Saprikina_Analit_geometr

Лінії на площині та їх рівняння

11

Розв'язання. ρ

2 sin 2ϕ = 2a2

2ρ

cos ϕ ×

y

×

ρ sin ϕ = 2a2. У декартових координатах

маємо: xy = a2

y = a2 . Церівняннягіпер-

O

x, ρ

x

боли, віткиякоїрозташованівпершомутатре-

тьому координатних кутах (рис. 1.10).

Задача 7. Записати рівняння лінії

x = R sin 2t,

Рис. 1.10

у вигляді F (x; y)= 0.

y = 2R sin 2 t

x = 2R sin t cos t,

x2 + y2 = 2Ry

– коло.

Розв'язання.

y = 2R sin 2 t

РІВЕНЬ В

Лінії на площині та їх рівняння

13

+ 25 x2 = 20 y, або

y =

1

x2

– рівняння параболи з вершиною в по-

20

Задача 5. Записати в декартових координатах рівняння ліній та по-

будувати їх: 1) tgϕ = −1 ; 2)

ρ

+

π

1

.

cos ϕ

4

=

2

Відповідь: 1)

y + x = 0 – пряма, що проходить через полюс під ку-

том

3π

до полярної осі; 2)

x − y −1 = 0 – пряма.

4

Задача 6. Побудувати лінію ρ

= cos

ϕ

.

3

Розв'язання. Знайдемо ОДЗ полярного кута:

ρ ≥ 0

cos

ϕ

≥ 0

3

−

π

≤

ϕ

≤

π

−

3π

≤ ϕ ≤

3π

, період T = 6π . Усилупарностікосинуса

3

2

2

2

2

побудуємолініюдляпроміжку 0 ≤

ϕ ≤

3π

.

2

ϕ

0

π

π

π

2π

5π

π

7π

3π

6

3

2

3

6

6

2

ϕ

0

π

π

π

2π

5π

π

7π

π

3

18

9

6

9

18

3

18

2

ρ

1

≈ 0,98

≈

0,93

≈

0,86

≈

0,76

≈

0,64

0,50

≈ 0,34

0

Дляпроміжку −

3π

≤ ϕ

≤

0 відобразимолініюсиметричновідносно

2

14

Аналітичнагеометрія

Відповідь:

x = a cos t,

x2 + y2 = a2

– коло з центром у початку

y = a sin t

3

y

2

A

a

(x; y)

M

1

O

1

ρ

a

O

t

B

x

2

Рис. 1.13

Рис. 1.14

динат:

1) x2 (2x + y)− 3y2 (x + 5)= 4 ; 2) (x2 + y2 )2 − 2(x − y)= 6x2 ;

3)

ax − by = 0.

Задача 2. Які геометричні образи визначаються рівняннями:

1)

x2 − y2 = 0; 2) x2 + y2 = 0; 3) (x + 2)2 + y2 = 4; 4) x2 + y2 +1 = 0 . По-

Лінії на площині та їх рівняння

15

ней її від точок

A(− a; 0)

і B (a; − a) залишається такою,

що дорівнює

4a2. Скластирівнянняцієїтраєкторіїтазобразитиїї.

Задача 2. Скласти полярні рівняння кіл з радіусами а і центрами

π

C (a; 0). Записати ці рівняння в декартових

в точках: 1) C

a;

; 2)

2

1

1

координатах.

= a(1 + sin ϕ ).

Задача 3. Побудувати лінію ρ

Задача4. Записатиувигляді F

x = t −1,

(x; y)= 0 рівняннялінії

.

y = t2 − 2t +1

16

Аналітичнагеометрія

Задача3. Уполярнихкоординатахскластирівняннягеометричного

місцяточок, відстаніякихдополярноїосідорівнюють5.

x =

1

ctgt,

Задача4. Записатиувигляді F (x; y)= 0 рівняннялінії

2

1

2

.

y =

ctg

t

2

Задача 5. Струмінь води витікає з конічної насадки зі швидкістю v0

під кутом α

до горизонту. Нехтуючи опором повітря, скласти рівняння

y

N

струменя відносно прямокутної си-

стеми координат хОу, вважаючи, що

M (x; y)

струміньзнаходитьсявплощиніхОу,

точка О збігається з вихідним отво-

y

h

ромнасадки, авісьОх проходитьго-

α

ризонтальновнапрямупольотустру-

x

A1

A x

меня (рис. 1.15). Знайти дальність

O

l

польоту l, висоту h і кут, при якому

дальністьпольотунайбільша.

Рис. 1.15

Практичне заняття № 2

Ax + By + C = 0,

(2.1)

Пряма на площині

17

A(x − x0 ) + B(y − y0 )= 0.

(2.2)

2. Рівняння прямої L за точкою M 0 (x0 ; y0 )

і напрямним векто-

x − x0

=

y − y0

.

(2.3)

l

m

3. Рівняння прямої "у відрізках" (а– відрізок, що відтинає пряма на

осі Ох, b – на осі Оу):

x

+

y

=1.

(2.4)

a

b

4. ПараметричнірівнянняпрямоїL (M0 (x0 ; y0 )

L,

= (l; m)):

a

x = x0 + l t,

y = y0 + mt.

5. Рівняння прямої за точкою M 0 (x0 ; y0 ) і кутовим коефіцієнтомk:

y − y0 = k (x − x0 ).

(2.5)

6. Рівняння прямої за двома точками M1 (x1; y1 ) і M 2 (x2 ; y2 ):

x − x1

=

y − y1

.

(2.6)

x

2

− x

y

2

− y

1

1

7. Рівнянняпрямоїзкутовимкоефіцієнтомk (b – відрізок, щовідти-

нає пряма на осі Оу):

y = kx + b.

(2.7)

18

Аналітичнагеометрія

Кут ϕ

між двома прямими A1x + B1 y + C1 = 0 і A2 x + B2 y + C2 = 0:

cosϕ = n1 n2

=

A1 A2 + B1B2

,

або

tgϕ

=

k1 − k2

.

n n

2

A

2

+ B

2

A

2

+ B

2

1 + k1k2

1

1

1

2

2

Умова паралельності прямих L1 і L2:

||

A1

=

B1

або k

= k

(b ≠

b

).

n

n

2

2

1

A2

B2

1

1

2

Умова перпендикулярності прямих L1 і L2:

A A + B B

= 0

або

k = −

1

.

n

n

1

2

1

2

1

2

1

k2

Відстань від точки

M 0 (x0 ; y0 )

до прямої Ax + By + C = 0

d =

Ax0 + By0 + C

.

(2.8)

A2 + B2

1. Побудуємо пряму

3x − 2 y + 6 = 0 за двома точками:

x

0

− 2

y

3

0

(рис. 2.1,а); y =

3

x + 3

k =

3

.

2

2

Пряма на площині

19

точку: x = 2

y = 3 (див. рис. 2.1,а),

y =

3 x

k =

3 .

y

2

2

3x −2 y = 0

y

y = 3

3

3

3x −2 y +6 = 0

2

x = −2

2

1

1

−2 −1 0

1

2 x

−2

−1 0

1

x

−1

−1

а

б

Рис. 2.1

A1

=

B1

≠

C1

m

=

8

≠

p

; m = 4, p ≠ − 2

або

m = − 4,

p ≠ 2.

A

B

C

2

2

m

−1

2

2

2.

Прямі L

1

і L

2

збігаються за умови,

що

A1

=

B1

=

C1

A2

B2

C2

m = 4, p = − 2

або m = − 4, p = 2.

20

Аналітичнагеометрія

3. За умовоюперпендикулярності прямихL1 іL2 A1 A2 + B1B2 = 0

2m + 8m = 0 m = 0, p R .

Задача3. Дановершини A(1; 2) і B (3; 6) трикутникаАВСтарівнян-

N

M

відрізка АВ і нормальним вектором

xA + xB

AC = (2;1);

xM =

= 2,

n

AC

2

n

yA + yB

= 4; M (2; 4).

C

D

A

yM =

Рис. 2.2

2

MN: 2(x − 2)+

Рівняння прямої

+1 (y − 4)= 0 середня лінія MN: 2x + y − 8 = 0.

РівняннявисотиBD складемозаточкою B (3; 6) інапрямнимвекто-

ром

=

AC = (2;1)

за формулою (2.3);

BD:

x − 3

=

y − 6

висота

a

n

2

1

= 135° з додатним напрямком осі абсцис.

Розв'язання. Точка A(xA; yA ) перетину L1 і L2:

3xA + 2 yA =1,

5xA − 2 yA = 7