Решения задания типового варианта

I. Первые семь уравнений являются дифференциальными уравнениями первого порядка. Среди них представлены уравнения: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли и в полных дифференциалах.

1. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения

.

Решение. Для установления типа дифференциального уравнения преобразуем его, применив формулу разности синусов:

– получилось уравнение с разделяющимися переменными.

Метод решения. Заменим производную отношением дифференциалов и разделим переменные: . Далее проинтегрируем обе части полученного уравнения: , . Получим общее решение исходного уравнения .

Ответ: Общее решение .

2. Решить начальную задачу Коши

, .

Решение. Сначала найдём общий интеграл этого уравнения. Преобразовав уравнение, сведём его к уравнению с разделяющимися переменными:

, .

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

, ,

– получили общий интеграл. Теперь найдём значение произвольной постоянной С, подставив в общий интеграл исходные начальные условия : . Таким образом, частное решение (частный интеграл) исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид

Ответ: .

3. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Разрешим уравнение относительно производной:

, - получилось однородное уравнение. Метод решения. Сделаем замену и перейдём к уравнению относительно новой функции:

, , , , , – получилось уравнение с разделяющимися переменными. Заменим производную отношением дифференциалов и разведём переменные по разным частям равенства, пользуясь свойствами пропорции

.

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

.

. Найдём первообразную левой части уравнения:

. Тогда и .

Перейдя к исходной функции , получаем общий интеграл.

Ответ: .

4. Решить начальную задачу Коши

.

Решение. Исходное уравнение сводится к линейному уравнению первого порядка . Найдём сначала общее решение этого уравнения.

Метод решения. Применим метод Бернулли. Сделаем замену , тогда . Подставим всё в левую часть уравнение .Выберем так, чтобы . В результате получили два уравнения

Сначала найдём одно из решений первого уравнения , которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем обе части полученного уравнения: , , , . Подставим во второе уравнение и найдём его общее решение:

, – уравнение с разделяющимися переменными: , , .

Поскольку , то – общее решение.

Подставив в это решение начальное условие , получим .

Частное решение запишется в виде . Ответ: .

5. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Это уравнение сводится к уравнению Бернулли: . Применим метод Бернулли: , тогда ; перейдём в обеих частях уравнения к функциям u и v: . Выберем так, чтобы , после чего получим систему двух уравнений.

.

Найдём одно из решений первого уравнения: , , , . Подставим полученное решение во второе уравнение и найдём его общее решение: , , , , . Общее решение исходного уравнения запишется следующим образом: .

Ответ: .

6. Решить начальную задачу Коши: .

Решение. Это уравнение сводится к уравнению Бернулли: . Применим метод Бернулли: , тогда ; перейдём в обеих частях уравнения к функциям u и v: . Выберем так, чтобы , после чего получим систему двух уравнений

Найдём одно из решений первого уравнения: , , , . Подставим полученное решение во второе уравнение и найдём общее решение этого уравнения: , , , , . Общее решение исходного уравнения запишется в виде: . Подставив в это решение начальное условие , получим, что , и решение задачи Коши окончательно принимает вид . Ответ: .

7. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Покажем, что это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Пусть и . Проверим равенство , которое является условием того, что уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Поскольку , , то , следовательно, исходное уравнение действительно является уравнением в полных дифференциалах, т.е. существует функция , для которой

,

и дифференциальное уравнение сводится к уравнению . Найдём функцию .

Поскольку для исходного уравнения

и ,

то . От этой функции найдём частную производную по переменной y: . Сравнивая это выражение со второй частной производной , получим, что . Следовательно, const. Итак, с точностью до постоянной нашли функцию , но , тогда . Это равенство и определяет общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Ответ: .

II. В следующих трёх примерах даны дифференциальные уравнения второго порядка, которые допускают понижение порядка.

8. Найти частное решение дифференциального уравнения

при начальных условиях .

и вычислить с точностью до двух знаков после запятой.

Решение. Дано дифференциальное уравнение второго порядка. Чтобы найти его частное решение, сначала найдём общее решение этого уравнения. Для этого понизим порядок дифференциального уравнения. Пусть , тогда и

.

Получили уравнение с разделяющимися переменными первого порядка. Найдём общее решение этого уравнения. Поскольку

, то

. Так как , то . Итак, – общее решение исходного уравнения. Реализуя начальные условия, получим и ; тогда получается частное решение .

Теперь можно вычислить:

Ответ: , .

9. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Поскольку в уравнении явно отсутствует функция у, понизим порядок уравнения, сделав замену . Тогда и дифференциальное уравнение примет вид , – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение: , , , . Учитывая, что , получаем уравнение с разделяющимися переменными – . Интегрируем его:

.

Итак, – общее решение исходного уравнения. Ответ: .

10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка

.

Решение. Поскольку в этом уравнении явно отсутствует переменная х, то для понижения его порядка сделаем замену . Тогда и исходное уравнение примет вид или , откуда – уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, проинтегрируем полученное уравнение: , , , или . При нахождении частного решения значения произвольных постоянных и можно находить по мере их появления. Сейчас можно найти значение постоянной , подставив в последнее равенство начальные условия : . Тогда – уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, проинтегрируем полученное уравнение: , , . Теперь найдём значение постоянной . Итак, – частное решение исходного уравнения.