ryaba_diffury / ryaba_diffury / Ряба_ДУ_3
.pdfДругие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
Сокращения:
ДУ – дифференциальное уравнение; о/р – общее решение; о/и – общий интеграл; ч/р – частное решение.
ИДЗ-11.1
1.3. Найти о/и ДУ.
y (2x 1)ctgy
Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
dy |
(2x 1) cos y |
dx |
sin y |
sin ydy (2x 1)dx cos y
d(cos y) (2x 1)dx cos y
Ответ: о/и: ln cos y x2 x C, где C const
2.3. Найти о/и ДУ. y xy 2(1 x2 y )
Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
y xy 2 2x2 y 2x2 y xy y 2
(2x2 x) dy |
y 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
dx |
|
|
|
||
y 2 |
|
|
|
2x2 x |
|
|
|||
|
dy |
|
|
|
|
dx |
|||
y 2 |
|
x(2x 1) |
|
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию правой части в сумму элементарных дробей:
A |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
2x 1 |
|
x(2x 1) |
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
A(2x 1) Bx 1 |
|
||||||||||||||
2A B 0 |
B 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2x 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln y 2 ln x ln 2x 1 ln C
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
|
|
y 2 |
|
|
|
Cx |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y 2 |
|
Cx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: о/р: y |
Cx |
|
2, |
где C const |
||||||||
2x 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Найти о/и ДУ.
(x 2y)dx xdy 0
Решение: Данное уравнение является однородным, проведем замену: y tx dy xdt tdx
(x 2tx)dx x(xdt tdx) 0 (1 2t)dx (xdt tdx) 0 (1 2t)dx xdt tdx 0
(1 t)dx xdt
|
dt |
|
dx |
|
t 1 |
|
x |
ln t 1 ln x ln C ln t 1 ln Cx
Обратная замена: t xy xy 1 Cx
xy Cx 1
Ответ: о/р: y Cx2 x, где C const
4.3. Найти ч/р ДУ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(1 x)( y y) e x , |
y(0) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение: (1 x) y (1 x) y e x |
|
|
|
|
||||||||||||
Данное |
уравнение |
является |
линейным |
неоднородным, |
замена: |
|||||||||||
y uv y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|||
x)(u v uv ) (1 x)uv |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
x)u v (1 x)uv (1 x)uv |
|
|
|
|
||||||||||||
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
v) |
e |
x |
|
|
|
|
||
x)u v (1 x)u (v |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
v |
v 0 |
|
|
x . |
|
|
|
|
|||
Решим систему: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(1 |
x)u v e |
|
|
|
|
|
Из первого уравнения найдем v(x) : dvdx v
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
dvv dx
ln v x
v e x – подставим во второе уравнение:
|
|
|
x |
e |
x |
|
||
(1 x)u e |
|
|
|
|
|
|||
du |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
1 x |
|
|
|
|
||
u |
|
dx |
|
|
C ln1 x |
|
||
|
|
|
|
|||||
1 x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Таким образом:
о/р: y uv C ln1 x e x , где C const
Найдем ч/р, соответствующее заданному начальному условию: y(0) C 0 0 C 0
Ответ: ч/р: y ln1 x e x
ИДЗ-11.2
1.3. Найти ч/р ДУ и вычислить значение полученной функции при x x0 с точностью до двух знаков после запятой.
y |
|
|
1 |
, |
x0 |
|
, |
y(0) 1, |
|
3 |
|
cos2 x |
3 |
5 |
|||||||||
|
y (0) |
Решение:
Данное уравнение имеет вид y(n) f (x) . Дважды интегрируем правую часть:
y |
|
|
dx |
|
tgx C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В соответствии с начальным условием: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) 0 C1 1 C1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
|
(tgx 1)dx |
|
sin xdx |
|
|
dx |
|
d(cos x) |
x x ln |
|
cos x |
|
C2 |
|||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
В соответствии с начальным условием: y(0) 0 0 C2 53 C2 53
Таким образом, искомое ч/р: y x ln cos x 53
|
|
|
|
ln |
1 |
|
3 |
1,05 0,69 0,6 2,34 |
|
y |
3 |
|
3 |
2 |
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
Ответ: ч/р: y x ln |
|
cos x |
|
|
3 |
|
|
2,34 |
|
|
|
||||||||
|
|
5 |
, y |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
4.3. Найти о/и ДУ.
(2x y 1)dx (2y x 1)dy 0
Решение:
P 2x y 1, Q 2y x 1
P (2x y 1)y 1y
Q (2y x 1)x 1x
P Q , значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах.
y x
dF(x; y) Fx dx Fy dy
F 2x y 1x
F(x; y) (2x y 1)dx x2 xy x ( y)
F (x2 xy x ( y))y 0 x 0 y ( y) 2y x 1y
y ( y) 2y 1 ( y) (2y 1)dy y2 y C
Ответ: о/и: x2 y2 xy x y C, где C const
ИДЗ-11.3
1.3. Найти о/р ДУ.
а) y 4y 0
Решение: Характеристическое уравнение:
2 4 0( 4) 0
1 0 , 2 4 – различные действительные корни
Ответ: о/р: y C1 C2e4 x , где C1,C2 const
б) y 4y 13y 0
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
2 4 13 0
D 16 52 36
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
|
4 6i |
2 3i – сопряженные комплексные корни |
|||||
1,2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: о/р: y e2 x (C sin 3x C |
2 |
cos3x), где |
C ,C |
2 |
const |
||
|
|
1 |
|
1 |
|
в) y 3y 2y 0
Решение: Характеристическое уравнение:
2 3 2 0
D 9 8 1; D 1
1,2 3 1
21 1, 2 2 – различные действительные корни
Ответ: о/р: y C1ex C2e2 x , где C1,C2 const
2.3. Найти о/р ДУ.
y 2y 8y 12sin 2x 36cos 2x
Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 2y 8y 0
Характеристическое уравнение:
2 2 8 0
D 4 32 36; |
|
D |
6 |
|
|
||
|
2 6 |
|
|
|
|
|
|
1,2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
– различные действительные корни, поэтому о/р: Y C e 2 x C |
e4 x . |
|||||
2 , 4 |
|||||||
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
||
Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: y Acos 2x Bsin 2x . |
|
|
|||||
|
|
|
~ |
|
|
||
~y 2Asin 2x 2B cos 2x |
|
|
|||||
~y 4Acos 2x 4Bsin 2x |
|
|
|||||
Подставим y , |
y |
и y в левую часть неоднородного уравнения: |
|
|
|||
|
~ |
~ |
~ |
|
|
y 2y 8y 4Acos 2x 4Bsin 2x 4Asin 2x 4B cos 2x 8Acos 2x 8Bsin 2x
( 12A 4B)cos 2x (4A 12B)sin 2x 12sin 2x 36cos 2x
12A 4B 36 |
12A 4B 36 |
40B 0 B 0; A 3 |
||
|
4A 12B 12 |
|
12A 36B 36 |
|
|
|
|
Таким образом: y 3cos 2x . |
|
|
|
|
|
||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
C1e |
2 x |
C2e |
4 x |
3cos 2x, |
где |
C1,C2 const |
Ответ: о/р: y Y y |
|
|
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
3.3. Найти о/р ДУ
y 7 y 12y 3e4 x
Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 7 y 12y 0
2 7 12 0 |
|
D 49 48 1; |
D 1 |
1,2 7 1
2
1 3 , 2 4 – различные действительные корни, поэтому о/р: Y C1e3x C2e4 x .
Контрольное число правой части 4 является корнем характеристического уравнения, поэтому ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: ~y Axe4 x .
~y Ae4 x 4Axe4 x (4Ax A)e4 x
~y 4Ae4 x 4(4Ax A)e4 x (16Ax 8A)e4 x
Подставим ~y , ~y в левую часть неоднородного уравнения: y 7 y 12y (16Ax 8A)e4 x 7(4Ax A)e4x 12Axe4 x
(16Ax 8A 28Ax 7A 12Ax)e4x Ae4 x 3e4x
A 3
Таким образом: ~y 3xe4 x
|
|
Ответ: о/р: y Y |
~ |
C1e |
3x |
C2e |
4 x |
3xe |
4 x |
, |
где C1,C2 ,C3 const |
||
|
|
y |
|
|
|
||||||||
|
|
4.3. Найти ч/р ДУ, соответствующее заданным начальным условиям. |
|||||||||||
y |
2y 2 2x |
2 |
8x 6 |
; y(0) 1; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y (0) 4 |
|
|
|
Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 2y 2 0
Характеристическое уравнение:
2 2 2 0 D 4 8 4
1,2 2 2i 1 i – сопряженные комплексные корни, поэтому о/р: 2
Y e x (C1 cos x C2 sin x) .
Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: ~y Ax2 Bx C .
~y 2Ax B
~y 2A
Подставим ~y , ~y и ~y в левую часть неоднородного уравнения: y 2y 2 2A 4Ax 2B 2Ax2 2Bx 2C 2x2 8x 6
2A 2
4A 2B 8 A 1; B 2; C 02A 2B 2C 6
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
|
|
~ |
x |
2 |
2x . |
|
|
|
|
Таким образом: y |
|
|
|
|
|
||||
О/р неоднородного уравнения: |
|
|
|
|
|||||
~ |
x |
(C1 cos x |
C2 sin x) x |
2 |
2x, |
где |
C1,C2 const |
||
y Y y e |
|
|
Найдем ч/р, соответствующее заданным начальным условиям: y e x ( C1 cos x C2 sin x) e x ( C1 sin x C2 cos x) 2x 2
y(0) C1 1 |
|
|
C2 3 |
|
|
C2 |
2 |
4 |
|
y (0) C1 |
|
Ответ: ч/р: y e x (cos x 3sin x) x2 2x
5.3. Определить и записать структуру ч/р y* линейного неоднородного ДУ по виду функции f (x)
2y y y f (x)
а) f (x) (x2 5)e x б) |
f (x) xsin x |
Решение: Найдем о/р однородного уравнения: 2 2 1 0
D 1 8 9; D 3
1,2 14 3
1 1, 2 12 –различные действительные корни, поэтому о/р:
x
Y C1e x C2e2 , где C1,C2 const
а) Правая часть имеет вид f (x) (x2 5)e x .
Контрольное число правой части 1 является корнем характеристического уравнения, в правую часть входит многочлен второй степени, поэтому ч/р неоднородного
уравнения следует искать в виде ~y (Ax3 Bx2 Cx)e x
б) Если правая часть имеет вид f (x) xsin x , то ч/р неоднородного уравнения следует искать в виде ~y (Ax B)cos x (Cx D)sin x .
ИДЗ-11.4
3.3. Решить ДУ методом вариации произвольных постоянных
|
|
|
|
|
e2 x |
|
y |
4y |
5y cos x |
||||
|
|
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
Решение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: y 4y 5y 0
D 16 20 4
|
|
|
4 2i |
2 i |
– сопряженные комплексные корни, поэтому о/р: |
|||||||||||||||||||||||
1,2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Y e2 x (C cos x C |
2 |
sin x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Используем метод вариации произвольных постоянных. Общее решение |
||||||||||||||||||||||||||||
неоднородного уравнения ищем в виде: y Z (x)e2 x cos x Z |
2 |
(x)e2 x sin x |
||||||||||||||||||||||||||
Функции Z1(x) , Z2 (x) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
найдем как решение системы: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Z (x) y Z |
|
(x) y |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Z1 |
(x) y1 |
2 |
(x) y2 |
a0 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В данном случае: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y |
|
e2 x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 2e2 x cos x e2 x sin x e2 x (2cos x sin x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
y2 |
e2 x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
y2 |
2e |
sin x e |
cos x e |
(2sin x cos x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f (x) |
|
e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a0 (x) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
(x) e |
2 x |
|
|
|
|
(x) 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
e |
|
|
cos x Z1 |
|
sin x Z2 |
|
|
e2 x |
|
|||||||||||||||||||
e2 x (2cos x sin x) Z1(x) e2 x (2sin x cos x) Z2 (x) |
||||||||||||||||||||||||||||
cos x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Систему решим по формулам Крамера: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
W |
|
|
|
|
|
e2 x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
e2 x sin x |
|
e4 x (2cos xsin x cos2 x) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
e2 x (2cos x sin x) |
e2 x (2sin x cos x) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e4 x (2sin xcos x sin2 x) e4 x (2cos xsin x cos2 x 2sin xcos x sin2 x) e4 x 0 Таким образом, система имеет единственное решение.
W |
0 |
|
|
|
|
e2 x sin x |
0 e |
4 x |
sin x |
||||||
e2 x |
|
e2 x (2sin x |
cos x) |
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
cos x |
|||||||||
cos x |
|
|
|
||||||||||||
|
W1 |
|
|
e4 x sin x |
sin x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
||||||||
Z1(x) W |
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|||||
|
|
e4 x |
|
|
|
|
|
||||||||
Z (x) |
|
sin xdx |
|
d(cos x) ln |
|
cos x |
|
C |
|||||||
|
|
||||||||||||||
1 |
|
cos x |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e4 x sin x cos x
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
W |
|
|
|
|
|
e2 x cos x |
0 |
e4 x |
|
|
|||||||
e2 x (2cos x sin x) |
e2 x |
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
cos x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
e4 x |
|
|
|
|
|
|
Z1(x) W |
|
e4 x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Z2 (x) dx x C2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
В результате: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y ln |
|
|
cos x |
|
|
C |
e2x cos x (x C |
)e2x sin x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
Ответ: общее решение: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
y ln |
|
cos x |
|
C |
e2 x cos x (x C |
)e2 x sin x, где C ,C |
2 |
const |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html