C2-2011

C1

B1D1

A1

C

BD

A

Рис. 57

Решение. Так как прямая B1D перпендикулярна проведенной плоскости (на рис. 57 эта плоскость изображена условно), а прямая CD AA1D1 (CD D1D так как призма и CD AD так как ABCD прямоугольник), то угол между рассматриваемыми плоскостями равен углу между прямыми B1D и CD.

Тангенс этого угла найдем из прямо-

Так как скрещивающиеся прямые A1C1 и BD лежат в параллельных плоскостях, то расстояние между ними равно расстоянию между этими плоскостями. Значит высота и боковое ребро призмы равны

Ответ: 1,2.

векторно-координатный метод

Применение данного метода позволяет свести решение исходной задачи к задаче о нахождении угла:

а) между векторами нормалей данных плоскостей;

б) между направляющими векторами скрещивающихся прямых а и b, лежащих в рассматриваемых плоскостях и перпендикулярных к их линии пересечения.

● использование векторов нормалей пересекающихся плоскостей

Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости – ее вектор нормали.

Известно, что каждое уравнение пер-

n {p, q, r} является вектором нормали. Задачу о нахождении угла между

удобнее свести к задаче о нахождении

n2 {4; 4; 2} – векторы нормалей плоскостей 2x 3y 6z 5 0 и 4x 4y 2z 7 0 соответственно.

Тогда по формуле (1) косинус угла между данными плоскостями равен:

| c | 1, a b a c b c 0.

B1

D1

B

AC

D

Рис. 58

Векторы BD1 и CA1 являются векто-

рами нормали плоскостей AB1C и BC1D

соответственно, так как BD1 AB1C и CA1 BC1D. Тогда

BD1 a b c , CA1 a b c , BD1 CA1 (a b c)( a b c)

a2 b2 c2 1,

arccos1 , где искомый угол. 3

Ответ: arccos1 . 3

Пример 55. В правильной пирамиде MABCD (M вершина) высота и сторона основания равны 4. Точка F середина ребра MC . Плоскость проходит через середину ребра AM перпендикулярно прямой BF . Найти угол между: а) плоскостью и плоскостью основания; б) плоскостью и прямой DM .

Решение. Так как прямая BF , то

ее направляющий вектор BF является вектором нормали плоскости (см. рис. 59). Точка O основание высоты MO,

следовательно, вектор OM является вектором нормали плоскости ABC. Тогда получим

Соответственно, для нахождения угла между прямой DM и плоскостью воспользуемся формулой:

дующим образом. Пусть начало координат находится в центре основания в точке O, ось x проходит через точку O параллельно ребру AD, ось y проходит через точку O параллельно ребру AB , ось z проходит через точку O перпендикуляр-

Рис. 59

Найдем координаты точек и векторов:

O(0;0;0), B( 2;2;0), C(2; 2;0), M(0;0;4), F(1;1; 2), D(2; 2;0).

Тогда

BF {3; 1; 2}, | BF | 9 1 4 14 ,

OM {0;0;4}, |OM | 4,

DM { 2; 2; 4}, | DM | 4 4 16 26 .

Используя формулы (*) и (**), получим

sin ( ,DM) |3 ( 2) ( 1) 2 2 4| 0. 14 26

Ответ: ( , ABC) arccos 2 , 14

( ,DM) 0.

Приведем один из способов получения уравнения плоскости, если известны координаты трех ее точек M(xM , yM , zM ),

N(xN , yN , zN ), P(xP , yP, zP ), не лежащих на одной прямой. Для этого нужно взять в общем виде уравнение плоскости ax by cz d 0, в котором a,b, c, d –

неизвестные числа. Подставив в него координаты точек M, N, P, получим систему уравнений:

axM byM czM d 0,axN byN czN d 0,

axP byP czP d 0.

Решив ее, найдем a pd,b qd, c rd

ставив в исходное уравнение и сократив на d 0, получим уравнение

px qy rz 1.

Выведем, например, в выбранной системе координат уравнение плоскости, проходящей через точки B, D и C1 (см.

рис. 60), если ребро куба равно 1.

Для этого выразим координаты точек:

B(0;1;0), D(1;0;0), C1(1;1;1). Записав в

общем виде уравнение плоскости ax by cz d 0 и подставив в него координаты этих точек, получим:

a 1 b 1 c 1 d 0. (для точки С1)

Отсюда b d, a d и c d . Уравне-

ние плоскости BC1D имеет вид

18.02.2011

dx dy dz d 0 или x y z 1 0

после сокращения на d 0.

В задачах на вычисление угла между пересекающимися плоскостями в общем случае уравнение плоскости находить не требуется. Координаты вектора нормали можно вывести, если известны координаты трех точек плоскости M, N, P, не лежащих на одной прямой. Для этого нахо-

дим координаты двух векторов плоскости a MN {a1, a2, a3} и b MP {b1, b2, b3}.

Предположим, что вектор с координатами n {p, q, r} (здесь p, q, r – неизвестные числа, которые нужно найти) перпендикулярен любому вектору плоскости

, т.е. a и b в том числе. Его координаты ищутся из условий равенства нулю скалярных произведений n с векторами

a и b из следующей системы уравнений:

Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости , бесконечно много. Выразив, например, из системы координаты p и q через r, выберем не-

нулевой вектор n {p(r);q(r); r}, взяв в качестве r какое-нибудь число (обычно берут так, чтобы в координатах не было дробей или радикалов).

Пример 56. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плос-

костями AD1E и D1FC, где точки Е и F

– середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.

Решение. Введем прямоугольную системукоординат, как указано на рисунке61.

Найдем вектор n {x, y, z}, перпенди-

кулярный плоскости AD1E. Этот вектор

33

должен быть перпендикулярным векто-

рам AE и АD1 , поэтому

n {1; 2; 1}. Найдем вектор m {x, y, z},

перпендикулярный плоскости D1FC . Этот вектор должен быть перпендикуляр-

n m 1 2 2 1 ( 1) 1 3, | n| 6 ,

| m| 6 , то cos 0,5, откуда 60 .

Ответ: 60 .

Пример 57. Дан куб ABCDA1B1C1D1 .

Найти угол между плоскостями MNP и AKD, где точки M – центр грани AABB1 1 ,

N – середина ребра B1C1 , K – середина ребра CC1 , P – делит ребро DD1 в от-

ношении DP:PD1 1:2.

Решение. Введем систему координат следующим образом. Точку A примем за

18.02.2011

начало координат. Оси Ax , Ay и Az на-

правим вдоль ребер куба AD, АВ и AA1 соответственно (см. рис. 62). Пусть ребро куба равно 1. Выразим координаты точек:

AD {1;0;0}, AK {1;1;0,5}.

Теперь найдем координаты векторов n1 и n2 , перпендикулярных плоскостям MNP и AKD соответственно. Начнем с вектора n1 {p1, q1, r1}. Его координаты ищутся из условий равенства нулю скалярных произведений n1 с векторами

MN и MP . Получаем систему

Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости MNP, бесконечно много. Выберем из данного мно-

плоскости AKD. Его координаты ищутся из условий равенства нулю скалярных

произведений n2 с векторами AD и AK .

34

Получаем систему

Возьмем r2 2. Тогда n2 {0; 1; 2}. Для нахождения угла между плоско-

стями MNP и AKD воспользуемся форму-

лой (1):

cos (MNP, AKD)

Отсюда (MNP, AKD) arccos 125. 134

Ответ: arccos 125. 134

● использование направляющих векторов скрещивающихся прямых

Ненулевой вектор q называется направляющим вектором прямой l, если он лежит либо на самой прямой l, либо на прямой, параллельной ей.

Пусть p {x1, y1, z1} и q {x2, y2, z2}

– направляющие векторы прямых а и b, тогда угол между этими прямыми (пересекающимися или скрещивающимися) находят по формуле:

Пример 58. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB: AD 1:2 (см. рис. 63). Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом, равным 60 . Точка R – середина ребра MC . Найти угол между плоскостями MAC и ADR.

Решение. Если считать, что AB a, тогда AD 2a, и все линейные элементы в пирамиде будут зависеть от одного параметра а. Поэтому, не теряя общности, с точностью до подобия можно принять AB 4. Тогда AD 8, OM 215, где

О – точка пересечения диагоналей прямоугольника, лежащего в основании.

Вершина M пирамиды MABCD проектируется в точку O. Введем систему координат следующим образом. Точку O примем за начало координат. Оси Ox и Oy направим параллельно сторонам основания, а ось Oz вдоль высоты пирамиды OM .

z

Ox

A D

Рис. 63

Выразим координаты точек:

D(4; 2;0), M(0;0;215), R(2;1; 15).

Отрезок AR является высотой в равностороннем треугольнике АМС, поэтому прямая МR перпендикулярна ребру AR искомого двугранного угла. Проведем в треугольнике ADR высоту DH. Тогда задача сведется к нахождению угла между прямыми МR и DH.

Найдем координаты векторов:

k 0,8 и DH { 3,2; 2,4; 0,815}.

Так как MR и DH – направляющие векторы прямых МR и DH соответственно, то для нахождения угла между этими прямыми воспользуемся формулой (2):

Значит, угол между прямыми МR и DH, и угол между данными плоскостями

равен . 4

Ответ: . 4

метод опорных задач

Используем следующие опорные задачи (теоремы):

а) теорема о площади ортогональной проекции многоугольника;

б) теорема «косинусов для трехгранного угла»;

в) теорема «о трех синусах»; г) формулы, выражающие синус или

косинус искомого угла через расстояния от точки до плоскости и до прямой.

● применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника

При применении этого метода угол между плоскостями и можно вычислить, используя формулу

где S – площадь многоугольника, лежащего в плоскости , Sпр – площадь его ортогональной проекции на плоскость .

B1 C1

A1 D1

Следовательно, arccos 3 . 3

B1

A1C1

D1

B

AC

D

Рис. 65

Ответ: arccos 3 . 3

Обычно рассматриваемый в этом пункте метод применяют при вычислении угла между плоскостью сечения и плоскостью какой-либо грани много-

гранника (часто в качестве такой грани выступает основание пирамиды или призмы). Так поступают в случаях, когда нахождение Sпр и Sсечения является более простой задачей, чем непосредственное вычисление двугранного угла , сопряжённое с построением на чертеже его линейного угла.

Пример 61. В правильной шестиугольной призме ABCDEFABC1 1 1DE1 1F1,

стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти угол между плоскостями BAD1 1 и AAE1 1.

Решение. Заметим, что четырехугольники BADC1 1 и AAE1 1E сечения данной призмы плоскостями BAD1 1 и AAE1 1 (см.

рис. 66). Так как BA, DE1 1 и CF перпен-

дикулярны плоскости AAE1 1 (они пер-

пендикулярны AA1 и AE ), то трапеция

AAEG1 1 , где G середина отрезка AE ,

есть ортогональная проекция трапеции BADC1 1 на плоскость сечения AAE1 1E.

а площадь равна

В прямоугольной трапеции AAEG1 1

основания равны A1E1 3, AG 3 , а 2

высота AA1 2. Ее площадь равна

В соответствии с формулой (3) находим:

cos (BA1D1, AA1E1)

SAA1E1G 33 : 319 12 .

SBA1D1C 2 4 19

Значит, искомый угол равен arccos 12 . 19

Ответ: arccos 12 . 19

● применение «теоремы косинусов для трехгранного угла»

Пример 62. В правильной треугольной призме ABCABC1 1 1 все стороны равны 1.

Найти косинус угла между плоскостями

ABC1 и ABC1 1 .