Розділ ііі. Задачі на максимізацію прибутку

При вирішенні конкретної задачі оптимізації дослідник перш за все повинен вибрати математичний метод, яким призводив би до кінцевих результатів з найменшими затратами на розрахунок або ж давав можливість отримати найбільший обсяг інформації про рішення, що знаходиться. 

Найбільш поширеними методами вирішення оптимізаційних задач є:

• методи дослідження функцій класичного аналізу;

• методи, засновані на використанні невизначених множників Лагранжа;

• варіаційне обчислення;

• динамічне програмування;

• принцип максимуму;

• лінійне програмування;

• нелінійне програмування;

• метод геометричного програмування.

Як правило, не можна рекомендувати який-небудь один метод, який можна використовувати для розв'язку всіх без винятку завдань, що виникають на практиці. Одні методи щодо цього є більш загальними, інші - менш загальними. Нарешті, цілу групу методів (методи дослідження функцій класичного аналізу, метод множників Лагранжа, методи нелінійного програмування) на певних етапах розв'язку оптимального завдання можна застосовувати в комбінації з іншими методами, наприклад динамічним програмуванням або принципом максимуму.

Динамічне програмування слугує ефективним методом вирішення задач оптимізації дискретних багатостадійних процесів для яких критерій оптимальності задається, як адитивна функція критеріїв оптимальності окремих стадій. По суті метод динамічного програмування являє собою алгоритм визначення оптимальної стратегії управління на всіх стадіях процесу.

Найкращим шляхом при виборі методу оптимізації, найбільш придатного для розв'язку відповідного завдання, слід визнати дослідження можливостей і

досвіду застосування різних методів оптимізації.

Розглянемо зазначені методи:

Методи дослідження функцій класичного аналізу являють собою найбільш відомі методи розв'язку нескладних оптимальних завдань. Звичайною областю використання даних методів є завдання з відомим аналітичним вираженням критерію оптимальності, що дозволяє знайти не дуже складне, а також аналітичне вираження для похідних.

• Метод множників Лагранжа застосовують для розв'язку завдань такого ж класу складності, як і при використанні звичайних методів дослідження функцій, але при наявності обмежень типу рівностей на незалежні змінні. До вимоги можливості одержання аналітичних виражень для похідних від критерію оптимальності при цьому додається аналогічна вимога щодо аналітичного виду рівнянь обмежень.

• Методи варіаційного обчислення використовують для розв'язку завдань, у яких критерії оптимальності представляються у вигляді функціоналів і розв'язками яких служать невідомі функції. Такі завдання виникають при статичній оптимізації процесів з розподіленими параметрами або в завданнях динамічної оптимізації.

• Принцип максимуму застосовують для розв'язку завдань оптимізації процесів, описуваних системами диференціальних рівнянь. Гідністю математичного апарата принципу максимуму є те, що розв'язок може визначатися у вигляді розривних функцій; це властиво багатьом завданням оптимізації, наприклад завданням оптимального управління об'єктами, описуваними лінійними диференціальними рівняннями.

• Лінійне програмування є математичним апаратом, що розроблений для рішення оптимальних задач з лінійним виразом для критерію оптимальності та лінійними обмеженнями на область змінних значень. Такі задачі, зазвичай, зустрічаються при вирішенні питань оптимального планування виробництва з обмеженою кількістю ресурсів, при визначенні оптимального плану перевезень (транспортні задачі)  та ін..

• Методи нелінійного програмування застосовують для рішення оптимальних задач з нелінійними цільовими функціями. На незалежні змінні можуть бути накладені обмеження також у вигляді нелінійних співвідношень, що мають вигляд рівностей та нерівностей.

• Геометричне програмування є метод розв'язку одного спеціального класу завдань нелінійного програмування, у яких критерій оптимальності й обмеження задаються у вигляді виражень, що представляють собою суму функцій від незалежних змінних. З подібними завданнями іноді доводиться зустрічатися в проектуванні.

Важливою характеристикою будь-якої оптимальної задачі є її розмірність n, що дорівнює кількості змінних, визначення значень яких необхідно для однозначного визначення стану об’єкта, що оптимізується. Як правило, рішення задач високої розмірності пов’язане з необхідністю виконання великого обсягу обчислення.