C2-2011

4.3. Координатный метод

Координатный метод является естественным продолжением векторного метода, то есть вектор пространства есть упорядоченная тройка действительных чисел (декартовых прямоугольных координат вектора в ортонормированном базисе).

Рациональное расположение фигуры относительно системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях), позволяет при решении задач упростить вычисления.

координаты вершин многогранников

вдекартовой системе координат

Вданном пункте представлены в общем виде координаты вершин некоторых видов многогранников, наиболее часто используемых в задачах.

1. Куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a.

Пусть начало координат находится в точке A, направление координатных осей показано на рис. 125. Тогда вершины куба имеют координаты:

A(0;0;0), B(0;a;0), C(a; a;0),

D(a;0;0), A1(0;0; a), B1(0; a;a) ,

C1(a;a; a), D1(a; 0; a) .

z y

B1 C1

Рис. 125

Такое же расположение системы координат удобно использовать для прямоугольного параллелепипеда. Еще один вариант расположения прямоугольного параллелепипеда (куба) относительно декартовой системы координат связан с размещением начала координат в точке пересечения диагоналей основания.

2. Правильная треугольная призма

ABCA1B1C1 , сторона основания которой равна a, а боковое ребро b . Пусть начало координат находится в точке A, ось x направлена вдоль ребра AC , ось y про-

ходит через точку A перпендикулярно AC , ось z направлена вдоль бокового ребра AA1 (см. рис. 126). Тогда вершины призмы имеют координаты:

Другой вариант расположения правильной треугольной призмы относительно прямоугольной декартовой системы координат показан на рисунке 127.

B1

A1

z

C1 y

B

A

O

C x

Рис. 127

3. Правильная шестиугольная приз-

ма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , сторона осно-

вания которой равна a, а боковое ребро b . Пусть начало координат находится в точке A, ось x направлена вдоль ребра AF , ось y проходит через точку A перпендикулярно AF, ось z направлена вдоль бокового ребра AA1 (см. рис. 128). Тогда вершины призмы имеют координаты:

На выносном чертеже основания AD

BE CF 2a, AC CF2 AF2 a3.

Другой вариант расположения правильной шестиугольной призмы относительно прямоугольной декартовой системы координат представлен на рисунке 129.

равна a, а высота h.

Обычно используют один из двух вариантов расположения системы координат.

4.1.Пусть начало координат находится

вточке A, ось x направлена вдоль ребра AC , ось y проходит через точку A пер-

пендикулярно AC , ось z проходит через точку A перпендикулярно плоскости ABC (см. рис. 130). Тогда вершины пирамиды имеют координаты:

4.2.Пусть начало координат находится

вцентре треугольника ABC в точке O, ось x проходит через точку O параллельно ребру AC , ось y проходит через

точку O перпендикулярно AC , ось z проходит через точку O перпендикулярно плоскости ABC (см. рис. 131). Тогда вершины пирамиды имеют координаты:

Еще один вариант расположения правильной треугольной пирамиды относительно прямоугольной декартовой системы координат представлен на рисунке

132.

z

O

C

x

Рис. 132

5. Правильная четырехугольная пи-

рамида MABC, сторона основания которой равна a, а высота h.

Обычно используют один из двух вариантов расположения системы координат.

5.1.Пусть начало координат находится

вточке A, ось x направлена вдоль ребра AD, ось y – вдоль ребра AB , ось z

проходит через точку A перпендикулярно плоскости ABC (см. рис. 133). Тогда вершины пирамиды имеют координаты:

5.2.Пусть начало координат находится

вцентре основания в точке O, ось x проходит через точку O параллельно ребру AD, ось y проходит через точку

O параллельно ребру AB , ось z проходит через точку O перпендикулярно плоскости основания (см. рис. 134). Тогда вершины пирамиды имеют координаты:

18.02.2011

6. Правильная шестиугольная пи-

рамида MABCDEF , сторона основания которой равна a, а высота h. Пусть начало координат находится в точке A, ось x направлена вдоль ребра AC , ось y проходит через точку A перпендикулярно AC , ось z проходит через точку A перпендикулярно плоскости ABC (см. рис. 135). Тогда вершины пирамиды имеют координаты:

Еще один вариант расположения правильной шестиугольной пирамиды относительно прямоугольной декартовой системы координат показан на рисунке 136.

73

B x

Рис. 136

4.4.Опорные задачи

1.Координаты точки M(x, y, z), де-

лящей отрезок M1M2 между точками

M1(x1, y1, z1) и M2 (x2 , y2 , z2 ) в отноше-

нии M1M :MM2 , определяются формулами

x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 .

Доказательство. Рассмотрим векторы

M1M {x x1, y y1, z z1},

MM2 {x2 x, y2 y, z2 z}.

Из равенства M1M MM1 получаем систему для координат векторов

x x1 (x x2 ),

y y1 (y y2 ),

z z1 (z z2 )

или

2. Трехгранным углом называется фи-

гура, состоящая из нескольких лучей OA, OB, OC , выходящих из одной точки O и не лежащих в одной плоскости, и из плоских углов AOB, BOC, AOC между этими лучами (см. рис. 137). Точка O называется вершиной трехгранного угла,

лучи OA, OB, OC – ребрами, части плоскостей, заключенные между ребрами, называются гранями, а углы AOB, BOC, AOC , образованные ребрами, лежащими в одной грани, называются плоскими углами трехгранного угла.

Рис. 137

Теорема. Во всяком трехгранном угле, плоские углы которого равны , и , а двугранные углы, противолежащие им, соответственно равны A , B и C ,

имеют место следующие равенства:

cos C cos cos cos , sin sin

cos B cos cos cos , sin sin

cos A cos cos cos .

Доказательство. Докажем, например, первое равенство. Пусть в трехгранном

плоскость перпендикулярную этому ребру. Пусть B1 и A1 точки пересечения этой плоскостью ребер OB и OA, соответственно. По условию линейный угол B1C1A1 двугранного угла с ребром OC

равен C . Пусть OC1 x. В треугольни-

B1A12 OB12 OA12 2 OB1 OA1 cos ;

B1A12 C1B12 C1 A12 2 C1B1 C1 A1 cos C .

Приравняем правые части равенств и подставим выражения OB1, OA1, C1B1,

(xtg )2 (xtg )2 2 x2 tg tg cos C .

После преобразований получаем доказываемую формулу:

cos C cos cos cos .

Аналогично доказываются два других равенства. Данную теорему называют «тео-

ремой косинусов для трехгранного угла».

3. Теорема («о трех косинусах»).

Пусть величина угла между наклонной l и ее проекцией на некоторую плоскость, величина угла между проекцией наклонной l и прямой, проведенной через основание той же наклонной в плоскости проекции, и величина угла между наклонной l и прямой, проведенной через ее основание в плоскости проекции. Тогда справедливо следующее соотношение:

cos cos cos .

Доказательство. Выберем точку A

на прямой l, пересекающей плоскость в точке B (см. рис. 138), и спроектируем ее на плоскость ( AO ). Пусть точка D основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC. Тогда в

D C

Рис. 138

соответствии с условием ABO ,

гда из треугольника AOB BO ABcos ,

следних двух равенств следует:

cos cos cos .

Замечание. Теорема «о трех косинусах» является следствием «теоремы косинусов для трехгранного угла» в случае, если C 90 .

4.Теорема («о трех синусах»). Пусть

водной из граней двугранного угла, величина которого равна , проведена прямая, составляющая с ребром двугранного угла угол (0 /2), – величина

угла между этой прямой и другой гранью (см. рис. 139). Тогда справедливо следующее соотношение:

sin sin sin .

Доказательство. Пусть AD

A

данная в условии прямая; точка C основание перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость , и ABC линейный угол двугранного угла BD (см. рис. 139). Тогда в соответствии с условием

ABC , ADB и ADC .

Пусть AD x. Тогда для прямоугольных треугольников справедливо: для тре-

треугольника ADC

sin AC: AD sin sin .

Следовательно, sin sin sin .

5. Если некоторая прямая образует с тремя попарно перпендикулярными прямыми углы , и , то выполняется равенство

cos2 cos2 cos2 1.

Доказательство. Достаточно рас-

смотреть прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с диагональю DB1 1.

Пусть CDB1 , ADB1 ,

B1DD1 (см. рис. 140). Тогда в соответствующих прямоугольных треугольниках CD cos , AD cos , DD1 cos . Так как DB12 CD2 AD2 DD12 , то имеем

cos2 cos2 cos2 1.

A

D

Рис. 140

В качестве следствия получим

sin2 sin2 sin2 2.

6. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Sпр S cos ,

где S – площадь многоугольника, лежащего в плоскости , Sпр – площадь его ортогональной проекции на плоскость .

Доказательство. Так как много-

угольник можно разбить на конечное число треугольников, и фигуру можно параллельно перенести в равную ей фигуру, то достаточно рассмотреть треугольник, через одну сторон которого проходит плоскость (например, через сторону AB ) (см. рис. 141).

C

A

Рис. 141

Если D – проекция точки C на плоскость , то ABD – проекция треугольника АВС на эту плоскость. Пусть СМ – высота в треугольнике АВС, тогда по теореме о трех перпендикулярах DM AB.

Обозначим CMD . Имеем последовательно площади треугольников

7. Если вершины А, В, D и A1 паралле-

лепипеда ABCDA1B1C1D1 являются вершинами тетраэдра, то имеет место равенство

1

VABDA1 6VABCDA1B1C1D1 .

B

Рис. 142

Доказательство. Тетраэдр и параллелепипед имеют одну высоту A1M h (см. рис. 142). Для площадей оснований име-

8. Если вершины А, В, С и D параллелепипеда AKBMQCLD являются вершинами тетраэдра, то имеет место равенство

1

VABCD 3VAKBMQCLD .

Доказательство. Так как объемы угловых тетраэдров равны и составляют шестую часть от объема параллелепипеда V, то имеем

9. Пусть a и b – длины двух противоположных ребер тетраэдра, d – расстояние, – угол между ними. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле

V1 abdsin . 6

D

Q

E

L

C

M

A

B

K

Рис. 143

Доказательство. Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBMQCLD (см. рис. 143), проводя через каждое ребро плоскость, параллельную противоположному ребру. Пусть AB a, CD b, тогда площади граней AKBM и

LCQD равны 1 absin , расстояние меж- 2

ду ними d. Тогда объем параллелепипеда

равен 1 abd sin . Объем пирамиды

2

ABCD составляет 1 от объема паралле- 3

лепипеда, то есть равен 1abd sin . 6

10. Пусть q – площадь одной из боковых граней треугольной призмы, d – расстояние от противоположного ребра до этой грани. Тогда объем этой призмы может быть найден по формуле

V1 qd . 2

Доказательство. Пусть площадь грани AA1D1D равна q, а расстояние от СС1 до этой грани равно d (см. рис. 144). Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен qd . Так как объем этого параллелепипеда в два раза больше объема призмы ACDA1С1D1 , то объем этой призмы равен

1 qd .

2

C1 D1

B1

A1

C

D

B

A

Рис. 144

11. Пусть p и q – площади двух граней тетраэдра, a – длина общего ребра,– величина двугранного угла между этими гранями. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле

V 2pqsin .

3a

Доказательство. Пусть площади граней АВС и ACD тетраэдра ABCD равны p и q соответственно, – угол между

Тогда объем пирамиды ABCD равен

B A

OH

C

Рис. 145

12. Пусть в пирамиде MABC на ребрах MA, MB и MC или на их продолжениях

взяты соответственно точки A1, B1, C1

MC1 :MC n. Тогда объемы пирамид MA1B1C1 и MABC связаны формулой

VMA1B1C1 k m n VMABC .

площадей треугольников с общим углом имеем SMA1B1 k m SMAB . Для тетраэдров

MA1B1C1 и MABC с основаниями MA1B1 и MAB получаем

1

VMA1B1C1 3C1H SMA1B1

1n CF k m SMAB k m n VMABC . 3

13.Объем треугольного призматического тела ABCA1B1C1 , ограниченного

треугольниками ABC и A1B1C1, можно вычислить по формуле

где плоскость АВС перпендикулярна ребрам призматической поверхности,

AA1 BB1 CC1.

Доказательство. 1. Разделим призма-

тическое тело ABCA1B1C1 на три части плоскостями A1B0C1 и A1B0C0 (парал-

лельно ABC): треугольную призму ABCA1B0C0 , две треугольные пирамиды

A1B0C0C1 и A1B0B1C1 (см. рис. 147).

2. Пусть SABC S , AA1 a, BB1 b,

CC1 c . Тогда объем прямой призмы

ABCA1B0C0 равен aS .

C1

B1C2

B0C0

A1

BC

A

A3

B3C3

Рис. 147

3. Для пирамиды A1B0C0C1 , принимая треугольник A1B0C0 за основание, объем

равен 1(c a)S . 3

4. Пусть C0C2 B0B1. Тогда для пирамид A1B0B1C1 и A1B0C2C0 с общей вер-