3.1. Уравнения движения. Двухмассовая механическая система
Рис.3.1. Расчетная схема двухмассовой механической системы
Расчетная схема двухмассовой системы.Система (рис. 3.1,а) содержит две вращающиеся массы с моментами инерцииJ1 иJ2, связанные упругим звеном с жесткостьюс.К первой массе (пусть это будет ротор двигателя) приложены моментыМ,который примем пока постоянным, иMc1, обусловленный, например, трением. Вторую массу будем полагать нагруженной статическим моментомМс2.В статическом режиме, как отмечалось, все элементы системы будут двигаться с одинаковой скоростью, в динамическом же в силу наличия упругости скорости будут различны:ω1– у первой массы иω1– у второй.
Математическая модель.Поставим задачу – записать уравнения движения такой идеализированной двухмассовой системы. Расчленим систему на части (рис. 3.1, 6)и заменим каждую отброшенную часть ее реакцией, как это всегда делается в механике при составлении уравнений равновесия. Реакцию упругого элемента представим моментом упругого взаимодействияМ12:
(3.1)
Для первой и второй масс на основании второго закона Ньютона записываем, соблюдая знаки моментов:
(3.2)
(3.3)
Уравнения (3.1) — (3.3)составляют полное математическое описание системы на рис. 3.1,а. Весь вопрос теперь в том, как распорядиться этим описанием, а это зависит от того, какие задачи нужно решать.
Простые частные случаи.Пусть моменты
сопротивления пренебрежимо малы
и нас интересует движение первой массы.
Преобразуем уравнения (3.1) -
(3.3),сохранивω1, и
получим
В коэффициенте перед третьей производной скорости легко узнать частоту собственных колебаний
(3.4)
а в правой части – среднее ускорение εср.Тогда окончательно будем иметь
.
(3.5)
Как и следовало ожидать, уравнение
описывает незатухающий колебательный
процесс (корни характеристического
уравнения p1 =
0,p2,3 =
±jΩ12) с
частотой колебанийΩ12.
Оно определяет изменение средней
скоростиεсрt,
на которую колебания накладываются.
Решение уравнения(3.5)с
учетом конкретных начальных условий
дает полную картину движения первой
массы. Так, при
имеем
Зависимость ω1 отtпоказана на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Динамические процессы в двухмассовой системе
Динамические перегрузки.Математическое описание в виде (3.1) - (3.3) позволяет решать и другие задачи. Например, иногда очень важно оценить динамическую нагрузку упругого звена, т. е. найти и проанализировать зависимостьМ12от времени. Решив исходные уравнения(3.1) - (3.3) относительноМ12,получим
.
(3.6)
Это также уравнение незатухающего колебательного процесса, решение которого можно получить в виде
.
Зависимость M12(t)показана на рис. 3.2.Из нее следует, в частности, что в рассматриваемом случае максимальная нагрузкаМ12тахвдвое превышает среднюю, определяемую средним ускорением.
(3.7)
(3.8)
(3.9)
В них содержатся переменные (это все Миω), параметры (с, J1иJ2) и операторр, причем каждая переменная может быть выражена через другие переменные и параметры в сочетании с операторами.
Уравнению (3.8),решенному относительноω1, будет соответствовать рис. 3.4, 6,уравнению (3.7),решенному относительноM12, - рис. 3.4,в.
Рис. 5.8.Эквивалентные схемы источника ЭДС и источника тока
Приложение 1
Основные технические данные исполнительных электродвигателей постоянного тока типа СЛ
|
Система возбуждения |
Тип двигателя |
Номинальные данные |
|
Габарит |
, мм |
|
Масса. кг | ||||||
|
напряжение, в |
мощность на валу, вт |
скорость вращения, об/ мин |
вращающий момент, кг* см |
ток возбуждения. А |
ток якоря, а |
момент иннер-ции якоря,кг см |
длина корпуса с концом вала |
наружный диаметр корпуса |
длина конца вала |
диаметр конца вала
| |||
|
Параллельное возбуждение |
СЛ—121 |
110 |
5 |
4800 |
0,14 |
0,07 |
0,21 |
0,039 |
82 |
50 |
6,5 |
4 |
0,44 |
|
|
СЛ—161 |
110 |
7 |
4800 |
0,21 |
0,08 |
0,22 |
0,053 |
94 |
50 |
7 |
4 |
0,50 |
|
|
СЛ—221 |
110 |
13 |
3600 |
0,35 |
0,05 |
0,22 |
0,14 |
104 |
70 |
9,5 |
6 |
0,9 |
|
|
СЛ—261 |
110 |
24 |
3600 |
0,65 |
0,08 |
0,42 |
0,2 |
115 |
70 |
9,5 |
6 |
1,25 |
|
|
СЛ—281 |
24 |
26 |
5200 |
0,50 |
0,26 |
2,40 |
0,2 |
126,5 |
70 |
10 |
6 |
1,25 |
|
|
СЛ—321 |
110 |
38 |
3000 |
1,25 |
0,11 |
0,7 |
0,6 |
123 |
85 |
13 |
8 |
1,7 |
|
|
СЛ--361 |
110 |
50 |
3000 |
1,60 |
0,08 |
0,85 |
0,7 |
133 |
85 |
13 |
8 |
1,95 |
|
|
СЛ—521 |
110 |
77 |
3000 |
2,50 |
0,1 |
1,2 |
1,7 |
148 |
108 |
16 |
10 |
3,3 |
|
|
СЛ—569 |
110 |
175 |
3400 |
4,75 |
0,11 |
2,2 |
2,7 |
173 |
108 |
16 |
10 |
4,5 |
|
|
СЛ—621 |
110 |
172 |
2400 |
7,00 |
0,16 |
2,2 |
6,75 |
188 |
130 |
16 |
10 |
7,5 |
|
|
СЛ--661 |
110 |
230 |
2400 |
9,25 |
0,18 |
3,4 |
9,35 |
218 |
130 |
16 |
10 |
9,7 |
|
Параллельное возбуждение для |
СЛ-267 |
110 |
27 |
3800 |
0,65 |
0,08 |
0,9 |
0,2 |
115 |
70 |
9,5 |
6 |
1,25 |
|
потенциометрических схем |
СЛ—367 |
110 |
32 |
2500 |
1,25 |
0,08 |
1,0 |
0,7 |
133 |
85 |
13 |
8 |
2,0 |
|
Параллельного возбуждения |
СЛ—240 |
22 |
18,5 |
4500 |
0,40 |
0,32 |
2,5 |
|
156 |
70 |
9,5 |
6 |
1,4 |
|
стабилизированной скорости |
СЛ—360 |
110 |
23 |
4500 |
0,50 |
0,06 |
0,6 |
0,75 |
180 |
85 |
13 |
8 |
2,2 |
|
с центрбежным регулятором) |
СЛ—370 |
22 |
28 |
4500 |
0,60 |
0,32 |
3,0 |
0,75 |
180 |
85 |
13 |
8 |
2,2 |
|
|
СЛ—570 |
110 |
77 |
3000 |
2,50 |
1,15 |
1,2 |
3,6 |
248 |
108 |
16 |
10 |
6,16 |
|
Последовательного возбуждения, |
СЛ-525 |
110 |
78 |
3800 |
2,0 |
1,2 |
1,2 |
1,7 |
196 |
108 |
36 |
9 |
3,3 |
|
нереверсивные |
СЛ—525А |
24 |
30 |
2800 |
1,0 |
3,0 |
3,0 |
1,7 |
173 |
108 |
16 |
10 |
3,3 |
|
Последовательного возбуждения, |
СЛ—163 |
110 |
10 |
3500 |
0,23 |
0,26 |
0,26 |
0,053 |
100 |
50 |
7 |
4 |
0,55 |
|
реверсивные |
СЛ—523 |
110 |
74 |
3000 |
0,24 |
1,1 |
1,1 |
1,7 |
148 |
108 |
16 |
10 |
3,3 |
|
|
СЛ—563 |
110 |
11О |
3800 |
0,28 |
1,5 |
1,5 |
2,7 |
173 |
108 |
16 |
10 |
4,5 |
|
Двигатель с постоянными магнтами - |
СЛ—М |
24 |
2 |
5700 |
0,035 |
— |
0,3 |
0,0024 |
— |
33 |
- |
— |
0,2 |
Приложение 2
Технические характеристики двигателей
|
№№ пп |
Тип двигателя |
Номинальная мощность N, Вт |
Номинальная скорость вращения nном, об/мин |
Номинальный вращающий момент Mном, Нм |
Пусковой момент M0, Нм |
Момент инерции ротора двигателя Jд, кгм2 |
Напряжение управления Uуmax, В |
Примечание |
|
1 |
ДИД – 01Т |
0,1 |
6600 |
1,5 10-4 |
2,6 10-4 |
2,25 10-8 |
30 |
Jд, совме-стно с шестер. |
|
2 |
ДИД – 05Т |
0,3 |
8500 |
3,5 10-4 |
7 10-4 |
4,5 10-8 |
30 | |
|
3 |
ДИД – 06Т |
0,5 |
9200 |
6,5 10-4 |
10 10-4 |
7,5 10-8 |
30 | |
|
4 |
ДИД – 1Т |
1,0 |
11000 |
9 10-4 |
16 10-4 |
7 10-8 |
30 |
|
|
5 |
ДИД – 2Т |
2,0 |
11000 |
18 10-4 |
34 10-4 |
9 10-8 |
30 |
|
|
6 |
ДИД – 3Т |
3,0 |
5300 |
56 10-4 |
100 10-4 |
24 10-8 |
30 |
|
|
7 |
ДИД – 5Т |
5,0 |
4100 |
120 10-4 |
220 10-4 |
250 10-8 |
30 |
|
|
8 |
ДИД – 10Т |
10,0 |
6700 |
150 10-4 |
280 10-4 |
360 10-8 |
30 |
|
|
9 |
АДП-1 |
3,7 |
9000 |
4 10-3 |
5,5 10-3 |
0,8 10-6 |
35 |
|
|
10 |
АДП-120 |
2,4 |
4000 |
5 10-3 |
10 10-3 |
0,8 10-6 |
110 |
|
|
11 |
АДП-123 |
4,1 |
4000 |
10 10-3 |
14 10-3 |
0,8 10-6 |
120 |
|
|
12 |
АДП-1236 |
8,9 |
6000 |
14,5 10-3 |
17 10-3 |
0,8 10-6 |
110 |
|
|
13 |
АДП-232 |
9,5 |
1850 |
50 10-3 |
90 10-3 |
1,7 10-6 |
125 |
|
|
14 |
АДП-263 |
24,0 |
6000 |
40 10-3 |
59 10-3 |
1,7 10-6 |
165 |
|
|
15 |
АДП-263А |
27,8 |
6000 |
45 10-3 |
65,5 10-3 |
1,9 10-6 |
270 |
|
|
16 |
АДП-362 |
19,0 |
1965 |
95 10-3 |
170 10-3 |
4 10-6 |
120 |
|
|
17 |
АДП-363 |
35,0 |
6000 |
57 10-3 |
70 10-3 |
3 10-6 |
240 |
|
|
18 |
АДП-363А |
46,4 |
6000 |
75 10-3 |
85 10-3 |
5 10-6 |
240 |
|
|
19 |
АДП-563А |
70,5 |
6000 |
114 10-3 |
120 10-3 |
12 10-6 |
115 |
|
|
20 |
ЭМ-0,5 |
0,5 |
2000 |
25 10-4 |
50 10-4 |
2 10-6 |
115 |
|
|
21 |
ЭМ-1 |
1,0 |
2500 |
40 10-4 |
70 10-4 |
2 10-6 |
115 |
|
|
22 |
ЭМ-2 |
2,0 |
1600 |
120 10-4 |
170 10-4 |
6 10-6 |
115 |
|
|
23 |
ЭМ-4 |
4,0 |
2200 |
180 10-4 |
300 10-4 |
6 10-6 |
115 |
|
|
24 |
ЭМ-8 |
8,0 |
4000 |
200 10-4 |
320 10-4 |
6 10-6 |
50 |
|
|
25 |
ЭМ-15 |
15,0 |
4000 |
370 10-4 |
600 10-4 |
12 10-6 |
50 |
|
|
26 |
ЭМ-25 |
25,0 |
4300 |
580 10-4 |
760 10-4 |
12 10-6 |
50 |
|
|
27 |
ЭМ-50 |
50,0 |
5000 |
950 10-4 |
1200 10-4 |
15 10-6 |
50 |
|
Перевод единиц измерения в систему СИ
1 Н = 0,102 кГ
1 Н*м = 0,102 кГ*м
1 кг*м2 = 0,102 кГ*м*сек2
1 Дж = 0,102 кГ*м
1 Вт =0,102кГ*м/сек