, как вектор, ортогональный к касательной плоскости, имеет компоненты: n = ∂∂xz , ∂∂yz , −1 , и направляющие косинусы нормали n равны:

cos(n,i )= cosα = ±		∂z
		∂x					,
		∂z	2		∂z	2

	1+			+

		∂x			∂y

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 4сем

#
23.02.201562.98 Кб341_Таблица изучения 4 сем.doc
#
23.02.20153.64 Mб45Лекции_3_сем.pdf