Ответ: .

III. В следующих четырёх номерах даны линейные однородные (11) и неоднородные (12 -15) дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

11. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) ; б) ; в) .

Решение. Для каждого из данных уравнений составляем характеристическое уравнение и решаем его. По виду полученных корней характеристического уравнения (см. формулу (7)) записываем общее решение дифференциального уравнения:

а) .

Его корни , следовательно, , тогда фундаментальную систему решений (ФСР) образуют функции . Поскольку общее решение является линейной комбинацией произвольных постоянных и решений ФСР, то для нашего уравнения общее решение запишется в виде

;

б).

Его корни – действительные равные, , тогда образуют ФСР и общее решение исходного уравнения запишется следующим образом: ;

в) .

Его корни – действительные различные, поэтому образуют ФСР, и общее решение исходного уравнения запишется следующим образом: .

Ответ: а);

б) ; в) .

12. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Известно, что общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения исходного неоднородного уравнения, т.е.

.

Найдём общее решение однородного уравнения. . Его характеристическое уравнение имеет корни , т.е. ; тогда образуют ФСР, и общее решение однородного уравнения запишется следующим образом: .

Поскольку правая часть исходного уравнения является многочленом второй степени и число не является корнем характеристического уравнения ОЛДУ, то частное решение можно искать тоже в виде многочлена второй степени, но с неопределёнными коэффициентами. Значения коэффициентов А, В, и С нужно искать из условия, что функция ­­­–­ решение исходного уравнения. Подставим эту функцию в заданное уравнение. Удобно эту подстановку выполнить следующим образом:

37

2

1

.

Приравняв коэффициенты многочленов при одинаковых степенях ­, получим систему трёх уравнений с тремя неизвестными:

Решив эту систему, получим, что . Тогда

и ­– общее решение исходного уравнения.

Ответ: .

13. Найти общее решение уравнения

Решение. Найдём общее решение однородного уравнения Составим характеристическое уравнение: . Его корни , , тогда образуют ФСР, и общее решение однородного уравнения запишется следующим образом: .

Поскольку правая часть данного уравнения равна и число не является корнем характеристического уравнения ОЛДУ, то согласно формуле (11) Введения частное решение можно искать в виде . Значения коэффициентов А и В нужно искать из условия, что функция – решение исходного уравнения. Подставим эту функцию в заданное уравнение. Удобно эту подстановку выполнить следующим образом:

1

- 4

4

.

Приравняв коэффициенты при функциях и , получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решив эту систему, получим, что . Тогда

и – общее решение исходного уравнения.

Ответ: .

14. Решить задачу Коши для уравнения

Решение. Сначала найдём общее решение этого уравнения. Составим характеристическое уравнение ОЛДУ: . Его корни , и решение однородного уравнения запишется в виде . Поскольку правая часть данного уравнения равна и число является корнем характеристического уравнения ОЛДУ, то частное решение можно искать в виде . Значение коэффициента А нужно искать из условия, что функция – решение исходного уравнения. Подставим эту функцию в заданное уравнение. Удобно эту подстановку выполнить следующим образом:

-4

0

1

или, т.е. . Тогда.

Общее решение исходного уравнения запишется следующим образом:

.

Для нахождения частного решения реализуем начальные условия. Подставив первое условие , получим . Найдём производную общего решения и, подставив в неё второе условие , после упрощения получим . Итак, получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решением этой системы является и , тогда решением задачи Коши будет .

Ответ: .

15. Определить и записать структуру частного решения НЛДУ по виду правой части уравнения :

а) ; б) .

Решение. а) Запишем характеристическое уравнение и найдём его корни: , . По условию , тогда , где к – кратность корня характеристического уравнения . Поскольку среди корней характеристического уравнения нет такого значения, то и .

б) По условию , тогда

,

где к - кратность корня характеристического уравнения . В данном случае снова и .

Ответ: а) ; б) .

IV. 16. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение. Решим систему методом сведения к однородному дифференциальному уравнению. Продифференцируем обе части второго уравнения: . Исключив из этого уравнения , а потом х, используя сначала первое, а потом второе уравнения исходной системы, получим

.

Итак, получилось ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: . Запишем характеристическое уравнение и найдём его корни: – , тогда образуют ФСР и общее решение уравнения запишется следующим образом: .

Из второго уравнения системы получим . Так как , то .

Итак, - общее решение исходной системы.

Ответ: .