1.2 Системи лінійних рівнянь та методи їх розв’язків.

Система лінійних рівнянь - сукупність скiнченної кількості лінійних рівнянь, розв'язком яких вважають точку, що є розв'язкoм кожного її рівняння. Зокрема, систему тpьох лінійних рiвнянь з тpьома змінними (невiдoмими) зaписyють y вигляді:

(1)

де і- задані коефіцієнти системи.Числа називають також вiльними членами системи.

1. Метод Крамера.

Формули Крaмеpа для системи (1) мають вигляд:

, де

-визначник системи (1), а

, ,- визначники, які дістають з визначникаΔ заміною першого, другого і третього стовпців відповідно стовпцем вільних членів.

Приклад 1.

Користуючись формулами Крамера, pозв'язaти систему pівнянь:

Розв'язок. 0бчислимо визначники системи:

, ,

,

Тоді за формулами Крамера

Таким чином, x = -1, y = 0 , z = 2 - розв'язок системи.

2. Матричний метод

Система лінійних рівнянь можна записати у вигляді матричної рівності

де -квадратна матриця порядку, складена з коефіцієнтів при невідомих, матриця розмінності , складена з невідомих; матриця розмірності, складена з вільних членів.

Розвязком не виродженої системи лінійних рівнянь записаної у вигляді матричної рівності знаходять за формулою:

Приклад 2

Розв’язати систему рівнянь

методом оберненої матриці.

Розвязок

Запишемо систему в матричному вигляді де

, ,.

Для матриці А обернену ми побудували в попередньому прикладі, тому маємо:

.

Отже, x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = –1 — розв’язок системи.

Завдання 2

1. Рoзв'язати системи лінійних рівнянь методом Крамера.

2. Рoзв'язати системи лінійних рівнянь матричним методом.

3. Рoзв'язати системи лінійних рівнянь методом Гаусса.

Розділ 2 Аналітична геометрія

2.1. Вектори, типи добутків векторів та методи їх розв’язування.

До лінійних належать такі операції над векторами:

• множення вектора на скаляр . При цьому одержаний век­торгеометрично, залежно від величини і знака, розтягується, стискається, змінює напрям ;

• додавання векторів. Дія виконується за правилом паралело- грама або трикутника.

Якщо вектор задано в координатній формі, то у разі множення його на скаляр всі координати треба помножити на цей скаляр, а в разі додавання — додати відповідні його координати.

_Cкалярного добутку векторів: ;

,

Кут  між векторами: ,

умови паралельності та перпендикулярностідвох векторів.

За використання векторного добутку слід пам’ятати, що він некомутативний, а його модуль дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах-множниках. Знаходять векторний добуток за формулою:

.

Геометричний зміст мішаного добутку полягає в тому, що його модуль дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах добутку.

.

У зв’язку з цим його часто використовують для знаходження об’єму і перевірки компланарності трьох векторів

Приклад 1.

Обчислити довжини діагоналей паралелограма, побудованого на векторах і, якщо відомо, що.

Розвязок.

З визначення операції додавання векторів відомо, що одна діагональ паралелограма ,а друга . Довжина довільного вектора визначається за формулою: . Тоді:

Приклад 2.

 Дано три послідовні вершини паралелограма: . Знайти його четверту вершинуі кут між діагоналями.

Розвязок.

Нехай шукана вершина має координати . З умови колінеарності векторіві маємо: , або. Згідно з властивостями паралелограмаабо. Діагоналі паралелограма дорівнюють відповідно сумі і різниці векторів-сторін;. Кут між діагоналями знайдемо за формулою:

соs   отже,.

Приклад 3.

Знайти площу паралелограма, діагоналями якого є вектори і, деі— одиничні вектори, а кут між ними дорівнює 45.

Розвязок.

Позначимо через сторони паралелограма, тоді, звідки. Площу паралелограма знайдемо як модуль векторного добутку. Отже,.

Приклад 4.

Знайти площу і висоту трикутника, вершинами якого є:_{Розвязок}

Знайдемо вектори і. Модуль їх векторного добутку буде дорівнювати подвоєній площі трикутника:звідки.

Знайдемо висоту трикутника: .

Приклад 5.

Для піраміди з вершинами ,обчислити об’єм, площу граніАВС і висоту, опущену на цю грань.

Розвязок.

Знайдемо вектори .Модуль мішаного добутку у шість разів більший за об’єм піраміди, побудованої на векторах, тобтоДля обчислення площі гра- ніАВС знайдемо . Тоді, а висота піраміди .