5. Вычитание векторов

Рис. 3

Определение 5. Вектор называется разностью векторови, т.е., если. Отсюда следует, чтот.е. вычитание векторов сведено к сложению (рис.2.1.4). Нетрудно заметить, что разность век-

торов лежит на второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах и, проведённой из конца вектора -в конец вектора.

§2. Линейная зависимость и независимость векторов. Базисы на плоскости и в пространстве. Прямоугольная декартова система координат

1. Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть имеется nвекторов,, …,ипостоянных коэффициентов, ,…,.Выражение называется линейной комбинацией векторов,, …,.

Определение 1.Векторы,, …,называютсялинейно зависимыми, если существуют числа, ,…,, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что линейная комбинация равна нулю:

Определение 1*. Векторы ,, …,называются линейно зависимыми, если хотя бы один вектор из этой системы можно выразить в виде линейной комбинации остальных.

Можно доказать, что определения 1 и 1^*эквивалентны, т.е. из 1 следует 1^*и наоборот.

Определение 2. Векторы ,, …,называются линейно независимыми, если линейная комбинация лишь при условии.

Определение 2*.Векторы,, …,называютсялинейно независимыми, если ни один из этих векторов нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.

Можно доказать, что определения 2 и 2^* эквивалентны.

Пример 1. Доказать, что коллинеарные векторы линейно зависимы. Действительно, поместим векторы ина одной прямой (рис. 2.2.1), тогда можно найти такое, при котором=>, а это и означает, чтоиbлинейно зависимы.

Пример 2. Доказать, что любые три вектораa,b иc, лежащие в плоскости, линейно зависимы.

Действительно, поместим начало всех трёх векторов в общую точку (рис.2.2.2). Очевидно, тогда можно подобрать единственную пару чисел и, так что будет, а что и означает, что векторы,илинейно зависимы.

Определение 3. Три ненулевых вектора называютсякомпланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Итак, мы показали, что компланарные векторы линейно зависимы.

Пример 3. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Действительно, можно подобрать, причём единственным образом, такие числа ,,, что будет (рис. 2.2.3).

2. Базисы на плоскости и в пространстве

Определение 1.Совокупность любых двух линейно независимых векторов, принадлежащих данной плоскости, называетсябазисом на этой плоскости. Если,- базис на плоскости, то для любого вектора, лежащего в этой плоскости, можно найти единственным образом такие числаи, что будет. Числаиназываются координатами векторав данном базисе.

Определение 2. Совокупность любых трёх линейно независимых векторов,,в пространстве называетсябазисом в пространстве. Если- произвольный вектор, то всегда можно найти единственным образом числа,,такие, что будет иметь место представление:. Коэффициенты,,в разложении данного вектора по базису называются координатами векторав базисе,,.

3. Прямоугольная декартова система координат

Из всех возможных базисов (,,)в пространстве выберем такой, чтобы все векторы, входящие в этот базис, были попарно ортогональны (т.е. , (, далее разделим каждый вектор базиса на его длину. Получим базис ,,Такой базис называется ортонормированным.

Определение. Тройка векторов, ,называетсяправой, если при наблюдении с конца векторакротчайший поворот от векторак векторупроисходит против движения часовой стрелки.

Ограничимся выбором правой тройки базисных векторов ,,.Поместим далее начало векторов, входящих в выбранной базис, в общую точку 0 и из этой точки проведём оси Ox, Oy, Oz, направления которых совпадают с направлениями векторов ,,.

Получим так называемую пространственную прямоугольную правую декартову систему координат Oxyz. Причём принято орты обозначать так: ,,(рис. 2.2.4). ОсьOx называется осью абсцисс, ось Oy – осью ординат, ось Oz – осью аппликат.

Если , получим прямоугольную правую систему декартовых координат на плоскости – системуOxy.

Рис. 2.2.4