′4. Существуют непрерывные по совокупности переменных и ограниченные

вобласти ( , , ) Π × R частные производные

∂ 0( , , )

≤ 2, ∂

∂ 0( , , )

≤ 2, ∂

∂ 0( , , )

≤ 2,

∂ 0( , , )

≤ 2,

∂

1, , 1, .

Из предположения ′4 вытекает условие глобальной липшицевости и условие подлинейного роста правой части системы (5.13) по переменным и . Та­ ким образом, выполняются условия теоремы о существовании и единственности решений характеристической системы (5.13) с краевыми условиями (5.14) (см., например, работу [9, с.124]), а также условия продолжимости решений на отрезок времени [0, ] (см., например,[23, с.215]).

Замечание 2. Утверждение 1 из работы [14] остается справедливым и при этих предположениях.

5.1.10 Свойства гладкости функции цены

Рассмотрим расширение множества допустимых управлений ( 0, ) – мно­ жество ( 0, ) обобщенных программных управлений, в качестве которых рас­ сматриваются измеримые функции (·| ): [ 0, ] → rpm( ) со значениями во множестве регулярных вероятностных борелевских мер на с топологией, инду­ цированной слабой-* топологией пространства *( ) [24]. Символ *( ) означает пространство, сопряженное к пространству непрерывных функций, определенных на компакте .

19

Обозначим символом множество обобщенных управлений

(·): [0, 1] → rpm( ),

определенных на стандартном отрезке [0, 1]. Будем называть элементы множества

– нормализованными обобщенными управлениями. Известно [24], что на мно­ жествах ( 0, ), 0 [0, ] можно определить слабую метрическую топологию так, что пространства ( 0, ) будут сепарабельными и компактными. Следова­ тельно, множество также является метрическим компактом.

Теорема 6. Пусть в задаче (5.1)–(5.4) выполнены условия ′1– ′2. Функция цены

( , ) может быть представлена в виде

( , ) = min ( , , ),

где параметр принимает значения из метрического компакта , функция

( , , ) непрерывна на множестве cl Π × , существуют частные производ­

ные ∂ ( , , ), 1, , непрерывные на множестве cl Π × .

∂

Основой численного метода служит представление функции цены задачи (5.1)–(5.4 на базе классических характеристик задачи Коши (5.6), (5.7). По сравнению с ра­ ботой [1] репрезентативная формулы для функции цены доказана при более сла­ бых предположениях. Доказательство утверждения основывается на необходимых условий оптимальности — принципе максимума Понтрягина [5] в гамильтоновой форме.

Теорема 7 (Репрезентативная формула функции цены). Пусть в задаче (5.1)–(5.4)

выполнены условия ′1– ′4. Функция цены ( , ) (5.4) задачи имеет следующее представление

( , )

где ̂(·, ), ̂(·, ) — характеристики (5.8), (5.9) уравнения Беллмана.

20

Для произвольного компактного связного множества 0 cl Π введем в

рассмотрение множество ( 0) cl Π такое, что 0 , и

Вследствие условий ′1, ′4 пучок траекторий системы (5.13) будет компакт­ ным связным множеством [25]. Следовательно, множество ( 0) будем связным компактом.

Определим компактное множество ( 0) R :

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 8. При выполнении условий ′1 – ′4 функция цены ( , ) задачи (5.1)–(5.4)

непрерывна по совокупности переменных, и для любой компактной области 0 cl Π и любого > 0 существуют такие константы3( 0) > 0, 1( 0) > 0, 2( 0) > 0, что имеет место оценка

| ( ′, ′) − ( ′′, ′′)| ≤ 3( 0)‖ ′ − ′′‖ + 1( 0)| ′′ − ′| + 2( 0) (| ′′ − ′|)

21

для любых ( ′, ′), ( ′′, ′′) ( 0) Π .

5.1.11 Супердифференциал функции цены

Введем моменты времени *, , такие, что 0 ≤ * ≤ ≤ . Пусть 0[ , *](·| ): [ , ] rpm( ) — сужение функции 0(·| ): [ *, ] → rpm( ).

Введем символ 0( , ) = { : ( , ) = ( , , )}. Зафиксируем 0 =

0( | ) 0( , ). Рассмотрим траекторию 0(·): [ , ] → R системы (5.1), стар­ тующую из точки ( , ) и порождаемую обобщенным программным управлением

0(·): [ , ] → rpm( ), 0( ) = 0( ), = ( ; ) = + ( − ), [0, 1], [ , ]

и сужение обобщенного управления 0(·): [ , ] → rpm( ) на отрезок [ + , ],

> 0, < − :

0[ + , ]( ) = 0[ + , ]( ),

( )

= ( + ) + − ( + ) , [0, 1].

Согласно принципу оптимальности [1, 5], справедливо следующее

Теорема 9. Для нормализованного управления 0[ + , ]( ): [0, 1] → rpm( )

справедливо включение

Аналогично результатам работы [1, лемма II.7, теорема II.8], в силу принципа максимума Понтрягина и принципа оптимальности, имеем следующее

Теорема 10. Справедливо следующее соотношение

0( + ) = ( + , 0( + ), 0[ + , ]).

22