Контрольні запитання.

1. Які засоби стандартного офісного пакету Microsoft Windows 98/XP для виконання арифметичних дій у системах числення з основою 2, 8, 16?

2. Що називають доповняльним числом?

3. В чому полягає найважливіша перевага двійкової системи числення?

4. Яким чином подаються від’ємні числа у форматі байта?

5. Як знайти абсолютне значення від’ємного числа?

6. Яким чином виконується двійкове віднімання?

Лабораторна робота № 6.

Тема:	Двійково-десяткова система числення.
Мета роботи: Зміст роботи: Організаційні та методичні вказівки:	Набуття практичних навичок перетворення двійкових чисел у двійково-десяткові. Закріплення навичок переведення чисел з двійково-десяткової системи числення у двійкову. Узагальнення та систематизація знань про системи числення, що застосовують в ЕОТ. Повторення правил переведення чисел з однієї системи числення в інші. Повторення теоретичних відомостей про системи числення та застосування навичок переведення чисел з однієї системи числення в іншу. Застосування засобів Microsoft Windows для виконання переведення чисел у двійкову, вісімкову та шістнадцяткову системи числення. Лабораторну роботу проводять після вивчення розділу “Системи числення” з підгрупою студентів в два етапи: 1. Підготовчий етап: Повторення теоретичних відомостей про системи числення. Дослідження алгоритмів переведення чисел з однієї системи числення в іншу з метою формування узагальненої моделі виконання відповідних дій. 2. Виконавчий етап: Виконання індивідуальних завдань та перевірка правильності виконаних дій засобами калькулятора «Інженерний» стандартного офісного пакету Microsoft Windows.
Технічне забезпечення:	Персональний комп’ютер, дискета.
Програмне забезпечення:	Windows XP, Advanced Grapher.
Час:	80 хвилин.

Теоретична частина

Наявність блоку десяткової арифметики в АЛП виключає при рішенні задач необхідність переводу чисел з однієї системи числення в іншу. Використання двох основних систем числення ( двійкової і двійково-десятковоі) дозволяє створювати ЕОМ надзвичайно високої потужності.

Десяткові числа двійково-десятковоі системи числення, яка використовується в ЕОМ в якості допоміжної, зазвичай кодується прямим двійковим кодом 8-4-2-1.

Десятковий код	Код 8-4-2-1	Код з залишком 6	Десятковий код	Код 8-4-2-1	Код з залишком 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001	0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111	10 11 12 13 14 15 16 17 18 19	1010 1011 110 1101 1110 1111 10000 10001 10010 10011	10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001

Для того щоб записати десяткове число в двійково-десятковому коді 8-4-2-1, необхідно кожну цифру десяткового числа замінити відповідною тетрадою.

Наприклад , користуючись таблицею, запишемо десяткове число

в двійково-десятковому коді 8-4-2-1:

5 7 2 3 8

Для того щоб перевести число з двійково-десяткового коду 8-4-2-1 в десятковий, необхідно кожну тетраду двійково-десяткового числа замінити десятковим числом.

Наприклад, використовуючи таблицю, число , записане в коді 8-4-2-1, в десятковій системі числення буде мати такий вигляд:

2 8 5

Перетворення чисел з десяткової системи числення в двійково-десяткову не пов’язані з обчисленнями і легко реалізуються за допомогою найпростіших електронних схем, так як перетворенню підлягає невелика кількість (чотири) двійкових цифр. Двійково-десяткові числа перетворюються в десяткові автоматично в ЕОМ за спеціальною програмою переведення.

Запишемо десяткове число 3691 у ДДК 8421. Кожна десяткова цифра перетвориться прямо у свій двійково-десятковий еквівалент із 4 біт, і перетворення дають 3691₁₀ = 0011 0110 1001 0001ддк :

Десяткове число	3	6	9	1
Двійково-десяткове число	0011	0110	1001	0001

Перетворимо тепер двійково-десяткове число 1000 0000 0111 0010 у його десятковий еквівалент. Кожна група з 4 біт прямо перетвориться в її десятковий еквівалент, і тоді одержуємо: 1000 0000 0111 0010_ДДК = 8072₁₀:

Двійково-десяткове число	1000	0000	0111	0010
Десяткове число	8	0	7	2

В ЕОМ, в яких передбачена можливість виконання арифметичних операцій над десятковими числами при виконанні операцій десяткові числа з коду 8-4-2-1 перетворюються в залишковий код 6. Використання залишкових кодів дає можливість спростити діі з десятковими числами в АЛП, так як залишкові коди є самодоповнюючими, тобто інверсія його двійкових цифр дає доповнення до 9.

В ЕОМ 3-го та 4-го покоління використовується код з залишком 6, який дозволяє при додаванні автоматично проводити перенос в старші десяткові розряди.

Для показу службової інформації – програм для підготовки задач до рішення на ЕОМ – застосовують допоміжні системи числення – вісімкову і шістнадцяткову.

Вісімкова система числення має основу d=8 і а_і=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Будь-яке вісімкове число може бути представлене за допомогою формули розкладання десятковим еквівалентом, наприклад:

Запис команд програми у вісімковій системі числення у три рази коротше, ніж в двійковій.

Шістнадцяткова система числення має основу d=16 і а_і=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. При такому зображенні цифр у шістнадцятковій системі числення буква А зображає десять, B – одинадцять, З – дванадцять, D – тринадцять, E – чотирнадцять, F – п'ятнадцять.

Будь-яке число з шістнадцяткової системи числення також може бути представлене десятковим числом за допомогою формули розкладання.

Шістнадцяткова система числення так само, як і вісімкова, використовується при складанні програм для коротшого і зручнішого запису двійкових кодів – команд. Крім того в деяких ЕОМ шістнадцяткова система числення застосовується для представлення чисел в напівлогарифмічній формі.

Переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу

Переведення цілих чисел. Щоб перевести ціле число з однієї системи числення з основою d₁ в іншу з основою d₂ необхідно послідовно ділити це число і одержувані частки на на основу d₂ нової системи до тих пір, поки не вийде частки менше основи d₂. Остання основа – старша цифра числа в новій системі числення з основою d₂, а наступні за нею цифри – це залишки від розподілу, записувані в послідовності, зворотній їх отриманню.

Примітка: При виконанні переведення чисел з однієї системи числення в іншу всі необхідні арифметичні дії виконуються в тій системі числення, в якій записано число, що переводиться.

Переведення правильних дробів. Для того щоб перекласти правильний дріб з системи числення d₁ у систему з основою d₂, необхідно послідовно множити дріб і дробові частини з’явившихся добутків на основу d₂ нової системи числення. Правильний дріб у новій системі числення з основою d₂ формується у вигляді цілих частин з’явившихся добутків починаючи з першого.

При переведенні правильних дробів з однієї системи числення у другу можна отримати дріб у вигляді нескінченного або розходного ряду. Процес переведення можна закінчити, якщо з’явиться дробова частина, яка має у всіх розрядах нулі, або буде досягнута задана точність переведення, тобто отримана потрібна кількість розрядів результату.

Якщо точність переведення дорівнює d₂^-q, то після q множень на d₂ то виходять усі найдені цілі частини у порядку їх знаходження. Знайдений запис буде представлять дрібну частину числа у новій системі числення.

Переведення мішаних чисел. При переведенні мішаних чисел з одної системи числення у другу, необхідно у нову систему перекласти окремо його цілу та дробову частини по правилам переведення цілих чисел та правильних дробів, а потім два результати об’єднати в одне мішане число нової системи числення.

Переведення чисел з вісімкової системи числення у двійкову і навпаки. Для переведення числа з вісімкової системі числення у двійкову необхідно кожну цифру числа записати трьохрозрядним двійковим числом (триадою). Так як цифра вісім є степеню двійки (8=2³), то вісімково-двійковий код співпадає з двійковим.

Для переведення числа з двійкової системи числення у вісімкову необхідно розбити це число вправо та вліво від коми на груми по три розряди – тріади і уявити кожну групу цифру у вісімковій системі числення. Крайні неповні тріади доповнюють нулями.

Переведення чисел з шістнадцяткової системи числення у двійкову та навпаки. Для переведення числа з шістнадцяткової системи числення у двійкову необхідно кожну цифру цього числа замінити тетрадою – чотирьохрозрядним двійковим числом. Так як шістнадцять є степеню двійки (16=2⁴), то шістнадцятирічно-двійковий код співпадає з двійковим кодом.

Для переведення числа з двійкової системи числення у шістнадцяткову, необхідно розбити це число вправо і вліво від коми на тетради та представити кожну тетраду цифрою у шістнадцятковій системі числення.

Переведення чисел з десяткової системи числення в двійкову з проміжним переведенням у вісімкову або шістнадцяткову систему. Для переведення чисел з десяткової системи числення у двійкову зручно використовувати проміжне переведення у вісімкову або шістнадцяткову систему по загальним правилам, а потім знайдене вісімкове або шістнадцяткове число записати у двійковій системі числення.

Переведення двійково-десяткових чисел у двійкові та навпаки здійснюється згідно розглянутим вище правилам ділення цілої та множення дробової частини числа. Переведення чисел з двійково-десяткової системи числення у двійкову здійснюється діленням цілої та множенням дробової частини числа на основу (2)₁₀=(0010)₂.

Приклад 1.10. Записати число (0001 0011, 0111 0101)_2-10 у двійковій системі числення.

0001 0011	0010
0001 0010	0110	0010
1	0110	0011	0010
	0	0010	0001	0010
		1	0000	0000
			1

	0111 0101
напрям читання	x 0010
1	0101 0000
	x 0010
1	0000 0000

Тобто, шукане число буде мати такий вигляд:

(0001 0011, 0111 0101)_2-10=(1101,11)₂.

У даному прикладі десяткові числа зображалися тетрадами. Правила дії над ними не змінилися. Перехід чисел із двійкової системи числення до двійково-десяткової здійснюється діленням цілої та множенням дробової частин числа на основу (10)10=(1010)2.

Приклад 1.1. Записати число (11011010, 10101)2 у двійково-десятковій системі числення.

11011010	1010
1010 .	10101	1010
1110 .	1010	0010
1010 .	0001
10010 . напрям читання
1010 .
1000 .

0,10101	0,10010	0,1010
x 1010	x 1010	X 1010
0110,10010	0101,1010	0110,0100

напрям читання

Отже, шукане число буде мати такий вид:

(11011010,10101)₂=(0010 0001 1000, 0110 0101 0110)_2-10.

Порядок виконання роботи

1. Повторіть основні теоретичні положення щодо виконання лабораторної роботи. Виконайте вправи:

а) Запис ДДК є скороченням _____.

Б) Найбільш загальним записом двійково-десяткового коду є ДДК _____ (5421, 8421).

В) Записати наступні десяткові числа в ДДК 8421: а) 39; б) 65; в) 40; г) 17; д) 82; е) 99.

Г) Записати наступні двійково-десяткові числа в десятковому коді: а) 1000 0000; б) 0000 0001; в) 1001 0010 г) 0111 0110; д) 0100 0011; е) 0101 0101.

2. Застосуйте отриманні знання та навички до розв’язку задач згідно особистому варіанту.

3. Після виконання індивідуальних завдань здійсніть перевірку правильності виконаних дій засобами калькулятора «Інженерний» стандартного офісного пакету Microsoft Windows.

Продемонструйте викладачу результати виконаної роботи.

Звіт повинен містити записи порядку розв’язування виконаних завдань.

4. Підготуйте звіт відповідно встановленого зразку.