Теоретическая механика, решение задач

ле

3k

−2

1

k

: x(t) =

ch

t

2

.

a

m

1 2

1

4

2k

&

) U ( x) = - 2 kx

+ 4 λ x , x(0) =

= 0.

λ

, x(0)

аОтвет

2k

−1

k

: x(t) =

ch

λ

t .

m

б

Ответ

(t)

-

3.7.

хдвиженияаконзприближенноОпределить

части

олепвцы

U(

)

x=a.

-

х

кивостаноточкиизивбл

разРассмотреть

случаи личные

.

:

остановки точки вблизи Решение

U ( x)

=

E + dU

( x

- a) +

1 d 2U

( x - a)2

+ K

dx x =a

2 dx2

x=a

:

случаядва

Рассмотрим

&&

)

dU

= -F (a) ¹ 0 .

= F (a) ,

: mx

привияуслначальныеа

ямоментженидвичастицахУравнение

на

dx

x =a

t=0:

(0)=

(

t=0

-

о

),

x(0) = 0 (

нульстановкиобращаетсяточкеостановкиходится

&

точкевчастицыскорость

Тогда

).

x(t) =

F (a) t 2 + a .

2m

20

)

dU

= 0 , U ( x) = E -

k

( x - a)2 , k = -

d 2U

> 0 .

x=a

2

dx2

x =a

dx

U(x),

потенциалусоответствуетслучайЭтот

точкевимеющему

=

.

mx = k( x − a) .

-

максимум а х

движения Уравнение

&&

ре Общее

x = a

+ c e−λt

+ c

eλt .

,

шение

1

2

видно выражения этого Из

что

=

-

хостановкиточка

вреконечноезадостигнутабытьможетнеа

.

б

t

= ∞

моментвостановкиточкекдвиженииПримя

должнымы

= .

c

2

= 0, x = a + c e

−λt .

хполучить

Поэтому

моментв

отдвиженииПри

точки

остановки

начинающегося

,

получаем

,

t = −∞

c = 0, x = a + c

eλt .

1

2

4.

полецентральномвДвижение

,

U(r)

-

Поле

частицыэнергия

зави

только сит

точки неподвижной некоторой потенциальная расстояния котором

плоское поле центральном Движение называемой

скорости вектор радиус

r

,

,

.

частицы

силовым

центром

центральным

перпендикуплоскостиназываетсялежитдвиженияпроцессе

векторулярной

импульса

:

-

,

-

R

направитьЕсли

вдоль

R

оси

L .

у

L

R

z:

L(0,0, l) ,

(

, )

-

энерполнойсохранениязаконовизтополучаемпульсаитамментрдинмкоинымгии

-

о

а

(r,ϕ ) ,

:

21

&

2

+ r

2 &

2

)

+ U (r),

E = m(r

ϕ

(4.1)

= mr

2

&

l

ϕ,

(

=const)

ьрадиалслучаеВ

ног

о

енияждви

φ

импульса

ноль в обращается

: l=0.

∫В общем2

в движении момент задача случае

поле льном центр

полностью интегрируется,

чего результате в

получаем:

t = ±

m

∫

dr

+ t0 ,

(4.2)

2

E − U

eff

(r)

ϕ = ±

l

dr

+ ϕ

0 ,

(4.3)

2m

r

E − U eff

(r)

U eff =

l 2

+ U (r)

(4.4)

2mr 2

–

.

Величинапотенциалэффективный

U c =

l 2

(4.5)

2mr 2

.

-

гиейэнецентробежнойназывается

тенципзаданнойПри

частицы

U(r) выражение (4.2)

позволяет

о

-

ϕ = ϕ (r) ,

–

преде

частицыюэнергиитраекторальной

выражение

с

мость

r = r(t) .

движезакондаютвыражениядваэтиВместе

ния ϕ = ϕ (t) ,

r = r(t) .

,

U eff (r) = E ,

-

которыхвТочки

называ

.

-

радиальувеличенияотточкахэтихВпереходиттраекториифункциянаоборотповоротаили&шениюточкамискоростьуменьютсянаяк

r

= 0

,

r

= r(t)

Задачи

.

4.1.

Покажa

,

-

сополецентральномвдвижениипричтоите

.

полнаяхраняются

частицыимпульсамомент

4.2.

шееияименьергэнлитьредеОп

дорасстояниенаибольшее

внаткоординачала

2

массыточкиматериальнойдвижения

случае

m

-

:

полепотенциальномтричноммесимсферическив

)

U

=

r

2

;

)

U =

a

− b ,

a > 0 , b > 0 ;

б

r

2

r

) U =

a

+ br ,

a > 0 ;

r

2

в

а) U =

a

+

b

,

a > 0 .

r 2

r 4

г

4.3.

Частица

массы

m

движется

в

-

сферически

притяжения оле п тенциальном по симметричном

U

= U (r) .

В

временимоментначальный

t

= 0

расстояниинапокоиласьона

23

R

от

.

времяОпределить

τ

вчастицыпадения

поляцентра

ацентр

,

:

б

в

еслиполя

)

U

= −

a ;

) U

= −

a

;

)

U

= ar

2 .

r

r

2

4.4.

Определ ть заr кон падения

r = r(t)

частицr

m

массыы

-

центрв

сферически-

U (r) .

приполяальногопотенцисимметричного

-

тяжения

E

мени вр момент ый начальн В

τ

име ца част

.

также

время

падения,

если

энергиюла

Найтипокоиласьи

U 0

) U = −

U

0

;

) U = −

.

а

sin

2

б

sh 2

a

a

m ,

E

R

4.5.

L

жетсядв

тицаЧа

оймас

энергией

моментом

в

ферически

имметричном

потенциальном

поле

с

= ar 2 .

-с

притяжения U

законОпределить

радиаль

-

времени

траекто точке ой изменения аль рем экст в ходилась на она

ной

координаты

r = r(t)

,

в если

момент ачальный

частицы

t = 0

-

рии

.

4.6.

й колебан радиальных Т период йти На

материаль

-

m ,

потенциальномE

R

ной точки4.7.

массы

L

-

энергиейсдвижущейся

моментом

-

в

симметричномсферически

поле

( a > 0, b >

0 ):

) U =

a

−

b ;

) U =

a

+ br 2 .

а

r

2

r

r

2

и

возопределить

бкачественныйПровести

анализ

24

,

-

вдвижущейсяычастицтраекторииможные

по

ямынциальнойепотсферическойле

"

глубиныпотенциальномрадиуса

:

"

a

U 0

− U 0 , r ≤ a

U (r) =

0, r > a

4.8.

потенциальсполецентральномвжетсявидаицЧаст

-

энергией ной

r

2

r

) U (r) = −U0

0

ln

; U

0 > 0 .

а

r

r

0

) U (r) = − α

+

β

; α > 0; β > 0.

б

l 2

r

2

r

4

траекторииниевнеураиповоротакиточайтиН

r(ϕ ),

если

:

=0.

Енулюравначастицыэнергияполная

:

)

r = r

ϕ 2

,

r

= r

exp a

2

,

exp

4a 2

Ответ

а,

min

где (

min

0

).

a 2 =

2mr

2U

.

0

0

4.9.

U (r) .

-

уравчить

поленомьцентралвядвижетсЧастица

Полу

ориюекттраееееющописыва

Бинеуравнение

:

н .

Реше

ВоспользуемсяСилаение

равдольНьютоназакономнаправленавторым

dU ∂r

R

R

F = −

dU r

-

mw = F .

R = −

R

R

dr ∂r

dr r

25

-