Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряба_ДУ_5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

106.41 Кб

Скачать

☆

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

Сокращения:

ДУ – дифференциальное уравнение; о/р – общее решение; о/и – общий интеграл; ч/р – частное решение.

ИДЗ-11.1

1.5. Найти о/и ДУ.

(1 ex ) ydy eydx 0

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

(1 ex ) ydy eydx

ye ydy dx x

1 e

Левую часть интегрируем по частям: u y du dy

dv e ydx v e yudv uv vdu

В интеграле правой части проведем замену:

	t 1 ex ; ex t 1
	dt exdx dx dt		dt
	dt exdx dx dt		t 1
	ex		t 1

Таким образом:

ye y e ydy

t(t 1)

t 1

e y ( y 1) ln t 1 ln t C

e y ( y 1) ln1 ex 1 ln1 ex

	Ответ: о/и: e y ( y 1) ln	ex
	Ответ: о/и: e y ( y 1) ln	1 ex
		1 ex

2.5. Найти о/и ДУ.

(x 4)dy xydx 0

Решение: Данное уравнение переменные и интегрируем:

(x 4)dy xydx

C, где C const

допускает разделение переменных. Разделяем

Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

dy	xdx
y	x 4
dy		(x 4 4)dx
y
y			x 4

dy (x 4 4)dx y x 4

x 4ln

x 4

y ex ln(x 4) 4 C

Cex

(x 4)4

Ответ: о/р: y

Cex

где C const

(x 4)4

3.5. Найти о/и ДУ.

( y2 2xy)dx x2dy 0

Решение: Данное уравнение является однородным, проведем замену: y tx dy xdt tdx

(t2 x2 2x tx)dx x2 (xdt tdx) 0 (t2 2t)dx xdt tdx 0

(t2 2t t)dx xdt 0 xdt (t2 t)dx

t t2

t(1 t)

dt ln

t 1

ln t ln t 1 ln Cx

Обратная замена: t

y x

Ответ:

о/и:

Cx,

где C const

y x

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

4.5. Найти ч/р ДУ.

y 2x(x2 y) , y(0) 0

Решение:

y 2x3 2xy

y 2xy 2x3

Данное

уравнение

является

линейным

неоднородным,

замена:

y uv y

u v uv

2xuv 2x

u v uv

2xv) 2x

u v u(v

v 2xv 0

Решим систему:

u v

Из первого уравнения найдем v(x) :

dv 2xv

2 xdx

ln v x2

v ex2 – подставим во второе уравнение: u ex2 2x3

dudx 2x3e x2

u 2 x3e x2 dx (*)

Интегрируем по частям: u~ x2 du~ 2xdx

~		x2	dx e	x2	d( x	2	~		x2
dv 2xe			dx e		d( x		) v e
~ ~	~~		~ ~
udv	uv		vdu
(*) x2e x2 2 xe x2 dx x2e x2 e x2 d( x2 ) x2e x2											e x2 C
о/р: y uv x2e x2					e x2		C ex2	Cex2		x2 1, где C	const

Найдем ч/р, соответствующее заданному начальному условию: y(0) C 0 1 0 C 1

Ответ: ч/р: y ex2 x2 1

ИДЗ-11.2

1.5. Найти ч/р ДУ и вычислить значение полученной функции при x x0 с точностью до двух знаков после запятой.

y 4cos 2x , x0 4 , y(0) 1, y (0) 3

Решение:

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

Данное уравнение имеет вид y(n) f (x) . Дважды интегрируем правую часть: y 4 cos 2xdx 4 12 sin 2x C1 2sin 2x C1

В соответствии с начальным условием: y (0) 0 C1 3 C1 3

y(2sin 2x 3)dx cos 2x 3x C2

Всоответствии с начальным условием: y(0) 1 0 C2 1 C2 2

Таким образом, искомое ч/р: y cos 2x 3x 2

						cos															3			2 0										3				2 4,36
y		4				cos									2						4			2 0										4				2 4,36
		4													2						4													4
Ответ: ч/р: y cos 2x 3x 2 ,																																											4,36
Ответ: ч/р: y cos 2x 3x 2 ,																																			y								4,36
																																						4
4.5. Найти о/и ДУ.
					x																			ydy
					x																			ydy
												1 dx																		0

		x		2		y				2														x	2	y		2
		x				y																		x		y
Решение:
P								x								1, Q														y

						x2 y2																					x2 y2
P												x											/								2				2			1			/				x				2			2		3		2			2
																			1					x x									y					2									x			y				2 (x			y			)y

											2						2
y									x		2	y					2																						y						2
y									x			y										y																	y						2
										x										(0			2y)											xy
			2
			2				(x2 y2 )3																									(x2 y2 )3
Q														y								/										2				2	1					/		y				2			2		3		2			2
																							y				x							y				2								x			y				2 (x			y			)x

													2							2
x												x	2			y				2																				x				2
x												x				y						x																		x				2
								y										(2x					0)											xy
	2
	2				(x2 y2 )3																								(x2 y2 )3

P Q , значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах.

y x

dF(x; y) Fx dx Fy dy

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

x2 y2

)

F(x; y)

1 dx

x ( y)

x ( y) /y

0 y ( y)

x2 y2

y ( y) 0 ( y) C const

Ответ: о/и: x2 y2 x C, где C const

ИДЗ-11.3

1.5 Найти о/р ДУ.

а) y 2y 10y 0

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

2 2 10 0

D 4 40 36

	2 6i	1 3i – сопряженные комплексные корни
1,2	2
	2
Ответ: о/р: y ex (C sin 3x C			2	cos3x), где	C ,C	2	const
		1	2		1	2

б) y y 2y 0

Решение: Характеристическое уравнение:

2 2 0

D 1 8 9; D 3

1,2 12 3

1 2 , 2 1 – различные действительные корни

Ответ: о/р: y C1e 2 x C2ex , где C1,C2 const

в) y 2y 0

Решение: Характеристическое уравнение:

2 2 0( 2) 0

1 0 , 2 2 – различные действительные корни

Ответ: о/р: y C1 C2e2 x , где C1,C2 const

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

2.5. Найти о/р ДУ

y 3y 2y (34 12x)e x

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 3y 2y 0

Характеристическое уравнение:

2 3 2 0

D 9 8 1;

3 1

1,2

– различные действительные корни, поэтому о/р: Y C ex C

e2 x

Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: y (Ax B)e

(Ax B)e

( Ax A B)e

(Ax 2A B)e

Подставим y

, y ,

y в левую часть неоднородного уравнения:

y 3y 2y (Ax 2A B)e x 3( Ax A B)e x 2(Ax B)e x

(Ax 2A B 3Ax 3A 3B 2Ax 2B)ex (6Ax 5A 6B)e x (34 12x)e x

6A 12

A 2; B 4

6B 34

2x)e

y (4

Ответ: о/р: y

C1e

C2e

2 x

(4 2x)e

где C1,C2 ,C3 const

Y y

3.5. Найти о/р ДУ.

y 6y 34y 18cos5x 60sin 5x

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 6y 34y 0

Характеристическое уравнение:

2 6 34 0

D 36 136 100

	6 10i
1,2	2
	2
1,2	3 5i – сопряженные комплексные корни, поэтому о/р:
Y e3x C cos5x C		2	sin 5x .
1		2

Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: ~y Acos5x Bsin 5x .

~y 5Asin 5x 5B cos5x ~y 25Acos5x 25Bsin 5x

Подставим ~y , ~y и ~y в левую часть неоднородного уравнения:

y 6y 34y 25Acos5x 25Bsin 5x 6( 5Asin 5x 5Bcos5x) 34(Acos5x Bsin 5x)

25Acos5x 25Bsin 5x 30Asin 5x 30Bcos5x 34Acos5x 34Bsin 5x

(9A 30B)cos5x (30A 9B)sin 5x 18cos5x 60sin 5x

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

9A 30B 18

90A 300B 180

327B 0 B 0; A 2

30A 9B

90A 27B 180

Таким образом: y 2cos5x .

C1 cos5x C2 sin 5x 2cos5x,

где C1

,C2

const

Ответ: о/р: y Y y

4.5. Найти ч/р ДУ, соответствующее заданным начальным условиям.

14y

53y 53x

42x

59x 14 ; y(0) 0 ;

y (0) 7

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 14y 53y 0

Характеристическое уравнение:

2 14 53 0

D 196 212 16

14 4i

1,2

7 2i

– сопряженные комплексные корни, поэтому о/р:

Y e7 x C cos 2x C

sin 2x .

Cx D .

Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: y Ax

2Bx C

y 3Ax

~y 6Ax 2B

Подставим

в левую часть неоднородного уравнения:

и y

y 14y 53y 6Ax 2B 14(3Ax2 2Bx C) 53(Ax3 Bx2 Cx D)

53x3 42x2 59x 14

53A 53

A 1

42A 53B 42

1; D 0

53C 59

6A 28B

53C

53D 14

2B 14C

14C 53D 14

x .

Таким образом: y

О/р неоднородного уравнения:

7 x

C1 cos 2x

C2 sin 2x x

x, где

C1,C2 const

y Y y e

Найдем ч/р, соответствующее заданным начальным условиям:

y 7e7 x C1 cos 2x C2 sin 2x e7 x 2C1 sin 2x 2C2 cos 2x 3x2 1

y(0) C1 0			C2	3
	2C2 1	7
y (0) 7C1
Ответ: ч/р:	y 3e7 x sin 2x x3			x

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

5.5 Определить и записать структуру ч/р y* линейного неоднородного ДУ по виду функции f (x)

y 49 y f (x)
а) f (x) x3 4x	б) f (x) 3sin 7x

Решение: Найдем о/р однородного уравнения:

2 49 0

1,2 7i – сопряженные комплексные корни, поэтому о/р:

Y C1 cos7x C2 sin 7x, где C1,C2 const

а) Если правая часть имеет вид f (x) x3 4x , то ч/р неоднородного уравнения следует искать в виде ~y Ax3 Bx2 Cx D

б) Правая часть имеет вид f (x) 3sin 7x .

Контрольное число правой части 7i совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому ч/р неоднородного уравнения следует искать в виде ~y Axsin 7x Bx cos7x

ИДЗ-11.4

3.5. Решить ДУ методом вариации произвольных постоянных

		1
y	9y sin 3x

Решение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: y 9y 0

1,2 3i – сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:

Y C* cos3x C* sin 3x где		C,C const .
1	2	1	2

Используем метод вариации произвольных постоянных. Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: y Z1(x)cos3x Z2 (x)sin 3x

Функции Z1 (x) , Z2 (x)

найдем как решение системы:

Z (x) y Z

(x) y

f (x)

(x) y1 Z

(x) y2

(x)

В данном случае: y1 cos3x ,

y1 3sin 3x ,

y2 sin 3x ,

y2 3cos3x ,

f (x) 1 sin 3x

a0 (x) 1 Таким образом:

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

cos3x Z (x) sin 3x Z

(x) 0

3sin 3x Z1(x) y1 3cos3x Z2 (x)

sin 3x

Систему решим по формулам Крамера:

cos3x

sin 3x

3cos2 3x 3sin2 3x 3 0 ,

значит,

система

имеет

3sin 3x

3cos3x

единственное решение.

sin 3x

0 sin 3x 1

3cos3x

sin 3x

Z1(x)

Z (x) 1

dx 1 C

cos3x

3sin 3x

sin 3x

Z1(x)

cos3x

3sin 3x

Z2 (x)

cos3xdx

dx(sin 3x)

1 ln

sin 3x

В результате:

sin 3x

cos3x

sin 3x

Ответ: общее решение:

sin 3x

где

C ,C

const

cos3x

sin 3x,

Соседние файлы в папке ryaba_diffury

#
14.02.201541.52 Кб29Ряба_ДУ_18.pdf
#
14.02.201542.51 Кб52Ряба_ДУ_22.pdf
#
14.02.201599.85 Кб24Ряба_ДУ_3.pdf
#
14.02.2015106.41 Кб66Ряба_ДУ_5.pdf
#
14.02.2015105.31 Кб22Ряба_ДУ_6.pdf
#
14.02.2015113.05 Кб38Ряба_ДУ_8.pdf