VvedMatAnaliz
.pdfФедеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Сборник примеров и задач по курсу «Математика»
для студентов всех специальностей дневной формы обучения факультета экономики и управления
Рекомендовано методическим советом ГОУ ВПО УГТУ–УПИ
Екатеринбург
2006
УДК 517 Составители Г.Ф. Пестерева, О.Я. Шевалдина
Научный редактор доц., канд. физ.-мат. наук А.С. Кощеев
Введение в математический анализ : сборник примеров и задач по курсу «Математика» / Г.Ф.Пестерева, О.Я. Шевалдина. Екатеринбург : ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, 2006. 35 с.
В сборнике примеров и задач содержится 30 вариантов упражнений по разделу «Введение в математический анализ» курса «Математика». Каждый ва- риант включает 7 задач, в том числе одну задачу с экономическим содержани- ем. Набор предлагаемых задач предназначается для аудиторной и самостоя- тельной работы студентов, а также может быть использован при проведении контрольных работ, собеседований и экзаменов.
Сборник примеров и задач рекомендован для студентов всех специально- стей факультета экономики и управления.
Библиогр.: 11 назв.
Подготовлено кафедрой «Анализ систем
ипринятия решений».
©ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ», 2006
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Составители Пестерева Галина Фирсовна
Шевалдина Ольга Яковлевна
Редактор И.В. Меркурьева
Компьютерный набор О.Я. Шевалдиной, Н.Д. Бредихиной
ИД № 06263 от 12.11.2001
Подписано в печать 17.03.06 |
|
Формат 60х84 1/16 |
|
Бумага типографская |
Плоская печать |
Усл. печ. л. 2,03 |
|
Уч.-изд. л. 1,9 |
Тираж 50 |
Заказ |
Цена "С" |
Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19
Ризография НИЧ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19
Условия задач
Задача 1. Дана числовая последовательность xn :
1)найти 2-й, 100-й, (n + 1)-й члены последовательности xn ;
2)проверить, является ли последовательность xn монотонной;
3)пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
lim |
x |
n |
= A , определив для ε > 0 натуральное число N = N (ε) |
такое, что для |
||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< ε . |
|||||
любого натурального n > N справедливо неравенство |
xn − A |
|||||||||||
Задача 2. С помощью «ε − δ» рассуждений доказать, что |
lim f (x) = A. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→xο |
||
Заполнить таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
0,1 |
0,01 |
0,001 |
0,0001 |
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. |
Найти пределы функций. |
Задача 4. |
При каком значении m функция y = f (x) будет непрерывной |
в точке xo ? Построить график этой функции. |
|
Задача 5. |
Найти точки разрыва функции, установить их характер. В |
точке xo устранимого разрыва определить функцию f так, чтобы ее продолже-
ние на множество D f U{xo} было непрерывным в точке xo .
Задача 6. Исследовать на непрерывность и построить схематично гра- фики функций.
Варианты заданий
Вариант 1
1. x |
n |
= 2n2 + 1, A = 2 , e =10−3 . |
||||||||||||||||||||||
|
3n2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
lim |
x - 6 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
3 +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
lim |
|
|
|
x3-1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
- x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→1 sin (1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
д) |
lim x2 ctg2 3x ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
æ sin x ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ж) |
lim |
a−x |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→a è sin a ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
и) |
lim |
|
ln x +1 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x→1 |
7 |
|
ln x |
+1 -1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ì log |
4 x, |
|
0 < x £1, |
x |
|
=1. |
||||||||||||||||
4. y = í |
+ x3, |
|
|
|
|
x >1, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
îm |
|
|
|
|
|
|
o |
|
||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
2x + 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ì |
- |
, |
x > -2, |
||||||||||||||||||
|
|
|
ï |
|
x + |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
í2 - 4 - x2 , - 2 £ x £1, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
x - 3 |
|
, |
|
x >1; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim |
|
2x2 - 8x + 6 |
= 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5-3 |
|
|
||||||||||
|
б) |
|
lim |
|
|
|
|
5x + 2 |
|
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x→+∞ 3 3x3+1 + 4 x3 |
|
- 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
г) |
|
lim |
|
(x - |
|
|
|
|
|
|
|
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x(x -1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
x2 |
- x |
|
|
|
ö3x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
е) |
lim |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→∞ |
|
ç |
|
- x + |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
è x |
|
|
1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
з) |
lim |
e2x2 + e−3x2 - 2 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos 4x -1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
к) |
lim |
|
sin 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x→0 |
|
sin8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
y = |
|
1 + 2x arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x4 -1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
б) |
|
y = |
|
x3 + 2x2 + 3x |
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
в) |
|
|
y = 4 |
9−x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
7. Спрос и предложение на некоторый товар на рынке описываются линей- ными зависимостями вида: q =15 − 3p , s =1 + 4 p . Определите равновес-
ную цену. Установите графическим способом, является ли модель паутин- ного рынка «скручивающейся».
Вариант 2
1. |
x |
|
= |
|
n2 |
|
|
|
, A = 1 , e =10−3. |
|||||||||||||
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2n |
+ 3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а) |
|
lim |
|
10 - x |
; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
- 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
в) |
|
lim |
|
|
|
|
16 - x4 |
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x→2 sin (x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
д) |
|
lim x3 ctg |
x3 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ж) |
|
ln cos 2x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
(1- p x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
||||||||
|
и) |
|
lim |
4 |
1 + ln2 x |
; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x→1 3 ln |
2 x + 1 -1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ì2x - m2 , |
x £1, |
|
|
|||||||||||||||
4. |
y = í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xo |
=1. |
||||
+ |
|
|
x, |
|
|
x > |
1, |
|
||||||||||||||
|
|
|
î 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim |
6x2 - 5x +1 |
= -1. |
|
x -1 3 |
||||
|
x→1 3 |
|
б) lim |
2 |
x |
+ 3 3 |
x |
- |
5 |
x |
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→+∞ |
|
|
3x - 3 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
г) |
|
lim |
|
x |
|
9x |
2 |
+ |
|
|
|
|||
|
|
ç |
|
|
1 - 3x÷ ; |
|||||||||
|
x→+∞ |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|||
|
|
|
æ x2 |
+ x - 5 |
1−x 2 |
|
||||||||
|
|
|
ö |
|
|
|
||||||||
е) |
|
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
; |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ç |
|
+ x + 3 |
÷ |
|
|
|
|||||
|
x→∞è x |
|
ø |
|
|
|
||||||||
з) |
lim |
72x |
+ 53x - 2 |
; |
|
|||||||||
2x - arctg 3x |
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|||||||||||
к) |
lim |
tg 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→π tg 4x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. y = |
|
arcsin (x 2) |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x3 - 4x2 + 3x |
|
|
|
|
|
ì |
|
x |
|
, |
x £ 0, |
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x + 4 |
|
|||||||||
а) y = |
ï |
|
|
|
|
|
|
0 < x £ 2, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ílog2 x, |
|
||||||||||
|
ï2x - 3, |
x > 2; |
|
||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = |
x3 - 3x2 + 2x |
; |
в) y = 2tgx . |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x - 2 |
|
|
|
7.Найти время удвоения вклада в банке, если ставка банковского процента составляет 7 % годовых.
Вариант 3
1. xn =1 + (0,1)n , A =1, e =10−4 .
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→−1 6x2 |
+ 3 + 3x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|||||
в) |
lim |
|
|
|
|
16x |
2 |
+ 3 |
- 4x |
|
|
|||||||||||||||
|
xç |
|
|
|
÷ ; |
|
||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|||||||
д) |
lim |
|
ln x -1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→e |
|
|
x - e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ж) lim |
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→1 |
7 |
|
x -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и) |
lim |
|
(sin 2x)tg2 2x ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ì |
4 |
x+1 |
, |
|
|
|
x £ -1, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. y = í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
o |
= -1. |
|
|
ïm - |
3 x, |
x > -1, |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
x (x + 3) |
|
, x £ 0, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
ï1- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а) |
y = |
|
|
|
|
4 - x2 |
, |
|
0 < x £ 2, |
|||||||||||||||||
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 - 2x, x > 2; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
y = |
|
log |
2 |
xx−3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim |
|
2x2 + 3x - 2 |
= 5. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x - |
1 2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
x→1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + 3 |
- 5 |
|
|
|
||||||||
|
б) |
|
lim |
|
|
|
|
x |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x + 7 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
æ x2 |
- x + 3 |
ö |
3x2 |
−1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
г) |
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x→∞ |
ç |
|
|
|
- x - 8 |
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
è x |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
е) |
lim |
|
ln cos m x |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
arctg (x2 2) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
з) |
lim |
earcsin 5x - earcsin 2x |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
3ctg (7p 2 - x) |
||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
к) |
lim ctg x ln cos 2x . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y = |
2 - |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
16 - x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) y = |
|
1− x |
. |
|
+ e 1 x |
||
1 |
|
7.Даны зависимости спроса q =100 −10 p и предложения s =100 +10 p от це-
ны p . Найдите равновесную цену, выручку при равновесной цене. По-
стройте график функции выручки и укажите на нем цену p , при которой выручка максимальна; найдите и саму эту максимальную выручку.
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
1. |
xn |
= |
3n -1 |
, A = |
3 |
, |
e = 0,4. |
2. lim |
10x2 |
+ 9x - 7 |
= -19 . |
|
5n +1 |
5 |
x |
+ 7 5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x→−7 5 |
|
|||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) lim |
|
x - 3 |
|
; |
|
- 3x - 9 |
|||
x→3 2x2 |
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
в) |
|
9x - |
|
81x |
2 |
+1 |
|||||||||||
lim ç |
|
|
÷ ; |
||||||||||||||
|
x→+∞è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
||
д) |
lim |
1 - cos12x |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
x sin 3x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ж) |
lim |
|
|
ln cos 5x |
|
; |
|
|
|||||||||
|
arcsin2 |
|
2,5 x |
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
и) |
lim |
|
e ax- e bx |
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
arctg x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. y = í3 - 5 - x , |
|
- 5 £ x £ 2, xo = 2 . |
|||||||||||||||
|
ï |
|
|
3 |
x - 2, |
|
|
|
x |
> 2, |
|||||||
|
îm + |
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
x |
|
, |
|
|
|
x £ 0, |
|||
|
|
ï |
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
y = |
í |
|
|
|
log2 x, |
|
|
|
0 < x £ 4, |
|||||||
|
|
ï |
|
|
2 |
+14x - 36, |
x > 4; |
||||||||||
|
|
ï- x |
|
||||||||||||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
lim |
|
4x - |
3 x5 + 2 - 3 |
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→+∞ |
|
|
+ 6x 3 x2 |
-1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||
г) |
|
lim |
x2 |
(ln (2 + x2 )- 2ln x); |
||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- cos4x |
; |
|||||||||||||
е) |
lim |
|
1 + xsin 3x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
ö1 (a−x) |
|
|
|
|
|
|
||||||
з) |
lim |
ç cos x |
÷ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→a |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è cos a |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 æ |
|
|
|
|
|
1 ö |
||||||||
к) |
lim (x - 5) |
ç1 |
- cos |
|
|
|
|
÷. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
x - 5 ø |
||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. y = |
|
x -1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x3 + 2x2 - 8x |
|
|
|
|
|
|
б) y = |
2x2 |
2 |
- x |
; |
в) y = 9 |
x |
|
|
4−2x |
. |
|||||
|
x |
- 2x |
|
|
|
|
7.Затраты на производство продукции y (тыс. руб.) выражаются уравнением y = 200 + 5x, где x – количество месяцев. Доход от реализации продукции
выражается уравнением y =185 + 8x . Начиная с какого месяца выпуск
продукции будет рентабельным?
1. |
xn |
= 2n + 3, A = |
2 , e = 0,005. |
||||||
|
|
3n |
3 |
|
|
||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
; |
|
а) |
lim |
|
x + 2 |
3x - 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x→2 |
x2 - x - 2 |
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|||
в) |
lim |
4x |
2 |
|
+ 3 |
||||||||||
xç |
|
|
|
- 2x÷ ; |
|||||||||||
|
x→+∞ è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
||||
д) |
lim sin |
(1- x) |
; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→1 |
|
|
x -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ж) |
lim |
tg ax - sin ax |
; |
||||||||||||
|
x→0 |
|
arcsin3 bx |
|
|
||||||||||
|
|
5 |
|
-1 |
|
|
|||||||||
и) |
lim |
1 + x2 |
; |
|
|||||||||||
arctg6 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
x |
|
|
Вариант 5
2. lim 3x2 - 5x - 2 = 7.
x→2 x - 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
4x2 |
- 5 2x6 -1 + 2 |
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→+∞ |
|
|
x |
+ 3 x4 - 7 |
|
|||||||||
|
|
æ |
2x3 |
- 3 |
ö |
4x3 |
−5 |
|
|||||||
г) |
lim |
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
ç |
|
3 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ç |
2x |
+ 3 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→∞è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
е) |
lim |
|
|
|
|
|
æ p |
|
ö |
|
|
||||
tg 2x tg ç |
|
- x÷; |
|
||||||||||||
|
x→π |
4 |
|
|
|
|
è 4 |
|
ø |
|
|
||||
з) |
lim |
e8x2 |
- e4x2 |
; |
|
|
|
||||||||
ln (1 |
+ 4x2 ) |
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
к) |
lim (ctg ( x 4))sec (x 2). |
|
|||||||||||||
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
3 |
x−4 |
, |
|
|
x £ 5, |
|
|||||
4. |
y = í |
|
|
|
|
|
|
|
xo = 5. |
||||
|
îx2 + m x + 8, x > 5, |
|
|||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìlog |
3 |
|
x |
|
, |
x £1, |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
а) |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = í- 4x - x2 - 3, 1< x £ 3, |
|||||||||||||
|
|
ï3 - x, |
|
x > 3; |
|||||||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x |
2 + 3x |
|
|
|||
5. y = |
|
|
|
|
|
. |
|
x |
2 |
- x -12 |
|||||
|
|
б) y = x2 - 4x ; x - 2x2
в) y =1- e1(2−x).
7.Спрос и предложение на некоторый товар на рынке описываются линей- ными зависимостями вида: q = 23 − 3p , s = 5 + 6 p . При каких значениях p
появляется дефицит товара и при каких значениях цены появляются из- лишки товара? Что можно в каждом из этих случаев сказать об изменении рыночных цен?
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
1. |
x |
|
= 3n2 -1, A = |
3 |
, e =10−3 . |
2. lim |
4x2 -14x + 6 |
=10. |
|
|
n |
4n2 + 1 |
4 |
|
x→3 |
x - 3 |
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
а)
в)
д)
ж)
и)
4. y
6.
|
|
|
2x2 - 9x +10 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
- 3(x +1) |
; |
|||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
; |
|
|
б) |
lim |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→2 2x2 -10x +12 |
|
|
|
x→+∞ 4 x3 + 7x -19 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
æ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
æ x4 |
- x3 + x |
ö4x+3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
lim |
ç |
|
x |
|
- |
|
x |
|
|
+ x |
÷; |
|
г) |
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
; |
|||||||||
x→∞è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
ç |
|
|
|
|
|
x |
4 |
+1 |
|
|
÷ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|||||||||||||
|
|
5x7 - 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
-1 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
; |
|
|
|
|
е) |
lim |
1 + 8x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→0 sin 4x tg 3x |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
3 1- 2x -1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
lim |
(ctg x)1 (x−π 4); |
|
з) |
lim |
|
ln (1+ sin2 4x) |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(e2 arctg x - ex )2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→π |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
sin 7p x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1- |
|
|
|
|
|
)cos 2x . |
||||||||||||||||||||||
lim |
; |
|
|
|
|
|
|
|
к) |
lim |
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||
x→2 |
|
sin 8p x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|||||||||||||||
ì |
|
log |
3 |
|
x |
|
, |
|
|
|
x £ 3, |
x = 3 . |
5. y = 1 |
- |
cos 4x . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 3, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
îx2 - mx +16, |
|
|
o |
|
4x2 - x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
x £ -3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- x - 3, |
|
|
|
|
49 - |
14x + x |
2 |
|
||||||
ï |
|
x |
|
|
|
|
б) y = |
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
7 x |
|
|
|||||
а) y = í |
|
, |
|
- 3 < x £ |
2, |
|
|
|
log |
- 7 |
|
|
||
1 - x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ï |
|
|
x > 2; |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|||
ï |
- 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
î |
|
|
|
|
|
|
в) |
y = 51 (2−4x). |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Товарооборот фирмы ежемесячно увеличивается на 2 %. Через сколько ме- сяцев ее товарооборот, сохраняя темпы роста, увеличится в 2,7 раза по сравнению с первоначальным (считать e ≈ 2,7 ). Ответ округлить до целых.