Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретическая механика, решение задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Министименирство образованияПрезидентанауки Российской Федерации А. В. УрсуловУральскийпервого , Ифедеральный. Г. БостремРоссииуниверситет, АБ.. НА..ЕльцинаКазаков

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Решение задач

пособиеУчебное

ИздательствоЕкатеринбургУральского2012 университета

О6

ДК

УББК

Рекомендовано к из анию.

методическим советом: .

УрсуловУрсуловУральского. .,

университета. . –

фе ерального. .,

. .

Рецензенты

ВА

задачРешение

пособиеучеб

ре

механика ретическая Те

, 2012. – 000 .

та ун Урал во Изд

ISBN 978-5-7996-0000-0

Аннотация

задач

студентнатанорассчпособие

физичекурсавторого

Предложено

более

задач

по

разделам основным

курса

изучении

х изучающ факультета ского

пособ Цель ханику

или шениями теоретическую ответами снабжена задач Часть

х по орети

–

мочь

каждому

основ

ля механики ретической ек

п ия студентам положе ские

лу зд

бретении Учебное при

в авыко

решения

. П ив дятся

т основные

мендуемые

шен

130

шению

УДК

ISBN 978-5-7996-0636-7

ФГАОУ

тетуниверсфедеральныйУральский

. .

», 2012

наЕльцНБРоссииПрезидентапервогоимени

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебн

нассчитано

фикурсавторого

Цель

студентам помочь

теоретиче основ изучении студентов

ской

пособ

ки пособиеприобретении

При задач шения теоретическую навыков

а,

изучающих

зическог

факультет

механику

–

аналитической

механ рек

овные

раздекаждомупо

лу

задач шения для теоретические дуемые

более Предложено

решению их положения указаниями или иями реше ми водятся

130

курса разделам вным

дач

отве снабжена задач Часть

рассматр

ваютсясостоит

главах шести первых В

Пособие

глав пятнадцати из

задачи

при без решены быть могут которые

подьмойвлеченияс

механики

Эти

слеохватывают

задачам посвящены

материаль динамика задачи кинематика механики разделы дующие

точки,

ной

одномерное

вижение

движение

по центральном

рассеяние упругое

со систем

связями

Главы

двенадцатую,

механики

Здесь

аналитической Лагранжа методы

мнооднойГамильтона

Га

линейныеЯкобильтона

систем

переменныхзделениярассмотреныметод

Га

пре канонические

ги

свободы степенями

Пуассона скобки

телаколебаниятвердогоабсолютнокемеобразования

неинерцидвижениюуравнении

мильтона

-Якоби.

Тринадцатая

посвяще главы четырнадцатая

альны

системах х

отсчета

Всоответственно

пятна

задачамотданомуществопре

последнейсвязанным

со

задачирассмотрены

глатойдц

средсплошныхмеханики

ния хран

такзаконамиаудиторныхдлякакпредназначенопособиебноеУч

для

волновым

движениям

студентовзанятий

использоватьсяможетОно

вместноамостоятельныхЗдесь

рекомендованнымипособиями

курсаизучениядляелем

механики

шеПрипреподава

служить изучении при также точки помощь постановку механики экзаменам оказать материальной может теоретической и дготовке ематика п обращать анал Ки основам по задач курса другими только нного чник справ лекци дл

од т

на внимание

следует задач и н

ме задачи

решения ее

результата з

посо часть Теоретическая

не

положения

необходимые

содерж

формулы

шения ре я

ичктоиальнойерматПоложение

координадекартовых

+ zk .

тах

r = xi + yj

радиуспосредствомзадается

торавек

движенияпроцессе

радиус

ктор

соизменяется

x,y,zвреме ем-

Зависимость

называ

закономтся

q1 , q2 , q3

= r (t) пространстве

линия,

задаетвектораусад

вописываеткоторую

конец

Скоростьчастицытраекторию

ускои

определяютдвижения

: v

= r

w =

= r .

выражениями ся

аютмдекартовыхпринивместослучаяхмногихВо

координат

удоб

нееq =использоватьq ( x, y, z) =криволинейныеc .

координаты–

, q3 ) ,

В кри-

волинейных

рдинатахкоо

r = r (q1 , q2

куда

qα = qα (x, y, z), α =

1,2,3 .

атнымиКоорди

поверхностями

кото

твепространсомертрехвповерхностиназываются

рых

координаты

qα

постоянные

значения:

Координатныеα

линии

вдольα

координат из каждая изменяется торых

q .

координат Каждая

ая линия получается пе есечением4

двух

поверх

остей

Вектор

¶r

координатной координатных касательной по авлен нап

¶qα

¶r

¶qα

= H e ,

линии

изменяетсякоторойвдоль

чегосилу

где
	Hα =	¶x	2		¶y	2		¶z	2

		¶q			¶q			¶q
				+			+
		α			α			α

–

eα –

кательнойкасрктовеныйединич

меЛыкоэффициент

указанной

и ини л ой атн дин коор

(

системы криволинейной ы орт

координат

ортогональности Условия

линий координатных

eα × eβ

¹ β

R R

записывается

видев

¶r ¶r

= ¶x ¶x +

¶z

¶z = 0.

¶y

¶y +

¶q ¶q

¶q

Скорость

вычисляетнатдикооремеистснойкриволинейв

vα = Hα qα –

v = ∑vα eα ,

формуле по ся

d где¶

компонентыv

ско

динатахоркокриволинейныхврости

(

ортына

eα ).

ииоекцпр

∑Hα qα .

тахакоордин

ускоПроекции

ортыльныхаортогонрения

равнσ =ы 2 [r ´ r ] =

eα

¶qα

Hα dt ¶qα

называетсяточкиальнойриматескоростьюСекторной

величина

ds = 12

[r ´ dr ].

Модуль

где

вектора

описан площади равен

наточкиперемещениипри

dr .

Поэтому

векторомдиусрной

площадь рактеризует х

в вектором радиус очерчиваемую

времениединицу

1.1.

(r,θОпредели,ϕ ) : x =тrьsinθрдинатныcosϕ ; yе=пrверхsinθ sinостиϕ ; zкоординатные= r cosθ ;

линии

показать

ординатных

найтилиний

цилиндрической

рдинат коо ртогональность о

скоростикомпоненты

яникору

)

истеме

(r,ϕ , z) : x = r cosϕ ; y =

Задачиr sinϕ ; z = z;

)

координатсистемесферическойв

)

плоскостинакоординатсистемейопараболическв

(α ,

β ) :

x =

(α − β ); y

αβ .

)

вrполярнойθ

системеϕ

координат

(r,ϕ ) : x = r cos ϕ

;

= r sin ϕ ;

Ответы

= rϕ , vz

= z;

)

vr = r, vϕ

1 d

wr = r − rϕ , wϕ

= r dt

(r ϕ ), wz = z

;

)

= r, v

= r sin θ ϕ;

= rθ , v

= r − rθ

− r sin

θ ϕ

, wθ = r

dt (r θ ) − r sin θ cosθϕ

;

& 2

wϕ

= r sin θ

sin

θϕ ).

1.2.

тисплосковэллипсуподвижетсяЧастица

( , ).

ух

Проек

скоростинойсекторция

σ z

x(t), y(t).

Найтипостоянна

= 1,

Решение2σ

Из условий

что следует задачи

xy − yx

2σ z

= const.

Вводя

авлениеедстпрпараметрическое

x = a cos γ , y = b sin γ

эллипса

получаемуравнениявторогоиз

γ =

2σ z

+ γ 0 .

2σ z

t + γ 0

x = a cos

Следовательно

y = b sin

t + γ

1.3.

(

, ).

плоскостивявижетдЧастица

выражеПолучить

координатахполярныхвтискоросекторнойдляние

(r,ϕ).

: σ = 2

r ϕ .

Ответ

z=0

1.4.

Частица

плоскостив

логарифмическойпо

спирали

ус составляющей радиальной нулю равной движется

r = aekϕ

Найти

wr = 0 .

r (t) ,

корения

= 0;ϕ

(0)

време момент начальный в если

ϕ (0)

= ω .

-1

k 2

k 2 −1

ωt +

: r (t) = a

Ответ

1.5.

ойТочка

поячендвижет

арадиусферы

так

уголчто

еёмежду

постояостаетмеридианомповерхности

тью скоро

втраекториюНайтиянным

координатахферических

1.6.

стиплосквдвижетсяЧастица

z = 0

так

отрезокчто

точкой

касательн

заклю

междуный

касания

траекториик

p :

точк и

пересе

осью с ия

длину постоянную имеет

= p .

1.7.

траекторииуравнениеНайти

= 0, ϕЗакон= 0,движенияv = 0, z

=частицы0 .

координацилиндрическихв

тах

имеет

вид

= vr t

+ r0 ,

ϕ = vϕ t

+ ϕ 0

, z = vz t + z0 ,

где

vr , r0

, vϕ

,ϕ

0 , vz

, z0

—

постоянные

траекториюНайти

ско

часледующихвточкискоростьсекторнуюиускорениерость

стных

)

vr =

;

)

vϕ = 0 ;

)

случаях

точкиматериальнойДинамика

закон второй лежит точки материальной динамики основе В Ньютона

(2.1)

mw = F ,

m –

где

, F = F (r , v, t) –

сила

массакласса:

частинадействующая

w = r –

m, F

цу

величинахзаданныхПриускорение

начальи

ых

условиях

r (t0 )

= r0 , r (t0 )

= r0

уравнение

(2.1)

позволяет

= r (t0

, r0

; t) .

айти законR

точкиматериальнойдвижения

удобноточкуматериальнуюсвободнуюнадействующиеСилы

дванаразделить

силы

координатотлишь

видезависятсаныизапбытьмогутпотенциальныевремени

(2.2)

F (r , t) = -ÑU (r , t) ,

где

U (r , t) –

потенциал силы2

Еслиэнергияпотенциальнаяили

зависитнеявносила

времени то она0

стационар

ной

Стационарными

потенциальными;

частностиназываетсясилами

яв

ляются-

тяжести,

потенциалимеющаясилаквазиупругая

(2.3)

U (r )

- r0 )

–

r –

кгде

коэффициент упругости9

положевекторрадиус

частицыравновесияния

где

паденияпотенциалсвободногоимеющаяускорениесила

(2.4)

U (r )

= −mgr ,

;

g –

−

потенциаломссилакулоновская

(2.5)

= − α

Силы–

межрасстоянияоттольковиситазкоторыхвеличина

прямой вдоль направленные и точками материальными ду

со

этиединяющей

силамицентральныминазываютсяочки

непотенциальных2) циальные

отсят

ско

закоторыесилы

частицысти

впредставленыбытьмогут

де

иП

меры

Лоренцасила

сил

(2.6)

F = e(E + c

[v × H ]) ,

E –

поляэлектрического

, H –

напряженность

среды сопротивления зкого в сила напряженность

поля магнитного

, e –

;

частицы заряд

–

(2.7)

F = −α v ,

α –

вязкости

принадлежитсилаЭта

дисклассу

сипат вных силR

которыеR

кприводит

убылиRмеханическойR

системыкоэффициентэнерги

(

)

движенияламиИнтегр

первыми

движения

ваютсяназ

такие

ковремениинтеграламискоростейкоординатфункции

= const .

торые

: f (r , r , t)

бытьмогутимпульсадвижениямоментпроцессевинтеграламиьсучаяхизменяютсяимпунечастныхВческий

кинетмехани

p = mv ,

= [r

× p] ,

T =

mv 2

энергияческая

полная

энергиямеханическая

E = T + U .

Задачи

2.1.

p ,

силдлявыражениятьучПо

закоторыхпотенциал

дается

и формулам

(2.3) − (2.5).

2.2.

движетсяЧастица

под

действием

совокупности

силихвнеш

условияхкакихПри

импульсмеханический

T ,

L ,

энергиякинетическая

механиполная

моме

импульсат

энергияческая

движенияинтеграламибудут

2.3.

дви

частицыдляНьютоназаконвторойЗапишите

силыдействием

произвольнойв

костемежущейся

рдинат

ортогональнойрассмотритеслучаевчастныхкачествеВ

)

цилиндрические

координаты

)

сферические

силевПусть

компорадиальнаяеетольконуляототлична

F (Fr

,0,0) .

естьтонента

движенияинтегралыпервыеНайдите

2.4.

веечастицысохранятьсязаряженнойбудетполедвижениипричтоэлектромагнитномПокажитестационарном

mv 2

: E =

+ eϕ = const ,

ϕ(r ) −

по

2.5.

= ( x0

, y0 , z0 ),

H .

r (0)

= r0

энергиялная

где

скалярный

r (0) = r0

= ( x0 , y0 , z0 ) .

тенциал

× H ].

тицы

законНайти

виженияc

часзаряженнойориютраеки

движущейся

ов

нородном. магни ном поле с напряжен-

Начальные

условия

ностью

− ωH

= 0;

иеРешен

+ ω H

= 0;

(2.8)

В декартовой

двиуравнениякоординатсистеме

видимеют

векторавдоль

z = 0;

осьНаправим

= eH

–

полямагнитного

уравсистемуполучимТогда

апряженностиmc

енийжения

где

+ z0

(2.9)

z = z0t

уравненияпоследнегоИзчастотациклотронная

получаем

осиВдоль

равномернымявляетсядвижение

позволяетинтегриропрямолинейчтпрудобнопеременнойуравненийдвухкомплекснойсистемувведенияшуюсяпутемОставнымвать

свести эту системуx = Reк одномуξ = a

+уравнениюa cos(ω tдля+ δкомплексной)

пере

менной

ξ = x

+ iy .

второе уравнениеH

системев

(2.8)

Умножая2

на

ξ + iω ξ = 0 .

ывая склад и

м первы с его

получаем

Отсюда

ξ = c + c

e−iωt

–

с где

yи с

комплексныеxпостоянные Предста

1+i

, c

= ae−iδ .

сдевивихвим

Тогда

(2.10)

y = Im ξ = a

− a sin(ω t + δ )

находимусловиямиинымначальуясьзПоль

a =

δ = arctg

0 ,

ω H

= x0

− a cosδ , a2

= y0 + a sin δ .

Из

(2.10)

плоскостьнатраекториипроекциячтонаходим

( , )

( x − a )2 +

( y − a

)2 = a 2 .

у х

есть

окружность

Траектория

шагомпостояннымслиниювинтовуюсобойпредставляет

2.6.

Найти

закон

движения

заряженнойтраекторию

напряжен поле магнитном однородном в движущейся цы част

ности

H ,

если

)

движетсячастица

вязкокоэффициентомссредевязкой

α;

силаквазиупругаядополнительная

)

кдействуетупругостичастицунабкоэффициент

(

2.7.

массычастицаЗаряженная

зарядом

вдвижется

сти нно напряже поле магнитном однородном

H ,

параллельном

ему

тяжестисилыполе

одимперпендикулярном

поле ском че электри однородном нород

ряженности п на

закон Найти

E .

движения

2.8.

частицы

женно напр поле магнитном в движется Электрон

H = (0,0, H cos ay) .

mНайти

закон

движения,

есл

2.9.

ти-

ω = ω H =

,0);

r (0) = 0; r (0) = (0,

x = − 1 ln chω t, y = 1 arcsin thω t, z = 0.

массыТочка

начальбезвнизвертикальнопадает

сосилуытываяистяжестисилыдействиемподскоростиной

противленияR

Fc ,

величинаR

пропорциональна

воздуха

которой

Ответ

F = −kv 2

( k

= const ).

скорости вадрату

есть то

за Найдите

точкидвиженияон

ном

2.10.

переменвеличинывпотенциаломдвижетсяпостоянныескалярнымзарядасоигдеполемассыЧастицаэлектрическом

cos(ωt + δ ) ,

E0 ,ω,

δ -

ϕ(r

, t) = rE0

r0 ,

орвектрадиусвременимоментначальныйВ

тицычас

равен

аR

скоростьеё

движениязаконНайдите

–

v0 .

2.11.

магпостоянномнеоднородномвдвижетсяПротон

H 0

) ,

полеом

напряженностью

H (0,0,

образующем

оси

магнитную

стенку

параллельную

условия льные Нача

2 ky

x .

r (0) = (0,−∞,0), r (0) = (0, v0 ,0) .

Найдите

первые

интегралы

При каких условиях протон походит2

движения

магнитсквозь

стенкуную

2.12.

Электрон

магоднородномпостоянномв

полеитном

квадрупольполекомсэлектричедвижется

= (0, H 0 ,0)

ного

ϕ =

U 0

− y

) .

конденсатора

которого потенциал

На

r (0) = (0, y

0 ,0) ,

= (0,0, v0 ) .

овияусчальные

r (0)

законНайти

движения

электрона.

2.13..

Доказать

причто

движении

частицызаряженной

иЗдесьдвиженияныичамветегра

инрадиусявляютсясоответственно

напряженностью с поле электрическом однородном постоянном

R R

I = EL I

= E[v × L] + e [r × E]2

e −

, v, L

моментскоростьвектор

тицысчазаряди

2.14.

зарядомимпульсамассойсЧастица

янпоствдвижется

напряженностью с поле магнитном однородном ном

H . Пока-

зать

что

величины

I = mH[v

× r ] +

e [r × H ]2

движенияинтеграламиявляются

движение Одномерное

называется

вижение.

которогоописаниядля

движениеодномерноеОдномернымслуч

липрямойвдоль

отолькозаданияточнодост

координатыной

простейшемВ

нии

ратьыбвможнокоторую

сисдекартовойхосикачествеосуществляется

координаттемы

Задачи

3.1.

массы

движение одномерное совершает

U(x).

энергиейпотенциальнойЧастицахиовдоль

Показать

сочто

храняется

частицы энергия полная

E =

+ U ( x) ,

(3.1)

движениязакон

x(t)

выраженияизполученбытьможет

t =

+ const

(3.2)

2 ∫ E

− U (x)

3.2.

U(x)

Потенциальная

потенциальвидимеет

рисямыной

Точки

энергиях в которых потенциальная,

(

.3.1).

энергия равна,

полной

U (x) =

E ,

x ,

называ

ются.

точками

тановкиних:

поскольку-

вательно, кинетическаяскорость

энергия,

следо-

обращаются

. 3.1.

нуль

точки Эти

за

дают

двиграницы

энергияПотенциальная

жения

них

хаправлениеточками

обратноенаменяетсядвижения

финитдвижение

пространства

ограниченной

областиосуществляется

Одномерное

являетсяостановкиточкамимежду

формулойопределяетсяколебанийхпериоддвижениехчтоточкамиПоказатьмежду

колебательным

–

движение периодическое совершает частица

	x2	( E )	dx
T (E) = 2m		∫		(3.3)


			E − U (x)
	x1 ( E )

определить

0закон

движения

период

частицыколебаний

вблизи минимума потенциальнойU (x) ≈ U +

(

энергииk (x − x )дна.

копериодапотенциальной

Указание

окзаеленияедопрДля

ямы

циальнуюентпоразложитьбанийл

точкивблизиряддвижения

хминимума

членомнеисчезающимпервымограничиваясь

держащим

энергию

, со-

(

х х

U(x)

минимумавблизи

3.3.Это соответствует замене потенциала

(

.3.1).

риснакриваяпунктирнаяпараболическийна

T = 2π

m .

Период

параметрами определяется

Ответ

системы

не

колебанийамплитудыот

Точка

энергиейпотенциальнойсполезависитдвижется

− k1 x, x <

U ( x) =

x 2 , x > 0

частицыколебанийпериодНайти

3.4.

вкакзаданомассыкотороечастицыколебанийполемалыхчастотупотенциальномНайтиодномерном

= U (x) ,

координатыдекартовойфункция

видеемдующслев

+ bx

;

) U

−

;

x 2

) U = U 0 (ch ax − bx) ;

)

U = U 0

(e ax 2 − bx 2 ),

a < b .

a ,

постоянныеЗдесь

нытельижполо

3.5.

ца и Част

я движетс

поле

U (x)

= −U0

cos(x / l),

U0 > 0 .

(t),

(0)=0;

x(0) =

4U0

= v0 .

Найти х2l

хесли

(3.2)

ниеРеше

пользуемсявос

рмулойоф

чальныеначтемуи

t =

∫

+ const .

яовиусл

маеПолуч

1 + cos x

инВычисляя

теграл

пользуясь

начальными

условиями

1 + sin x

t = v

1 − sin x ,

откуда

x(t) = 2l arcsin th

, τ = v

чальный

времени

t=0

чтонаходимточкевнаходитсячастица

соответствует3.6.

издному

потенциальнойминимумов

энергии-

→ ∞

x → π l ,

При

рдинатакомомент

часэнергияпотенциальная

решенияТакиезначениюмаксимальномукприближаетсяицы

тонами

волнамнелинейнымсоответствуют

солиназываютсякоторые

попотенциальномвчастицыдвижениязаконНайти

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.02.201534.3 Кб124Темы рефератов МЕТРОЛОГИЯ.doc
#
12.03.201637.89 Кб6Темы семинаров.doc
#
22.02.2015175.62 Кб7Темы семинарских занятий по общей психологии.doc
#
06.12.2018476.67 Кб6теолит Билеты.doc
#
23.02.2015904.38 Кб16Теор_Вер.pdf
#
23.02.20151.11 Mб43Теоретическая механика, решение задач.pdf
#
05.09.201948.52 Кб1Теоретические вопросы второго этапа.docx
#
16.11.20191.28 Mб11Теории внимания.rtf
#
13.03.201650.09 Кб37Теории Личности.docx
#
22.02.20152 Mб94теории о цвете.docx
#
14.07.201960.93 Кб30Теории эмоций.doc