Теоретическая механика, решение задач

2.

свободыстепенямимногимисоемстсияниКолеба

.

8.4.

колебаний

)

z = −Опрz е1д−лить−возможные, z > 0, частотыx < a, y малых< b .

частицы

,

е

z = z(x, y) .

z

-

поверхностипойсядвижущ

декарОсь

ксистемытовой

,

а

тяжестисилыпротивнаправленаординат

о

(a > 0, b > 0) :

уравнениемописываетсястьповерхнзаданная

)

z

= a ch(bx) ch(by) ;

x 2

y 2

б

0

a 2

b 2 0

,

ϕ

8.5.

Н йти положение устойчивогоm

равновесия и частоты-

)

колебаний

:

сте жняследующих.

системмеханических

-

малыхκ (рис.8.1, ).

сыма

m,

подвешенная

пружинкеа

)

= m ).

,

б

материальнаядве иальные7.1. ( l = точкиl = l, массыm = m

горивдоль

плоскости.

Длина

пружины

-

льной вертик в движется

.8.1, );

нерастя

,

κ

(

нутом

8.6.состоянии

жесткостьточкавна

рис

б

,

-

зонтального

тремя

консидругомдвижутсядругсоединеныТочки

-

жнястецами

г

жестиадлиныпружинамиодинаковыми

кости

изображен

системколебаниймалыхчастотыНайти

ных на рисунках2

1

2

1

2

.

б

8.7.

Привестиi 0б г

иЛагранжафункциювидуональномуагдик

рисi

i

1

2

1

,

2

1

2

на изображенных систем для колебаний малых закон записать

.7.1, 8.1,

8.1, .

.

,

.8.1, .

Решение

системуРассмотрим

риснараженнуюизо

г

Система

имеет

свободыстепени

рдинатыконныеобщО

начастицыкаждойположения

стержне.

ложП

е

x1

x2

–

отклон

устойчивого

равновесия

x01 = a ,

x02

= 2a ;

ени

(ξ

+ ξ

)

− κ (ξ

+ ξ

− ξ ξ ),

я

ξ

= x

− x .

L =

m

Тогда

2

62

m

=

m

0

k

=

2κ

− κ

ij

,

ij

.

m

2κ

0

− κ

(ω ) = det

− m ω 2

+ k

=

− mω 2

+ 2κ

− κ

= 0 .

ij

ij

− κ

− mω 2 + 2κ

ω12 = κ , ω22 = 3 κ .

m

m

jα

,

-

строкуАлгебраическиевую

дополнения

построим

первычеркнув

Тогда

Имеем столбец

соответствующий

.

:

(ω1 ) = κ

2 1

− 1, (ω2 ) = κ 2 1 1 .

− 1

1

1

1

k 2

множительнаопределителейэтихнулюравенствалусиВ

.

сократитьможно

=

(ω

) = (−1)1+11 = 1;

12

1

2

22 =

2 (ω2 ) = (−1)1+21 = −1.

ξ1 =

11θ1 +

12θ 2 = θ1 + θ 2 ;

ξ 2 =

21θ1 +

22θ 2 = θ1 −θ 2 .

:

ЛагранжаФункция

L =

m

[(θ1

+ θ

2

+ (θ1 −θ

2

]−

2 )

2 )

&

&

&

&

2

+ θ 2 )(θ1 −θ 2 )]=

κ [(θ1 + θ 2

)2 + (θ1 −θ 2 )2 − (θ1

m(θ1

− ω1

θ1

)

+ m(θ

2

− ω

2 θ

2

) = L1 + L2 .

& 2

2

2

& 2

2

2

Нормальныедвижениякон

:

θα

= aα cos(ωα t + δα ),α = 1,2. -

колебания

63

За

ξ1

= θ1 + θ2

= a1 cos(ω1t + δ1 ) + a2 cos(ω2t + δ 2 );

ξ2

= θ1 − θ2

= a1 cos(ω1t + δ1 ) − a2 cos(ω2t + δ 2 ).

,

-

характерицчастдвухсистемыколебанияобразомТаким

ω

1

, ωубедиться

-

и частотами собственными двумя

складывает

.

легкоКак

(

задав

колебанийнормальныхдвухиз

)

ание

θ1

нормальноеусловияначальныеоответствующие

ω1

осуществляется

,

частицыобекогда

колеб

частотойзуется

влются

(

,

-

средняяфазе

растянутанека

одиначастицскорости

пруживеличинепоковы

колебаниеНормальное

θ

2

с

ω

2

направлению).

частотой

частицколебанияхприреализуется

фазе-

(

новеличинепоодинаковычастицскорости

противопол

жны

по направлениюi

).

9.

i

ГамильтонаМетод

ных

В методе Гамильтона в качествеi

независимых

2n

– n

пульсовобобщенныхвыбираютсяременныхп

Движение

кканоничесописываетсясистемыскойч

p .

механи-

q

n

и

уравнений

помощью

2n

дифференциальных

порядкапервого

∂H

&

,

qi =

∂p

(9.1)

∂H

&

d

i

∂qi

i

64

.

Q d

= 0 ,

называютсяторыек

ЕслиГамильтона

i

соответствующие уравнениями∂q называются

каноническими

то

H = H (q, p, t) ,

.

Функция

обобщенную собой представляющая

,

,

-

энергию

называпеременныеническиеканочерезвыраженную

-

.

ГамильфункциипостроенияДляГамильтонафункциейется

выраженийизнеобходимотона

&

∂L(q, q, t)

pi =

&

&

= fi

(q, q, t)

(9.2)

i

&

,

-

qi

как

найти обобщенные,

скорости

функции координат),

им

(

,

,

:

qi

= qi

(q, p, t)

&

&

пульсов

времени

и

выраженияэтииспользуя

энергииеннойобщобизскоростиенныобобщеисключить

:

H = ∑ pi qi

− L(q, q, t) .

(9.3)

&

&

i

,

свойствИз

обобщенной

энергии

следуетl

связиесличто

стационарны или отсутствуют система(9.1) свободна

функциято

еравнаГамильтона

H = T

+ U

=

E .

энергии системы :

qi

= qi (t, q0 p0 ) ,

(

изменениязакон

равнавременемсоНенияизмеСкорость

)

аполнойГамильтофункции

∂L + ∑Qid ∂H .

dH

= −

(9.4)

dt

∂t

i

∂p

нияуравнРешив

Гамильтона

получим

зависимость

канонических

отпозволяетременныхчтоп

механичесостояниевремениописать

-

pi = pi (t, q0 p0 ) ,

65

временимоментлюбойвсистемыской

.

-

Переме ная называется циклической в функции Гамильα

,

-

функция

Гамильтона не зависит явноq

тона

если

от этой пере-

.

(

Q d

=0)

-

Если менной

при

α

являет Н в переменной циклической

координата ся

qα

,

сопряженный то

импульс обобщенный ей

pα

: pα =const.

,

-

ижениядинтеграломбудет

цикеслиНаоборот

,

переменнойлической

в

Н

p

импульсобобщенныйявляется

сопряженная то

координата обобщенная ему

α

интегра будет

лом

:

qα

=const.

H

движения9.1.

t,

впеременнойциклическойжеЕсли

емя вр является

функция сама будет движения ралом интег то

:

=const.

ГамильтонаmxН Н

mω x

.

);

По

αизвестной=1

Задачи

функциюсоставитьЛагранжафункции

:

осциллягармоническийлинейный

Гамильтона

& 2

2

2

)

L =

2

−

2

(

-

тор

) L =

1

n

(θα − ωα

2

(

∑mα

θα )

&

2

2

бстепенями

свободы

ссистемаколебательная

2

n

);

66

m R

2

R

)

L =

v

− U (r ) (

,

-

в

2

описывакоторойдвижение

частица

координатахвыхртодекавется

);

)

− U ( ρ,ϕ , z) (

,

-

)

L =

m

(ρ

+

ρ ϕ

+ z

&

2

2

&

2

&

2

г

2

частица

движе

йкоторо

);

координатахцилиндрическихвываетсяисоп

движение) H = 1

(r

pα

+ m ω

2θ

2

;

ангармониодномерный

,

)

L =

m

+ r

θ

+ r

2

sin

2

θϕ

) − U (r,θ

,ϕ )

(

&2

2

&2

& 2

частица

2