Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряба_ДУ_6

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

105.31 Кб

Скачать

☆

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

Сокращения:

ДУ – дифференциальное уравнение; о/р – общее решение; о/и – общий интеграл; ч/р – частное решение.

ИДЗ-11.1

1.6. Найти о/и ДУ.

( y2 3)dx ex ydy 0 x

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

ex		ydy ( y			2	3)dx
x
		ydy
				xe			x	dx
	y	2	3

Правую часть интегрируем по частям: u x du dx

dv e xdx v e xudv uv vdu

Таким образом:

1d(yy22 3) xe x e xdx

12 ln(y2 3) C xe x e x

Ответ: о/и: 12 ln(y2 3) C xe x e x , где C const

2.6. Найти о/и ДУ. y y y2 0

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

dydx ( y y2 )

y dyy2 dx

dy dx

y( y 1)

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

	1	1
	1	1
		y 1	dy C x
y		y 1

ln y ln y 1 C x

Ответ: о/и: ln y y 1 C x, где C const

3.6. Найти о/и ДУ. y2 x2 y xyy

Решение: Данное уравнение является однородным, проведем замену: y tx dy t x t

t2 x2 x2 (t x t) x tx(t x t)

t2 t x t t tx t2 t x t t tx

t tx t x t x(t 1) dxdt t

(t 1)dt dx t x

dt ln

t ln

Обратная замена: t

		y	Cx			y
ln		y				y
ln		x				x
		x				x
ln	Cy				y
					y
				x
				x

y x

Ответ: о/и: Cy e

где C const

4.6. Найти ч/р ДУ.

y y ex ,

y(0) 1

Решение:

Данное

уравнение

является

линейным

неоднородным,

замена:

y uv y

u v uv

uv e

u v uv

u v u(v

v) e

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

		0
v v		0	.
Решим систему:	x		.
u v e

Из первого уравнения найдем v(x) :

dvdx v

dvv dx

ln v x

v ex – подставим во второе уравнение: u ex ex

dudx 1

u dx x C

Таким образом:

о/р: y uv (x C) ex , где C const

Найдем ч/р, соответствующее заданному начальному условию: y(0) C 1

Ответ: ч/р: y ex (x 1)

ИДЗ-11.2

1.6. Найти ч/р ДУ и вычислить значение полученной функции при x x0 с точностью до двух знаков после запятой.

y 1 1x2 , x0 1, y(0) 0 , y (0) 0

Решение:

Данное уравнение имеет вид y(n) f (x) . Дважды интегрируем правую часть:

y		dx	arctgx C1
	1 x2

В соответствии с начальным условием: y (0) 0 C1 0 C1 0

y arctgxdx (*) Интегрируем по частям:

u arctgx du

1 x2

dv dx v x

udv uv vdu

(*) xarctgx

xdx

xarctgx

d(1 x2 )

xarctgx

1 ln(1 x2 ) C2

1 x2

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

В соответствии с начальным условием: y(0) 0 0 C2 0 C2 0

Таким образом, искомое ч/р: y xarctgx 1 ln(1 x2 )
																												2
	y 1 arctg1							1 ln 2 0,79 0,35 0,44
								2
Ответ: ч/р: y xarctgx																		1 ln(1 x2 ) , y(1) 0,44
																		2
4.6. Найти о/и ДУ.
	2x(1 ey )dx							eydy					0
	(1 x2 )2							1		x2			0
	(1 x2 )2							1		x2
Решение:
	P	2x(1 ey )						,		Q				ey
	P	(1 x2 )2						,		Q			1 x2
		(1 x2 )2											1 x2
	P		2x(1 e					y			/			2x(0				e			y				2xe	y
	P		2x(1 e						)					2x(0				e				)			2xe
						2		2	)										2		2	)				2		2
	y		(1 x			2	)	2						(1 x					2	)	2				(1 x	2	)	2
	y		(1 x				)			y				(1 x						)					(1 x		)
	Q		e	y		/								e	y								2				2xe		y
	Q		e											e									2				2xe
					2											2		2 (1 x											2		2
	x		1 x		2							(1		x		2	)	2 (1 x						)x		(1		x	2	)	2
	x		1 x			x						(1		x			)									(1		x		)

P Q , значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах.

y x

dF(x; y)

2x(1 ey )

(1 x2 )2

2x(1 ey )dx

)

d(1 x2 )

1 ey

ey 1

F(x; y)

(1 e

2 ( y)

( y)

)

(1 x

)

( y)

y ( y)

1 x

y ( y) 0 ( y) C const

Ответ:

о/и:

где C const

1 x2

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

ИДЗ-11.3

1.6. Найти о/р ДУ.

а) y 4y 0

Решение: Характеристическое уравнение:

2 4 0

1 2 , 2 2 – различные действительные корни

Ответ: о/р: y C1e 2 x C2e2 x , где C1,C2 const

б) y 2y 17 y 0

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

2 2 17 0

D 4 68 64

1,2 2 8i 1 4i – сопряженные комплексные корни 2

Ответ: о/р: y e x (C sin 4x C	2	cos 4x), где	C ,C	2	const
1	2		1	2

в) y y 12 y 0

Решение: Характеристическое уравнение:

2 12 0

D 1 48 49; D 7

1,2 1 7

21 3 , 2 4 – различные действительные корни

Ответ: о/р: y C1e 3x C2e4 x , где C1,C2 const

2.6. Найти о/р ДУ. y 6y 10y 51e x

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 6y 10 y 0

Характеристическое уравнение:

2 6 10 0

D 36 40 4

1,2 6 2i

1,2 3 i – сопряженные комплексные корни, поэтому о/р: Y e3x C1 cos x C2 sin x .

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: ~y Ae x .

~y Ae x ~y Ae x

Подставим ~y , ~y , ~y в левую часть неоднородного уравнения: y 6y 10y Ae x 6Ae x 10Ae x 17Ae x 51e x

A 3

Таким образом: ~y 3e x .

~	3x	C1 cos x C2 sin x 3e	x	,	где C1,C2 const
Ответ: о/р: y Y y e

3.6. Найти о/р ДУ

y 2y (4x 4)e2 x

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 2y 0

Характеристическое уравнение:

2 2 0( 2) 0

1 0 , 2 2 – различные действительные корни, поэтому о/р: Y C1 C2e2 x

Контрольное число правой части 2 является корнем характеристического уравнения, поэтому ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: ~y (Ax2 Bx)e2 x .

~y (2Ax B)e2 x 2(Ax2 Bx)e2 x (2Ax2 2Ax 2Bx B)e2 x

~y (4Ax 2A 2B)e2 x 2(2Ax2 2Ax 2Bx B)e2 x (4Ax2 8Ax 4Bx 2A 4B)e2 x

Подставим ~y , ~y в левую часть неоднородного уравнения:

y 2y (4Ax2 8Ax 4Bx 2A 4B)e2 x 2(2Ax2 2Ax 2Bx B)e2 x

(4Ax2 8Ax 4Bx 2A 4B 4Ax2 4Ax 4Bx 2B)e2 x

(4Ax 2A 2B)e2 x (4x 4)e2 x

4A 4

A 1; B 1

2B 4

x)e

2 x

Таким образом: y

2 x

x)e

2 x

где C1,C2 ,C3 const

Ответ: о/р: y Y y C1 C2e

4.6. Найти ч/р ДУ, соответствующее заданным начальным условиям.

16y e

(cos4x 8sin 4x) ;

y(0) 0 ;

y (0) 5

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения:

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

y 16 y 0

Характеристическое уравнение:

2 16 0

1,2 4i – сопряженные комплексные корни, поэтому о/р: Y C1 cos4x C2 sin 4x .

Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: ~y ex (Acos 4x Bsin 4x) . ~y ex (Acos4x Bsin 4x) ex ( 4Asin 4x 4Bcos4x)

ex ((A 4B)cos4x ( 4A B)sin 4x)

~y ex ((A 4B)cos4x ( 4A B)sin 4x) ex (( 4A 16B)sin 4x ( 16A 4B)cos4x)ex (( 15A 8B)cos4x ( 8A 15B)sin 4x)

Подставим ~y и ~y в левую часть неоднородного уравнения:

y 16y ex (( 15A 8B)cos4x ( 8A 15B)sin 4x) 16ex (Acos4x Bsin 4x)ex ((A 8B)cos4x ( 8A B)sin 4x) ex (cos4x 8sin 4x)

A 8B 1	B	0; A 1
	B	0; A 1
8A B 8
	~	x	cos 4x .
Таким образом: y e			cos 4x .
О/р неоднородного уравнения:
~				x	cos 4x,	где	C1,C2 const
y Y y C1 cos 4x C2 sin 4x e					cos 4x,	где	C1,C2 const

Найдем ч/р, соответствующее заданным начальным условиям: y 4C1 sin 4x 4C2 cos 4x ex cos 4x 4ex sin 4x

y(0) C1	1 0		C1	1;C2	1
		5
y (0) 4C2 1

Ответ: ч/р: y cos 4x sin 4x ex cos 4x

5.6. Определить и записать структуру ч/р y* линейного неоднородного ДУ по виду функции f (x)

3y 10 y 3y f (x)

а) f (x) e 3x б)

f (x) 2cos3x sin 3x

Решение: Найдем о/р однородного уравнения: 3 2 10 3 0

D 100 36 64; D 8

10 8

1,2 6

1 13 , 2 3 –различные действительные корни, поэтому о/р:

Y C1e 3x C2e 3x , где C1,C2 const

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

а) Правая часть имеет вид f (x) e 3x .

Контрольное число правой части 3 является корнем характеристического уравнения, поэтому ч/р неоднородного уравнения следует искать в виде ~y Axe 3x

б) Если правая часть имеет вид f (x) 2cos3x sin 3x , то ч/р неоднородного уравнения следует искать в виде ~y Acos3x Bsin 3x .

ИДЗ-11.4

3.6. Решить ДУ методом вариации произвольных постоянных

y 2y y xex xe1x

Решение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: y 2y y 0

2 2 1 0

( 1)2 0

1,2 1

–

кратные

действительные

корни,

поэтому

общее

решение:

Y C*e x

*xe x где

C*,C* const .

Используем метод вариации произвольных постоянных. Общее решение

неоднородного уравнения ищем в виде: y Z (x)e x Z

(x)xe x

Функции Z1 (x) , Z2 (x)

найдем как решение системы:

Z (x) y Z

(x) y

f (x)

Z1 (x) y1 Z

(x) y2

(x)

В данном случае: y1 e

, y2

y1 e

y2 e

f (x) xex

xex

a0 (x) 1

Таким образом:

(x) 0

Z1(x) xe

Z1(x) y1 (e

) Z2 (x) xe

Систему решим по формулам Крамера:

e x

xe x

e 2 x xe 2 x xe 2 x e 2 x 0 ,

значит,

система

имеет

e x

e x xe x

единственное решение.

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

xe x

2 x

xex

Z1(x)

x2 e 2 x

x2e2 x 1

e 2 x

Z1(x) ( x2e2 x 1)dx x2e2 xdx x (*) Дважды интегрируем по частям:

u x2 du 2xdx dv e2 xdx v 12 e2 x

udv uv vdu

(*) 12 x2e2 x xe2 xdx x (*) u x du dx

dv e2 xdx v 12 e2 x

(*) 12 x2e2 x 12 xe2 x 12 e2 xdx x 12 x2e2 x 12 xe2 x 14 e2 x x C1

e x

e 2 x

xex

Z1(x) W2

e 2 x

xe2 x

e 2 x

(x)

2 x

В результате:

2 x

x C

2 x

12 x2ex 12 xex 14 ex xe x C1e x 12 x2ex 14 xex

Ответ: общее решение:

y C1e x C2 xe x 14 xex 14 ex xe x xe x ln x , где

ln	x	C2

			xe x

xe x ln x C2 xe x

C1,C2 const

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Соседние файлы в папке ryaba_diffury

#
14.02.201541.52 Кб29Ряба_ДУ_18.pdf
#
14.02.201542.51 Кб52Ряба_ДУ_22.pdf
#
14.02.201599.85 Кб24Ряба_ДУ_3.pdf
#
14.02.2015106.41 Кб66Ряба_ДУ_5.pdf
#
14.02.2015105.31 Кб22Ряба_ДУ_6.pdf
#
14.02.2015113.05 Кб38Ряба_ДУ_8.pdf