Глава II. Векторная алгебра

Векторная алгебра имеет широкое применение в различных разделах физики, математики, механики и т.п.. В курсе средней школы вектор определяется как некоторое преобразование пространства. Однако для прикладных целей удобнее использовать другое, традиционное определение вектора и действий над векторами, на которых мы и остановимся дальше. Это не означает, однако, что сведения, полученные в средней школе, не верны. Просто мы будем изучать векторную алгебру, исходя из несколько иных, более удобных для практических целей позиций.

§ 1. Векторы и основные линейные операции над ними

1. Векторные величины

В отличие от скалярной величины, которую можно задать одним числом и отложить на некоторой шкале (отсюда и название – «скалярная») – площадь, объём, температура - векторную величину, или просто вектор, можно задать с помощью числа и некоторого направления (скорость, сила).

Итак, мы можем сказать, что вектор - это величина, которая характеризуется числом, совпадающим с длиной отрезка, и направлением, совпадающим с направлением луча( рис. 2.1.1).

При этом длину вектора обозначают ,или ещё. Длину вектора также называют модулем этого вектора. Векторыиназываютравными, если совпадают их длины и направления.

Векторы и называютпротивоположными, если их длины равны, а направления противоположны. Заметим, что при этом начало вектора можно поместить в любой точке пространстве. Такие векторы называютсвободными.

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым (). Направление нулевого вектора не определено.

2. Умножение вектора на скаляр

Определение 1. Произведением вектора на числоназывается такой вектор, что, а направление его совпадает с направлением вектора, если>0, и ему противоположно, если<0; еслиили, то.

Ясно, что векторы и(если) можно поместить на одной прямой (рис. 2.1.2). Вектор, очевидно, является противоположным вектору.

Определение 2. Два ненулевых вектора и, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называютсяколлинеарными.

3. Единичный вектор

Определение 3.Вектор, длина которого равна единице, называетсяединичным вектором, илиортом. Если задан некоторый вектор(), то всегда можно подобрать множитель, такой, чтобы после умножения на него длина векторабыла бы равна единице. Очевидно, что в качестве такого числа нужно взять. Тогда, и при этомназывается единичным вектором, соответствующим вектору, или ортом вектора. Очевидно, что направление единичного вектора всегда совпадает с направлением вектора. Ясно также, что.

Точно так же единичный вектор , направление которого совпадает с направлением оси, называется ортом оси, или её единичным вектором.

4. Сложение векторов

Определение 4. Суммой векторов и, расположенных так, что начало векторасовпадает с концом вектора, называется вектор, начало которого совпадает с началом вектора, а конец – с концом вектора. (правило треугольника – рис. 2.1.3, а).

Рис. 4

б)

При этом пишут:. Аналогично определяется суммаn векторов

.

А именно: суммой называют вектор , проведённый из начала первого в конец последнего вектора, при условии, что начало векторасовпадает

с концом вектора , начало векторасовпадает с концом вектораи т.д. (правило многоугольника – рис. 2.1.3, б).

Замечание.Если на векторахипостроить параллелограмм, поместив их начало в общую точку, то суммабудет лежать на диагонали параллелограмма, выходящего из общего начала векторови (правило параллелограмма – рис. 2.1.3, в).

1) - поглощение нулевого вектора

2) - перестановочное, или коммутативное

3) - сочетательное, или ассоциативное.

Для всякого ненулевого вектора существует противоположный вектор -, такой, что.