Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

ФГАО ВПО «Уральский Федеральный Университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Уральский Энергетический институт Кафедра прикладной математики

ДОП УСТ ИТ Ь К З АЩИ Т Е Зав . ка федр о й , д . ф . -м . н . , пр о ф .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ А. Н . С е с е к и н «_ _ _ _ » _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 0 1 2 г.

РАЗРАБОТКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ФИКСИРОВАННЫМ МОМЕНТОМ ОКОНЧАНИЯ

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Пояснительная записка Специальность 230401

Екатеринбург 2012

1 РЕФЕРАТ

Объем работы – 109 стр, количество иллюстраций – 38 шт, количество таблиц

– 14 шт, количество приложений – 1, использованные источники – 25. Ключевые слова: задача оптимального управления, метод характеристик,

функция цены, оптимальный синтез, попятная процедура, алгоритм, программа. Рассматривается задача оптимального управления с фиксированным момен­ том окончания. Известно, что решение задачи может быть получено с помощью метода обобщенных характеристик [1]. Требуется разработать алгоритм и напи­ сать программу, позволяющую конструировать функцию цены и сеточный опти­

мальный синтез для задач оптимального управления.

В рамках решения поставленной задачи были изучены теоретические осно­ вы метода построения решения задач оптимального управления, разработаны ал­ горитмы основных процедур численного метода. При этом были использованы библиотека численных вычислений gsl [2] и библиотека алгоритмов вычислитель­ ной геометрии CGAL [3]. Для увеличения эффективности счета программы была изучена библиотека параллельных вычислений OpenMP [4] и произведено распа­ раллеливание алгоритмов. Разработанные алгоритмы были реализованы в виде программы на языке С++ в среде VisualStudio2010.

Разработанная программа способна решать класс задач оптимального управ­ ления с фиксированным моментом окончания, а также задачи Коши для уравне­ ния Гамильтона-Якоби-Беллмана. Программа реализована для случаев фазового пространства 1, 2, 3. Реализовано распараллеливание операторов попятного интегрирования и поиска пересечений характеристик. Получены численные реше­ ния ряда модельных задач. Для задач построены оптимальные процессы, функ­ ция цены и сеточный оптимальный синтез. Возможными направлениями развития работы являются повышение размерности решаемых задач, вопросы оптимально­ го подбора параметров, а также оптимизация программы по времени счета.

3

Содержание

5.1Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.1.1Задача оптимального управления . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.1.2Предположения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.1.3Уравнение Беллмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.1.4 Классические характеристики уравнения Беллмана . . . . 12

5.1.5Обобщенное решение уравнения Беллмана . . . . . . . . . . 13

5.1.6Репрезентативная формула функции цены . . . . . . . . . . 14

5.1.7Необходимые и достаточные условия оптимальности . . . . 14

5.1.8Оптимальный синтез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.1.9Ослабленные предположения . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.1.10Свойства гладкости функции цены . . . . . . . . . . . . . . 19

5.1.11 Супердифференциал функции цены . . . . . . . . . . . . . 22

5.2Анализ поставленной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2.1Алгоритм построения аппроксимации функции цены . . . . 23

5.2.2Оценка численной аппроксимации функции цены . . . . . . 26

5.2.3Алгоритм построения сеточного оптимального синтеза . . . 28

4

5.3.2 Примеры численного построения функции цены . . . . . . 32

5.4Экономическое обоснование работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5

2 НОРМАТИВНЫЕ ССЫЛКИ

6