- •1 РЕФЕРАТ
- •2 НОРМАТИВНЫЕ ССЫЛКИ
- •3 ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
- •4 ВВЕДЕНИЕ
- •5 ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
- •5.1 Постановка задачи
- •5.1.1 Задача оптимального управления
- •5.1.2 Предположения
- •5.1.3 Уравнение Беллмана
- •5.1.4 Классические характеристики уравнения Беллмана
- •5.1.5 Обобщенное решение уравнения Беллмана
- •5.1.6 Репрезентативная формула функции цены
- •5.1.7 Необходимые и достаточные условия оптимальности
- •5.1.8 Оптимальный синтез
- •5.1.9 Ослабленные предположения
- •5.1.10 Свойства гладкости функции цены
- •5.1.11 Супердифференциал функции цены
- •5.2 Анализ поставленной задачи
- •5.2.1 Алгоритм построения аппроксимации функции цены
- •5.2.2 Оценка численной аппроксимации функции цены
- •5.2.3 Алгоритм построения сеточного оптимального синтеза
- •5.3 Результаты работы
- •5.3.1 Основные функции
- •5.3.2 Примеры численного построения функции цены
- •6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
3 ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
В работе приняты следующие обозначения:
co |
выпуклая оболочка множества , |
cl |
замыкание множества , |
gr (·) |
график функции (·), |
dom (·) |
эффективное множество функции (·), |
∂+ (·) |
супердифференциал функции (·), |
diam Γ |
диаметр разбиения Γ, |
|
шаг разбиения по времени, |
|
шаг разбиение по фазовой переменной, |
|
параметр аппроксимации, |
( (·), |
(·), |
(·)) точно вычисленная (идеальная) характеристика , |
|
|
|
|
численная аппроксимация характеристики, |
(̂(·), |
̂(·), |
̂(·)) |
|
( 0̃(·), |
̃0(·), |
̃0(·)) |
оптимальная идеальная характеристика. |
7
4 ВВЕДЕНИЕ
Истоки теории оптимального управления восходят к работам Л.С. Понтряги на [5], R. Bellman [6], Н.Н. Красовского [7], R. Isaacs, W.H. Fleming, A. Fridman.
Ключевым понятием в теории оптимального позиционного управления явля ется функция цены, которая начальному состоянию управляемой системы ставит в соответствие оптимальный гарантированный результат. Эта функция лежит в основе конструкции оптимального синтеза — оптимального управления по прин ципу обратной связи.
Настоящая работа лежит в рамках концепции оптимального позиционного управления, предложенной и развитой в работах Н.Н. Красовского [8].
Как правило, функция цены в рассматриваемых задачах оптимального управ ления является негладкой. Хорошо известно, что в точках дифференцируемости она удовлетворяет уравнению в частных производных первого порядка (уравне нию Гамильтона–Якоби–Беллмана), связанному с изучаемой задачей управления.
Вслучае, когда существует классическое (гладкое) решение задачи Коши для уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана, оно может быть построено с помощью классического метода характеристик Коши (см., например, [9, 10]). Этот метод сводит интегрирование уравнения в частных производных первого порядка к ин тегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которой называются характеристиками. Как доказано в работах F.H. Clarke [11], N. Barron [12], S. Mirica [13], Н.Н. Субботиной [1], использование классических характеристик уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана обеспечивает исследова теля необходимыми и достаточными условиями оптимальности в классе программ ных управлений.
Всовременной теории обобщенных решений уравнений Гамильтона–Якоби доказано, что функция цены для задачи управления совпадает с единственным минимаксным/вязкостным [14, 15] решением соответствующей краевой задачи Ко
8
ши для уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана.
Целью данной работы является реализация численного метода, основанного на методе характеристик, который является обобщением классического метода Коши для уравнения Гамильтона–Якоби.
Для разработки численных методов построения обобщенных решений крае вых задач для уравнений Гамильтона-Якоби был использован предложенный ра нее Н.Н. Субботиной подход, использующий попятные процедуры динамического программирования и локальную структуру решений в терминах классических ха рактеристик.
При реализации численного метода были использованы библиотека числен ных вычислений gsl [2] и библиотека алгоритмов вычислительной геометрии CGAL [3]. Для увеличения эффективности счета программы была изучена биб лиотека параллельных вычислений OpenMP [4] и произведено распараллеливание алгоритмов. Разработанные алгоритмы были реализованы в виде программы на языке С++ в среде VisualStudio2010.
Для визуализации численных данных использовался математический пакет Matlab.
При программной реализации численных методов использованы методы вы числительной геометрии (триангуляция Делоне, диаграммы Вороного) [16].
9