Saprikina_Analit_geometr
.pdf
Відповіді, розв'язання та вказівки до завдань для самостійної роботи |
111 |
|||||||||
|
||||||||||
3. z = y2 , 2x + y = 4, z = 0: z = у2 – параболічнийциліндр, твірніпара- |
||||||||||
|
z = y |
2 |
, |
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
; 2x + y = 4 |
|
|
|
|
||||
лельніосіОх, напрямна– парабола |
|
|
|
|
+ |
|
= 1 – пло- |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
x = 0 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
щина, паралельнаосіОz; z = 0 – координатнаплощинахОу(див. рис. 27,в).
Задача 2. Розв'язання
1. Площина y − |
2 = 0 y = 2 паралельнаосісиметрії Оz кругового |
||||||
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
||
конуса |
|
+ |
|
− |
|
|
= 0, отжевперетиніцихповерхоньбудегіпербола; |
4 |
4 |
9 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
оскільки площина у = 2 паралельна координатній площині хОz, то лінія перетину буде проектуватися на хОz у натуральну величину. Знайдемо
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
= 0, |
наплощинухОz: |
|
|
+ |
|
− |
|
= 0, |
|
||||
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
9 |
|
4 |
4 |
9 |
||||||||||||||||
проекціюлінії |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
− |
x2 |
+ |
z2 |
= 1 – проектуючийциліндр, отжепроекціяданоїлініїнапло- |
||||||||||||||||||||||||
4 |
9 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
щину хОz – гіпербола |
|
|
4 |
|
9 |
|
(рис. 28,а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z
y = 2
0
2 y
z |
3
z = 3
z = 0 |
2 0 2 |
y |
x |
x |
а |
б |
Рис. 28
112Аналітичнагеометрія
2.Площина z − 3 = 0 z = 3 перпендикулярна до осі симетрії Оz
кругового конуса |
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
= 0, отжевперетиніцихповерхоньбуде |
|
4 |
4 |
9 |
|||||
|
|
|
|
коло; оскільки площина z = 3 паралельна координатній площині хОу, то лінія перетину буде проектуватися на хОу в натуральну величину.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ |
|
y2 |
− |
|
z2 |
= 0, |
|
||
Знайдемо |
проекцію |
лінії |
|
|
|
|
|
|
|
на площину хОу: |
||||||||||||||
4 |
|
4 |
|
9 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
− |
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
= 4 |
– проектуючийциліндр, отжепроекція |
||||||||||||||
4 |
4 |
9 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
z = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
даноїлініїнаплощинухОу– коло |
|
(див. рис. 28,б). |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3. Площина 3у – 2z + 2 = 0 паралельна прямолінійній твірній |
||||||||||||||||||||||
|
3y − 2z = 0, |
кругового конуса |
|
x2 |
+ |
y2 |
− |
|
z2 |
= 0, отже в перетині |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
9 |
||||||||||||||
x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
цих поверхонь буде парабола, що не проектується на жодну з координатних площин у натуральну величину. Знайдемо проекцію лінії
|
x2 |
|
|
|
y2 |
z2 |
|
|||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
= 0, |
||
4 |
|
4 |
|
9 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3y − 2z + 2 = 0 |
|||||||||||
|
||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
y2 |
z2 |
|
|||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
= 0, |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
9 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z = |
|
|
|
y |
+ 1 |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
на одну з координатних площин, наприклад на хОу:
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
y2 |
|
|
|
y + 1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
= 0 |
|
x |
|
= − |
|
y + |
|
– про- |
|
4 |
|
|
|
9 |
|
3 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ектуючийциліндр, отжепроекціяданоїлініїнаплощинухОу– парабола
|
2 |
|
4 |
|
1 |
|
|
x |
|
= − |
|
y + |
|
, |
. |
|
3 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||
Відповіді, розв'язання та вказівки до завдань для самостійної роботи |
113 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
||
4. Уперетиніплощини |
2 x − z +1 = 0 ікруговогоконуса |
|
+ |
|
− |
4 |
4 |
||||
−z2 = 0 буде еліпс, що не проектується на жодну з координатних пло- 9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
9 |
||||
щинунатуральнувеличину. Знайдемопроекціюлінії |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x − z +1 = 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
= 0, |
|
|
наоднузкоординатнихплощин, наприкладнахОу: |
|
4 |
4 |
9 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x +1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
|
|
|
|||||
|
x2 + y2 |
|
( |
2 x +1)2 |
|
0 |
(x − 4 2 )2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
− |
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
= 1 |
|
– проектуючий ци- |
||||||||||
4 |
|
9 |
36 |
|
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хОу |
|
|
|
|
||||||
ліндр, |
отже |
проекція |
даної лінії |
на |
площину |
– |
еліпс |
|||||||||||||||
|
(x − 4 |
2 )2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
+ |
4 = 1, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, врезультатіперетинуконічноїповерхнізрізнимиплощинами можна одержати всі криві другого порядку.
РІВЕНЬ В Задача. Розв'язання. Виберемо на шуканій поверхні довільну точ-
ку M (x; y; z). Вона належить колу, утвореному обертанням деякої точ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = tgα |
+ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ки N (x; y; 0) |
параболи |
2v2 |
навколо осі Оу; радіус кола |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
, центр O (0; |
|
; 0) (рис. 29); рівняння кола |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
R = O N = |
x |
y |
x |
|
+ z |
|
= x |
|
, . |
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
114 |
Аналітичнагеометрія |
|
|
Виключившиізсистеми x і y , одержимоаналітичнийзв'язокміжх,
уіz, тобтошукане рівняння поверхні. Оскільки N (x; y; 0) належитьпа-
раболі
x
x
y = tgα |
+ |
gx2 |
, маємо |
y = tgα + |
g x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2v2 |
2v2 |
. Тоді рівняння кола запи- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= x |
+ z |
, |
|
||||||
|
|
|
|
шеться так: |
|
|
|
|
|
|
. Отже, y = |
|||||||
M (x; y; z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
O1 y |
y |
= tgα + g(x |
2 |
+ z |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
||||
tgα |
|
– рівняння поверхні |
||||||||||||||||
N (x; y; 0) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 29 |
|
|
|
обертання. Дане рівняння визначає пара- |
||||||||||||||
|
|
|
болоїд обертання. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Рекомендована література |
115 |
|
|
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1.Дубовик, В. П. Вища математика. Збірник задач [Текст] : навч. посіб. / В. П. Дубовик, І. І. Юрик, І. П. Вовкодав [та ін.]. – К. : Вища школа, 2005. – 648 с.
2.Дубовик, В. П. Вища математика [Текст] : навч. посіб. / В. П. Ду-
бовик, І. І. Юрик. – К. : А.С.К., 2005. – 648 с.
3.Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии [Текст] / Д. В. Клетеник. – М. : Наука, 1986. – 240 с.
4.Кручкович, Т. И. Сборник задач по курсу высшей математики [Текст] : учеб. пособие для втузов / Т. И. Кручкович, Н. И. Гусарина, П. Е. Дюбек [и др.]. – М. : Высшая школа, 1973. – 576 с.
5.Ноздрин, И. Н. Прикладные задачи по высшей математике [Текст] / И. Н. Ноздрин, И. М. Степаненко, Л. К. Костюк. – К. : Вища школа, 1976. – 176 с.
6.Шкіль, М. І. Вища математика [Текст] : в 3 кн. Кн. І : Аналітична геометрія з елементами алгебри. Вступ до математичного аналізу
/М. І. Шкіль, Т. В. Колесник, В. М. Котлова. – К. : Либідь, 1994. – 300 с.
116 |
Аналітичнагеометрія |
|
|
ЗМІСТ |
|
Вступ..................................................................................................... |
|
3 |
Практичне заняття №1. Лінії на площині та їх рівняння ............ |
4 |
|
Практичне заняття № 2. Пряма на площині ................................. |
16 |
|
Практичне заняття № 3. Пряма та площина................................. |
28 |
|
Практичне заняття № 4. Мішані задачі на площину і пряму |
|
|
впросторі.............................................................................................. |
|
41 |
Практичне заняття № 5. Кривідругогопорядкунаплощині. Коло, |
|
|
еліпс, гіпербола..................................................................................... |
|
51 |
Практичне заняття № 6. Криві другого порядку. Парабола ........ |
65 |
|
Практичне заняття № 7. Поверхні другого порядку .................... |
75 |
|
Відповіді, розв'язання та вказівки до завдань для самостійної ро- |
|
|
боти ....................................................................................................... |
|
87 |
Рекомендована література.................................................................. |
115 |
|