Формулы МС

ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Предмет регрессионного анализа – математическое описание зависимостей между изучаемыми случайными величинами после обнаружения стохастических связей между ними.

Уравнение регрессии Y на X :

M (Y x) = f (x),

условное математическое ожидание M (Y x ) является функцией x . Функция f (x) называется функцией регрессии Y на X , а ее график – линией регрессии.

Выборочный аналог этого уравнения, yx = f * (x), называется выборочным уравнением регрессии Y на X , функция f * (x) – выборочной функцией

регрессии Y на X , ее график – выборочной линией регрессии Y на X .

Аналогично определяются выборочные характеристики и для регрессии

X на Y .

выборочной линией регрессии Y на X . Аналогично можно построить выборочную линию регрессии X на Y .

215

Линейная регрессия

Линейная регрессия заслуживает внимания по нескольким причинам:

1.Для двумерной случайной величины (Х,Y), распределенной по нормальному закону, регрессии составляющих линейны.

2.Нелинейную регрессию при определенных условиях можно аппроксимировать кусочно - линейной.

Нелинейную зависимость путем замены переменной можно свести к линейной.

При рассмотрении систем случайных величин были получены уравнения прямых среднеквадратической линейной регрессии:

y = my + r s y (x - mx ) sx

– прямая среднеквадратической регрессии Y на X ,

x = mx + r sx (y - my ) s y

– прямая среднеквадратической регрессии X на Y .

Здесь mx , my – средние значения, s x , s y – среднеквадратические откло-

нения, r – коэффициент корреляции. Поскольку мы имеем только данные выборки, эти величины должны быть вычислены по выборке:

y = Y B + rXY* sY (x - X B )

sX

– прямая выборочной среднеквадратической линейной регрессии Y на X ,

x = X B + rXY* sX (y -Y B )

sY

– прямая выборочной среднеквадратической линейной регрессии X на Y .

Если распределения случайных величин X и (или) Y заданы интервальным вариационным рядом, то удобно перейти к вспомогательным переменным, значения которых совпадают с серединами интервалов.

216