Part_1-3

33

Результати диференціювання приводяться до наступної зручної розрахункової форми:

(враховуючи, що всі розрахунки виконані для судна-прототипу):

Отримані формули для визначення dP, [dPi]0 і ∂∂DF дозволяють розрахува-

ти приріст dD за формулою:

dD = ηн {dP + [dF]0}, а водотоннажність як

D = D + dD .

Контрольні запитання

1.Що являють собою вимірники мас і модулі?

2.Як визначаються маси енергетичної установки і палива?

3.Для чого вводиться в навантаження запас водотоннажності?

4.Як забезпечується запас остійності проекту судна?

32

Аналогічно для обчислення приросту маси палива і забезпечення:

[dPз ]0 = Pз dqз ; qз

Після визначення часткових приростів розпишемо навантаження мас за розділами:

– у зальному вигляді Pi = Pi +[dPi ]0 + K DPi dD , або

Pк = Pк +[dPк ]+ PDк dD ;

Pзв = Pзв +[dPзв ]0 + PDзв dD ;

Pоб = Pоб +[dPоб ]0 + 23 PDоб dD ;

Pey = Pey +[dPey ]0 + 23 PDey dD ;

Pп = Pп +[dPп ]0 + 23 PDп dD ; Pз = Pз +[dPз]0 + 23 PDз dD .

Сума вантажів повинна дорівнювати водотоннажності, яка обчислена як

D = D + dD , тобто D = ΣPi + Pв з точністю ±(1 – 2)% від D.

Для визначення коефіцієнта Нормана треба обчислити ще ∂∂DF .

Запишемо вихідний вираз для F.

F = ΣP = Pк + Pоб + Pеу + Pп + Pз + Pзв, або

F = aкD + qобD2 / 3 + qеу D2С/ 3v3 + qп D2С/ 3v2 RS + qзD2 / 3 + aзвD ;

Візьмемо з цього виразу часткову похідну по D.

31

[dPк ]0 = Pк − Pк = (aк −aк ) D;

[dPзв]0 = Pзв − Pзв = (aзв −aзв ) D; [dPоб]0 = Pоб − Pоб = (qоб −qоб ) D 2 / 3;

[dPey ]0 = qey vС3 −qey vС3 D 2 / 3;

[dPп]0 = Pп − Pп = qп vС3 Rs −qп vС3 Rs D 2 / 3; [dPз]0 = Pз − Pз = (qз −qз ) D 2 / 3;

Частковий приріст водотоннажності [dD]0 = [dF]0 + dP, а повний приріст

– dD = [dD]0 ηн . У випадку, коли вантажопідйомність судна проекту і прототипу однакова, повний приріст водотоннажності визначається як dD = [dF]0 ηн. Якщо у проекта і прототипа різниця тільки в вантажопідйомнос-

ті, то приріст водотоннажності dD = dPв ηн.

ІІ-й спосіб – обчислення часткового приросту [dF ]0 за формулами дифе-

ренціювання:

далі аналогічно для

Помножимо 2 останні члена рівняння на vv і СС , тоді

30

Останній вираз являє собою диференціальне рівняння мас у формі Нормана, де

dD – пошукуваний приріст водотоннажності судна-прототипу, обумовлений зміною Рі , а, b, с, тобто величинами dРі , dа, db, dс, …, які є елементами завдання; dP – приріст умовно постійних мас, незалежних від водотоннажності, в першу чергу вантажопідйомності судна-прототипу; [dF]0 – приріст усіх змінних мас, обумовлений зміною швидкості ν , дальності плавання RS, вимірників мас і інших характеристик судна-прототипу.

З виразу для ηн = 1 1 − ∂∂DF

тим більшою, чим вища частка змінних мас у водотоннажності, тобто у суден з відносно важкими корпусами, у швидкісних суден з потужними СЕУ, та у суден з великою дальністю плавання.

Так для танкерів ηн = 1,2 – 1,7; для УСВ ηн = 1,5 – 1,8; для бойових кораб-

лів ηн ≥ 3.

Основним загальним наслідком використання диференціального рівняння мас Нормана є положення, згідно з яким приріст водотоннажності судна dD завжди перевищує прирости dP і [dF ]0 статей, що входять у його навантажен-

ня. Це видно з виразу dD = ηн {dP + [dF]0}.

Таким чином, за допомогою рівняння мас Нормана водотоннажність проекту знаходиться як

D = D + dD .

Приріст вантажів dP , що задаються, визначається як різниця між ванта-

жопідйомністю проекту судна та прототипу, наприклад, dP = Pв − Pв .

Враховуючи, що [dF ]0 = ∑[dPi ]0 , визначимо частковий приріст [dPi ]0 ,

двома способами: способом кінцевих різниць; за допомогою формул диференціювання.

Перший спосіб обчислення часткового приросту [dPi ]0 способом кінцевих різниць виражається формулами.

29

За допомогою диференціального рівняння мас Нормана можна визначити приріст водотоннажності dD судна-прототипу, викликаний зміною технікоексплуатаційних показників його порівняно з проектом.

Загальний вигляд рівняння мас у диференціальній формі такий

D = D + dD .

Приріст водотоннажності є функцією величин, які входять у рівняння мас: dD = f(dPв, dν, dL…).

Рівняння мас Нормана отримують диференціюванням вихідного рівняння мас у алгебраїчній формі, написаного відповідно до навантаження суднапрототипу, в якому всі маси виражені у функції водотоннажності. У цьому рівнянні є змінні складові F і постійні (задані) Р.

D = F + P,

де F = ∑Pi =f(D, ν, L, a, q,…).

Постійні маси Р = Рв + Рб, а іноді і Реу.

Запишемо це рівняння у вигляді P = D – F(D, ν, RS, a, q,…), і продиференцюємо його

де [dF]0 – повний диференціал функції F (тобто усіх змінних мас по усім незалежним змінним ак, qоб, ν, L,… , окрім D).

З рівняння 2.4 можна записати, що пошукуваний приріст водотоннажності буде

і визначимо їх значення.

Отримане рівняння в вигляді nD – mD2/3 – Pв = F(D) можна вирішувати одним з наведених вище способів.

Після вирішення рівняння визначаються маси розділів за тими залежнос-

Перевіркою правильності вирішення рівняння мас буде виконання рівно-

сті D = Pк + Pоб + Pеу + Pп + Pз + Pзв+ Pв.

Після перевірки складається таблиця навантаження.

2.3.4 Рівняння мас у диференціальній формі Нормана.

Рівняння мас у алгебраїчній формі придатні для визначення пошукуваних елементів суден як при наявності, так і при відсутності близького суднапрототипу. Використання рівнянь мас у диференціальній формі можливе тільки при наявності близького прототипу, до елементів якого вносяться виправлення, які враховують різницю техніко-експлуатаційних характеристик прототипу та проекту: по вантажопідйомності, швидкості руху, довжині кругового рейсу, вимірників мас тощо.

З диференціальних рівнянь мас найбільше застосування мають рівняння Нормана та Бубнова. Розглянемо рівняння Нормана.

27

де і – номер наближення ; Di – початкове наближене рішення (може прийматися D0); Di+1 – нове значення водотоннажності, яке буде ближчим до кореня рівняння, ніж Di .

На наступному кроці отримане значення Di+1 підставляють замість Di і визначають Di+2. Цю процедуру продовжують до тих пір, доки різниця між двома останніми значеннями Di і Di+1 не стане меншою заданої точності розрахунку (0,0001D0). Останнє значення Di+1 , буде коренем рівняння мас.

2.3.3 Алгебраїчне рівняння мас, виражених в функції головних розмірів

Це рівняння записують, як прийнято, у загальному вигляді D = ΣPi + P і змінні маси Рі виражають у функції головних розмірів (див. п.2.2). Тоді воно приймає вигляд

У цьому рівнянні qп вибирають за паспортними даними двигуна. Двигун вибирається за потужністю, визначеною адміралтейською формулою, яка використовувалася у рівнянні мас, виражених в функції водотоннажності.

Якщо рівняння мас, виражених в функції водотоннажності, не вирішува-

Перегрупуємо рівняння мас для зручності його вирішення:

+ kмзkдопqп Cνе2е RS + qз + Рв.

26

F(D), т

5 4

3

1

– F(D), т

Рис. 2.1. Графік визначення кореня рівняння мас.

Вирішення рівняння мас підстановкою Крилова. Рівняння мас, як і в попередньому випадку, записується у вигляді

D − mn D2 / 3 − Pnв = 0 .

Позначаємо через α = mn і A = Pnв , тоді D – αD2/3 = A.

Виконуємо підстановку Крилова D1/3 = αy і отримуємо:

α3y3 – αα2y2 = A, або y3 − y2 = αA3 .

По таблиці квадратів і кубів чисел знаходимо таке значення y, щоб різни-

ця його кубу і квадрату y3 – y2 дорівнювала A/α3.

Тоді пошукувана водотоннажність буде отримана як D = α3y3.

Вирішення рівняння мас методом Ньютона з постійною дотичною. Рівняння мас записується у вигляді nD – mD2/3 – Рв = 0. Рішення знаходиться за допомогою послідовних наближень за формулою

Di+1 = Di − nDi −mDi2 / 3 − Pв , n

2.3.2 Способи вирішення рівняння мас

Вирішення рівняння мас графічним способом. Вказаним способом рівняння мас вирішується у наступній послідовності.

Визначаємо очікувану водотоннажність за допомогою коефіцієнта утилі-

зації водотоннажності по чистій вантажопідйомності D0 = Pв і визначаємо за ηв

його значенням декілька значень водотоннажності D1 = 0,8 D0;

D2 = 0,9 D0; D3 = D0; D4 = 1,1 D0; D5 = 1,2 D0.

Рівняння мас приводимо до вигляду :

D − mn D2 / 3 − Pnв = F(D) ,

де F(D) – нев'язка.

За отриманими значеннями нев’язок будуємо графік залежності F(D) від D,

рис. 2.1.

Іноді це рівняння вирішують шляхом підбору такого значення D, щоб

F(D) ≤ 0,0001D.

24

2.3.1 Алгебраїчне рівняння мас, виражених у функції водотоннажності

Це рівняння можна записати у вигляді:

Якщо у навантаженні є постійний баласт (визначений за прототипом) то він включається до рівняння мас як постійна маса так само як і маса вантажу Pв.

Для зручності вирішення рівняння мас записується в вигляді

(2.3)

Позначивши вирази в дужках через m і n будемо мати n = 1 – aк – aзв – aз;

nD – mD2/3 – Pв = 0, або D − mn D2 / 3 − Pnв = 0 .

Отримане рівняння можна вирішити одним з таких способів: графічним, підстановкою Крилова, методом Ньютона з постійною дотичною тощо.

Після того, як буде знайдене значення D, складається таблиця навантаження (табл.2.1), куди записуються розділи мас, розраховані за тими залежностями, які прийняті для них у рівнянні мас: маса корпусу – Pк = aкD; маса запасу водотоннажності – Рзв = азвD; маса забезпечення – Рз = азD; маса обладнання –

Перевіркою правильності вирішення рівняння мас буде виконання рівно-

сті:

D = Pк + Pоб + Pеу + Pп + Pз + Pзв+ Pв.