Saprikina_Analit_geometr

82

Аналітичнагеометрія

2

−16z

2

−18x + 64z −199 = 0,

(x −1)2

(z

− 2)2

бола

9x

16

−

9

= 1,

iз цен-

y =

0

y = 0

тром C (1; 0; 2) і півосями a = 4 (дійсна) і c = 3 (уявна).

x2

+

y2

+

z

2

= 1,

Задача 4. Знайти проекцію лінії

на площи-

9

16

4

L :

y = z

соїда

x2

+

y2

+

z2

= 1 та бісектральної площини y = z,

що проходить

9

16

4

через вісь Ох (рис. 7.11).

Знайдемо рівняння циліндра, що

z

проектує L на площину xOz. Для цього

2

виключимозрівняннясистемизмінну у:

3 O

x2 + z2 + z2 = 1

x2 +

z2

= 1– еліп-

−4

4

y 9 16 4

9

16 5

x

−2

тичнийциліндр. Тодіпроекціяданоїлінії

x2

+

z2

= 1,

Рис. 7.11

9

16 5

.

наплощинуxOz – еліпс

y = 0

Поверхні другого порядку

83

x =

y,

y

z

рабола

;

y + z = 2

+

= 1

– площина, паралельна осі Ох;

z =

0

2

2

2. x2 + z2 = 1 (x ≥ 0, z ≥ 0), y = x, y = − x, z = 0:

x2 + z2 = 1 (x ≥ 0, z ≥

0) – четвертачастинакруговогоциліндразтвірни-

x

2

+ z

2

= 1,

,

розташована

ми, паралельнимиосіОу, інапрямноюколом

y = 0

в І і ІV октантах;

y = x, y = − x – бісектральні площини, що проходять

через вісь Oz; z = 0 – координатна площина xOy (див. рис. 7.12,б).

z

z

2

y = −x

1

x =

0

y = x

O

2

y

O

1 y

x

x = y

y + z = 2

1

x x2 + z2 = 1 z = 0

z = 0

а

Рис. 7.12

б

Задача2. Побудуватитіло, обмеженеповерхнями x2 + y2 = 9 і x2 +

+ y2 − z2 = 0 , та знайти його об'єм.

Розв'язання. x2 + y2 = 9 – круговийциліндр, твірніпаралельніосі Oz,

x

2

+ y

2

= 9, ; x2 + y2 − z2 = 0 – круговий конус, вісь

напрямна – коло

z

= 0

Поверхні другого порядку

85

Виключивши iз системи x , y і z , одержимо аналітичний зв'язок

між х, у і z, тобто шукане рівняння поверхні. Оскільки N (x; y; z) нале-

x

= z +1,

жить прямій L, маємо x −1 = y +1 = z

. Тоді рівняння кола

y

= z −1

2

+ y

2

=

2

2

2

2

2

x

(z +1) + (z

−1) ,

. Отже, x

+ y

+

запишеться так:

= (z +1)

z

= z

+ (z −1)2

x2 + y2

− z2 = 1 – рівняння поверхні обертання. Одержане

2

рівняннявизначаєоднопорожниннийгіперболоїдобертання, апрямаL –

одназтвірнихцієїлінійчатоїповерхні.

РІВЕНЬ В

Задача 1. Побудувати тіло, обмежене поверхнями

z = x2 + y2 ,

y = x2 , y = 1, z = 0.

Розв'язання. z = x2 + y2

– круговий параболоїд, орієнтований у до-

датному напрямку осі аплікат, вершина в початку координат, вісь си-

метрії Oz; y = x2 – параболічний циліндр,

твірніпаралельніосіOz, напрямна– пара-

z

2

, ; y =1 – площина, паралель-

бола y = x

z = 0

y = x2

на площинi xOz; z = 0 – координатна пло-

z = x2 + y2 1

щина xOy (рис. 7.15).

y = x2

Задача 2. Скласти рівняння конічної

y = 1

поверхні, напрямнаякоїналежитьплощи-

O

y

ні хОу і задається рівнянням x2 + y2 −

1

− y = 0, а вершиною є точка S (1; 0; 1).

x

z = 0

Рис. 7.15

Відповіді, розв'язання та вказівки до завдань для самостійної роботи

87

z = 0; 3) z = y2 , 2x + y = 4, z = 0.

Задача 2. Знайти лінії перетину кругового конуса

x2

+

y2

−

z2

= 0

4

4

9

із площинами: 1) y − 2 = 0; 2) z − 3 = 0; 3) 3y − 2z + 2 = 0; 4)

2 x − z +

+ 1 = 0 . Зробитивисновки.

88

Аналітичнагеометрія

Задача 6. Розв'язання.

ρ ≥

0 sin 2ϕ

≥

0

0 ≤

2ϕ

≤ π 0 ≤ ϕ ≤

π

,

2

період T = π . Побудуємо лінію на проміжку 0 ≤

ϕ ≤

π

.

4

ϕ

0

π

π

π

12

6

4

2 ϕ

0

π

π

π

6

3

2

O

ρ

ρ

0

0,5a

≈ 0,86a

a

Ураховуючи властивість синуса і періо-

Рис. 1

дичністьфункції, одержимолінію, якуназивають

двопелюстковою розою (рис. 1).

Задача 7. Відповідь:

x = a + mt,

x − a

=

y − b

– пряма.

y = b + nt

m

n

РІВЕНЬ Б

Задача 1. Відповідь:

x − y = ±a . Вказівка:

врахувати, що від-

стань

AM

може бути як більшою,

так і меншою за відстань

BM

.

Задача 2

1. Розв'язання. Для будь-якої точки M (ρ ; ϕ

) кола з центром у точ-

π

маємо OMB = π

2 (спирається на діаметр, рис. 2,а). Із

ці C

a;

2

1

∆ ОМВ катет

OM = OBsin ϕ

ρ

= 2asin ϕ

– полярне рівняння кола.

У декартових координатах:

x2 + y2

= 2a

y

x2 + y2 = 2ay.

x2 + y2

90

Аналітичнагеометрія

РІВЕНЬ В

Задача 1. Відповідь:

(x − 3)2 + y2 = 9 . Вказівка: скористатися вла-

Рис. 5

ташованівіднеїнавідстанях, якідорівнюють5.

знихнахиленийдополярноїосіпідкутом ϕ = π 6,

O

адругий– підкутом ϕ = 5π 6; 2) лініюзображе-

ρ но на рис. 5.

тикально вниз, то

радіус-вектор

частинки має

вигляд

2

x = v0t cosα ,

gt

OM = {x; y}=

v0t cos α ;

v0t sin α −

. Рівняння

gt2 –

2

y = v0t sin α

−

2

метр t, отримаємо

y = ax − bx2, де a = tgα ; b =

g

sec2 α . Таким чином,

2v

2

0

l

v2 sin 2α

v2 sin2

α

му – при

x =

: l =

0

, h =

0

. Дальність польоту найбіль-

2

g

g