практикум по математике часть 3

только один положительный коэффициент). Разрешающим элементом является a51 = 3.

Вводим в столбец базисных переменных x1 и выводим x5 . Составляем

симплекс-таблицу 3-го шага (табл.1.4). Выполняем перерасчет всех элементов таблицы. Разрешающую строку (третью) делим на разрешающий элемент 3, остальные строки пересчитываем по правилу прямоугольника

(1.9):

опорное решение x*опт = (1,4,0,9,0) является оптимальным, при этом F(x* )= 3 .

Это решение совпало с решением, найденным в примере 1 графическим методом.

20

Замечание. При решении задач симплекс-методом количество симплекс-таблиц может быть различным. В рассмотренном решении оно равно трем.

1.2. Решение типовых задач и примеров

Задача. Для производства различных изделий А и В используются три вида сырья. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья первого вида а1 = 12 кг, сырья второго вида а2 = 4 кг, сырья третьего вида а3 = 3кг. На изготовление единицы изделия В требуется затратить сырья первого вида b1 = 3 кг, сырья второго вида b2 = 5 кг, сырья третьего вида

b3 = 14 кг.

Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве р1 = 264 кг, сырьем второго вида в количестве р2 = 136 кг, сырьем третьего вида в количестве р3 = 266кг.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составит α = 6руб., а изделия В: β = 4 руб.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Решить задачу симплексным методом путем преобразования симплекс

– таблиц и графическим методом.

Решение задачи симплексным методом

Оформим данные задачи в виде таблицы.

Обозначим: x1 (ед) – количество изделий А; x2 (ед) – количество изделий В;

F (тыс.руб) – прибыль от реализации всей продукции. Совокупность неизвестных (x1, x2 ) называется планом производства.

Очевидно, должны соблюдаться условия неотрицательности: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Составим ограничения по сырью каждого вида. На изготовление x1 единиц изделий А расходуется 12x1 (кг.) сырья первого вида, на изготовление x2 единиц изделий В расходуется 3x2 (кг.) сырья первого вида. Полный

21

расход сырья первого вида составит (12x1 + 3x2 ) кг, и не должен превышать запасов этого сырья в количестве 264кг, т.е. 12x1 + 3x2 ≤ 264 .

Аналогично для сырья второго вида 4x1 + 5x2 ≤136 и для сырья третьего вида 3x1 +14x2 ≤ 266 .

По условию задачи прибыль от реализации единицы изделия А составляет 6 тыс.руб., следовательно, прибыть от реализации всех x1 единиц

изделий А составит 6x1 тыс.руб., прибыль от реализации x2 единиц изделий В составит 4x2 тыс.руб.

Общая прибыль от реализации всех изделий F = 6x1 + 4x2 тыс. руб.

F называется целевой функцией задачи. Ее значение должно быть максимальным, т.е. F = 6x1 + 4x2 → max .

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

F = 6x1 + 4x2 → max

Приведем математическую модель (1.12) к каноническому виду. Это достигается введением в каждое неравенство дополнительных неотрицательных переменных: x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0 . Их экономический

смысл – недоиспользованное сырье каждого вида. Получим:

F − 6x1 − 4x2 = 0 → max

Составим симплекс-таблицу 1-го шага (табл. 1.5).

22

При этом опорным решением является x* = (0,0,264,136,266); F(x* )= 0. В последней строке c j имеются две отрицательные оценки, значит,

найденное решение не является оптимальным и его можно улучшить.

В качестве разрешающего столбца берем столбец при x1 , т.к. он

содержит максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке. Для выбора разрешающей строки рассмотрим отношения и выберем минимальное среди них

Составляем симплекс-таблицу 2-го шага (табл. 1.6). Разрешающую строку делим на разрешающий элемент, остальные строки пересчитываем по правилу прямоугольника (1.9).

Например, вычислим элемент, соответствующий элементу 266 таблицы 1.5. Для его нахождения в таблице 1.5 мысленно строим прямоугольник, у которого на концах одной диагонали стоят число 266 и разрешающий элемент, а на другой– числа 264 и 3 (табл. 1.5). Диагональ, содержащая разрешающий элемент, считается главной, а другая побочной. Из произведения элементов по главной диагонали вычитаем произведение элементов побочной диагонали и эта разность делится на разрешающий элемент:

266 12 − 264 3 = 200

12

Полученное число вписываем в таблицу 1.6 на то место, где стояло число 266 в таблице 1.5.

23

Рис.1.5.

Подсчитаем, какое число будет стоять в таблице 1.6 вместо числа «-4» в F –строке таблицы 1.5. На рисунке 1.5 показан прямоугольник, который мы должны мысленно выделить в таблице 1.5. Главная диагональ прямоугольника содержит рассматриваемый элемент «-4» и разрешающий элемент 12, а побочная диагональ – элементы 3 и «-6». В результате вычислений получим число, которое вписываем в F –строку таблицы 1.6

найденное решение не является оптимальным и его можно улучшить.

24

Разрешающим столбцом является столбец с переменной x2 . Для

выбора разрешающей строки рассмотрим отношения и выберем минимальное среди них

что указывает на вторую строку. На пересечении разрешающего столбца при x2 и разрешающей строки при x4 расположен разрешающий элемент и он

равен 4.

Переходим к заполнению симплекс-таблицы по правилам алгоритма симплекс-метода.

Получаем таблицу 1.7

Этой таблице соответствует опорное решение: x* = (19,12,0,0,41)..

Оно является оптимальным, т.к. все коэффициенты F –строки в таблице 1.7 неотрицательны. Максимальное значение целевой функции

F(x* )=162

Оно достигается при x1 =19; x2 =12 . Дополнительные переменные при этом равны: x3 = 0 ; x4 = 0; x5 = 41. Это означает, что сырье первого и

второго видов используется полностью, а сырье третьего вида остается не использованным в количестве 41 кг.

Ответ. Нужно изготовить 19 изделий А и 12 изделий В, чтобы получить максимальную прибыль в размере 162 тыс.руб.

Решение задачи геометрическим методом.

Вернемся к исходной математической модели (1.12) в симметричном

виде:

25

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

F = 6x1 + 4x2 → max

Каждому неравенству модели соответствует полуплоскость. Для графического изображения полуплоскостей строим их граничные прямые по двум произвольно выбранным точкам. Для этого задаем одну из переменных произвольно, а другую вычисляем из соответствующего уравнения.

Уравнения граничных прямых:

Строим прямые по найденным точкам в выбранной системе координат (рис.1.6). Масштабы на осях выбираем, исходя из удобств построения. (Чертеж должен быть достаточно крупным, рекомендуем выполнять его на отдельной странице).

26

Чтобы определить полуплоскость, соответствующую каждому неравенству, подставим в это неравенство пробную точку, например, точку

(0;0). Получим:

Все неравенства верны. Это означает, что каждому неравенству соответствует полуплоскость, содержащая точку (0;0). На чертеже эти полуплоскости отмечены штриховкой.

Общая часть всех полуплоскостей, с учетом условий неотрицательности x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, образует замкнутый выпуклый

многоугольник OABCD. В данной задаче это пятиугольник, отмеченный на чертеже штриховкой по краям.

Множество внутренних и граничных точек многоугольника соответствует множеству всех допустимых планов. Опорные планы находятся в вершинах многоугольника, среди них содержится оптимальный.

Для нахождения оптимального плана обратимся к целевой функции

F = 6x1 + 4x2 .

На графике целевая функция изображается с помощью линий уровня:

F = C (const).

Придавая постоянной С различные значения, получим множество линий уровня 6x1 + 4x2 =С (1.14)

Построим нормальный вектор gradF , и перпендикулярно к нему через

точку (0;0) проведем прямую. Уравнение этой прямой :

6x1 + 4x2 = 0

Равенство (1.14) описывает семейство параллельных прямых, перпендикулярных к вектору gradF = (6; 4). Координаты вектора равны

коэффициентам при неизвестных в целевой функции F.

Если эту прямую перемещать параллельно самой себе в направлении вектора gradF , то получим множество линий уровня, на которых значение

целевой функции F возрастает.

Своего максимального значения F достигает на прямой, проходящей через точку С. Значение функции F , вычисленное в точке С, будет наибольшем для данной области, т.к. при дальнейшем перемещении линии уровня не будут иметь общих точек с областью допустимых планов

Найдем координаты точки С, заметив, что она лежит на пересечении прямых (l1) и (l2). Решим систему уравнений:

27

максимальное значение целевой функции:

Fmax = 6 19 + 4 12 =162 .

Итак, Fmax =162 при x1 =19; x2 =12 , что соответствует решение задачи симплекс-методом.

1.3. Задания на контрольную работу

Задача. Предприятию нужно перевести со склада по железной дороге изделия трех различных видов: Изделий I –го вида не более p1, изделий II-го вида не более p2, изделий III-го вида не более p3.

Подразделение железной дороги может для этой перевозки выделить специально оборудованные вагоны двух типов А и В. Для полной загрузки вагона следует помещать в него изделия всех трех видов. При этом в вагон типа А входят a1 изделий I-го вида, a2 изделий II-го вида, a3 изделий III-го вида; в вагон типа B входят b1 изделий I-го вида, b2 изделий II-го вида, b3 изделий III-го вида.

Экономия от перевозки груза в вагоне типа А составляет α руб., в вагоне типа В – β руб.

Сколько вагонов каждого типа следует выделить для перевозки, чтобы суммарная экономия от перевозки груза была наибольшей?

Задачу решить симплекс методом путем преобразования симплекстаблиц и геометрическим методом.

28

2. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

2.1.Краткие сведения из теории

Транспортная задача – одна из наиболее распространенных задач линейного программирования, имеющая обширные практические приложения и не только к проблемам транспорта. Ее цель – разработка наиболее рациональных путей и способов перевозок однородного или взаимозаменяемого продукта из пунктов производства в пункты потребления, устранение чрезмерно дальних, встречных и повторных перевозок.

2.1.1. Математическая постановка задачи

Классическая транспортная задача линейного программирования формулируется следующим образом.

Имеется m пунктов отправления: A1, A2 ,..., Am , в которых сосредоточены запасы какого-то однородного груза (товара) в количестве соответственно a1 , a2 ,..., am единиц. Кроме того, имеется n пунктов назначения: B1 , B2 ,..., Bn , подавших заявки на соответственно на b1 ,b2 ,...,bn

единиц товара.

Предполагается, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов:

Известна стоимость cij перевозки единицы товара от каждого пункта

Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз был бы вывезен, все заявки были выполнены, и при этом общая стоимость всех перевозок была минимальна.

При такой постановке задачи показателем эффективности плана перевозок является стоимость, потому поставленную задачу называют транспортной задачей по критерию стоимости.

29