практикум по математике часть 3

функции F . В сечении поверхности F плоскостью 3x1 + x2 =15 имеем

параболу, которая в точке L имеет минимум F равный отрезку KL. При пересечении плоскости 4x1 + 7x2 = 71 той же поверхности F имеем в точке T

целевой функции. Поэтому применение метода множителей Лагранжа в данном примере приведет к решению, которое не будет востребовано в данной задаче. Таким образом, здесь остается только геометрический метод решения задачи квадратичного программирования. Аналитический метод, пожалуй, можно свести к задаче определения наибольшего и наименьшего значения функции F в точках О,A, B, C без применения метода множителей Лагранжа.

На рис. 3.5, 3.6 решен пример 3. Результаты решения: точка D обеспечивает min F = TD , точка С дает max F =SC . В сечении поверхности F плоскостью 3x1 + x2 =15 , на которой лежит отрезок АВ, имеем параболу,

которая в точке D принимает минимальное значение min F равное отрезку TD. Этот условный минимум совпадает с минимумом целевой функции нашей задачи.

Обратим внимание, что точка D на рис. 3.6 была найдена в результате касания окружности с центром (0,5) (проекция линии уровня поверхности F )

спрямой АВ (геометрическая интерпретация одного из ограничений задачи квадратичного программирования). Это дает нам основание включить точку D в аналитическое исследование с помощью множителей Лагранжа.

На рис. 3.5,3.6 можно наблюдать точку N (точку касания окружности

сцентром (0,5) и прямой ВС ) и условный экстремум min F = MN . Но не смотря на это, включать точку N в исследования с помощью метода множителей Лагранжа нет смысла, т.к. это решение не будет востребовано:

TD < MN < SC .

Система (3.12) является необходимым условием существования локального условного экстремума, но не достаточным

Каждое решениеполучившуюся точку подозрительную на экстремум – надо проверить с помощью достаточного условия условного экстремума.

Пусть M * (x1* , x*2 )и λ*j – решение системы (3.12). Вычислить определитель:

60

Осталось только найти эти точки.

Точка N- вершина параболы, касающаяся прямой x2 = 0.

Для определения точки касания надо решить систему уравнений

x2 − (x1 − 3)2 + 9 =Cx2 = 0

Но значение С неизвестно. x2 = 0- уравнение касательной к параболе

с угловым коэффициентом равным нулю.

Если x2 = (x1 − 3)2 + C −9 - парабола, то x2/ = 2(x1 −3)- угловой коэффициент всех касательных к параболе в том числе и касательной x2 = 0,

т.е. 2(x1 −3)= 0 , откуда x1 =3.

Координаты точки N: x1N = 3, x2 N = 0 . Подставляя эти значения в формулу для F , имеем

min F = 0 − 32 + 6 3 = 9.

Точка D- точка касания параболы x2 − (x1 −3)2 + 9 =C с отрезком АВ, уравнение которого x1 + 2x2 =15 .

Как уже было определено, угловой коэффициент всех касательных к

max F = 6,125 − 2,752 + 6 2,75 =15,0625

Решение задачи: при x1 = 3, x2 = 0 имеем min F =9 ,

при x1 = 2,75, x2 = 6,125 имеем max F =15,0625

Решение задачи методом множителей Лагранжа.

Геометрический метод подсказывает: точки N и D подозрительны на условный экстремум. Последовательно проверим каждую точку.

Для точки N задача условного экстремума формулируется так. Найти экстремум функции F = x2 − x12 +6x1 при условии x2 = 0. Составляем функцию Лагранжа:

L(x1, x2 ,λ1 )= x2 − x12 + 6x1 + λ1(0 − x2 ).

62

Проверим подозрительную на экстремум точку N (3,0), λ1 =1 с

помощью достаточного условия условного экстремума. Для этого вычислим необходимые частные производные в этой точке и подставим их в определитель третьего порядка.

63